Математическая энциклопедия

РАЗМЕРНОСТЬ

топологического пространстваX -целочисленный инвариант dimX,определяемый следующим образом. Тогда и только тогда dimX = -1, когда . О непустом тополо-гич. пространстве Xговорят, что оно не более чем n-мерно, и пишут dim , если в любое конечное открытое покрытие пространства Xможно вписать конечное открытое покрытие пространства Xкратности . Если для нек-рогоп=-1,0,1,. . ., то пространство Xназ. конечномерным, пишется и считается


При этом если dimX = n,то пространство наз. n-мерным. Понятие Р. топологич. пространства обобщает элементарно-геометрич. понятие числа измерений евклидова пространства (и полиэдра), т. к. размерность n-мерного евклидова пространства (и любого n-мерного полиэдра) равна n (теорема Брауэра - Лебега).

Важность понятия Р. топологич. пространства выявляется теоремой Нёбелинга - Понтрягина - Гуревича -Куратовского: n-мерное метризуемое со счетной базой пространство вкладывается в (2n+1)-мерное евклидово пространство. Таким образом, класс пространств, топологически эквивалентных подпространствам всевозможных n-мерных евклидовых пространств, n=1, 2,. . ., совпадает с классом конечномерных метризуемых пространств со счетной базой.

Размерность dim Xиногда наз.лебеговой, т. куб для любого e>0 обладает конечным замкнутым кратности покрытием с диаметром элементов0>0, что кратность любого конечного замкнутого покрытия n-мерного куба , если диаметр элементов этого покрытия0.

К определению Р. топологич. пространства возможен другой - индуктивный - подход (см.Индуктивная размерность),основанный на разбиении пространства подпространствами меньшего числа измерений. Этот подход к понятию Р. восходит к А. Пуанкаре (Н. Poincare), Л. Брауэру (L. Brouwer), П. С. Урысону и К. Менгеру (К. Menger). В случае метризуемых пространств он эквивалентен лебеговскому.

Основы теории Р. были заложены в 1-й пол. 20-х гг. 20 в. в работах П. С. Урысона и К. Менгера. К кон. 30-х гг. была построена теория Р. метризуемых пространств со счетной базой, а к нач. 60-х гг.- теория Р. любых метризуемых пространств.

Ниже все рассматриваемые топологич. пространства считаются нормальными и хаусдорфовыми. В этом случае в определении Р. без ущерба вписываемые открытые покрытия можно заменить на замкнутые.

Лебегов подход к определению Р. (в отличие от индуктивного подхода) позволяет в случае любых рассматриваемых пространств геометризовать понятие Р. посредством сравнения исходного топологич. пространства с простейшими геометрич. образованиями -полиэдрами.Грубо говоря, пространство n-мерно тогда и только тогда, когда оно сколь угодно мало отличается от n-мерного полиэдра. Точнее, имеет место теорема Александрова об w-отображениях: тогда и только тогда , когда для любого конечного открытого покрытия и пространства Xсуществует w-отображение пространства Xна не более чем n-мерный, n=0,1,2,. . ., (компактный) полиэдр. Особую наглядность сформулированная теорема приобретает в случае компактов: для компакта Xтогда и только тогда dim , когда для любого e>0 существует e-отображение компакта на не более чем n-мерный полиэдр. Если еще Xлежит в евклидовом или гильбертовом пространстве, то e-отображение можно заменить e-сдвигом (теорема Александрова об e-о тображениях и e-сдвигах).

Следующее утверждение позволяет выяснить, какова Р. пространства, посредством его сравнения со всевозможными n-мерными кубами: тогда и только тогда dim , когда пространство обладает существенным отображением на n-мерный куб, n=0,1,2,. . . (теорема Александрова о существенных отображениях).

Этой теореме можно придать следующую форму. Тогда и только тогда , когда для любого замкнутого в Xмножества Аи любого непрерывного отображения вn-мернуюсферу существует непрерывное продолжение , n=0,1,. . ., отображения f.

Следующая характеристика Р. указывает на роль этого понятия в вопросах существования решений систем уравнений: тогда и только тогда dim , n=1,2,..., когда в Xсуществует такая система дизъюнктных пар замкнутых множествAi,Bi, i=l,. . ., n, что для любых непрерывных на Xфункцийfi, удовлетворяющих условию ,. . .,п,найдется точка , в к-ройfi(x) = 0, i=1,. . ., (т е о р е м а Отто - Эйленберга - Хеммингсена о перегородках).

Одно из важнейших свойств Р. выражает теорема суммы Менгера - Урысона - Чеха: если пространство Xесть конечная или счетная сумма своих замкнутых подмножеств размерности , то и , n=0,1,. . . В этой теореме можно условие конечности или счетности суммы заменить условием ее локальной конечности. Аналогичное теореме суммы утверждение для большой и малой индуктивных Р. не выполняется уже в классе бикомпактов. Следующие утверждения принадлежат к числу основных общих фактов теории Р. и позволяют сводить рассмотрение любых пространств к рассмотрению бикомпактов. Для любого нормального пространства

а) dim bX =dimX,Ind bX = Ind X, где bХ-максимальное бикомпактное расширение Стоуна -- Чеха пространства X;в то же время неравенство ind bХ> >indX =IndXвозможно;

б) существует бикомпактное расширениепространстваX,вес к-рого равен весу , и размерность dimравна размерности dim X;аналогичное утверждение верно и для большой индуктивной Р. Особенно интересен случай счетного веса пространства, т. к. в этом случае расширениеметризуемо.

Утверждение б) может быть усилено следующим предложением: для. любого n=0,1,. . . и любой бесконечной мощности существует бикомпакт веса и размерности , содержащий гомеоморфный образ любого нормального пространства Xвеса и размерности (теорема об универсальном бикомпакте данного веса и размерности). Аналогичное утверждение верно и для большой индуктивной Р. При этом в качестве можно взять канторово совершенное множество, а в качестве - менгеровскую универсальную кривую.

Казалось бы, что Р. должна обладать свойством монотонности: dim , если АМХ.Это так, если а) множество Азамкнуто в Xили сильно паракомпактно, или б) пространство Xметризуемо (и даже совершенно нормально). Однако уже для подмножества Анаследственно нормального пространства Xможет быть dim A>dim Xи Ind A>IndХ.Но всегда при АМХ.

Одним из важнейших вопросов теории Р. является поведение Р. при непрерывных отображениях. В случае замкнутых отображений (к ним принадлежат и все непрерывные отображения бикомпактов) ответ дается формулами В. Гуревича (W. Hurewicz), полученными им первоначально в классе пространств со счетной базой.

Формула Гуревича для повышающих размерность отображений: если отображение непрерывно и замкнуто, то кратность , где кратность

Формула Гуревича для понижающих размерность отображений: для непрерывного замкнутого отображения на па-ракомпакт Yвыполняется неравенство

(1)

где

Для произвольного нормального пространства Yэта формула, вообще говоря, неверна.

В случае непрерывных отображений конечномерных компактов установлено, что непрерывное отображение f размерности dimf=kявляется суперпозицией kнепрерывных отображений размерности 1 (это - уточнение формулы (1) и аналог того факта, что k-мерный куб есть произведение kотрезков).

В случае открытых отображений можно показать, что образ нульмерного бикомпакта нульмерен и в то же время гильбертов кирпич есть образ одномерного компакта, даже если соответствующее отображение f имеет размерность dim f, равную нулю. Однако в случае открытого отображения бикомпактов Xи Yкратностивыполняется равенство dimX=dimY.

Поведение Р. при взятии топологич. произведения описывают следующие утверждения:

а) существуют такие конечномерные компакты XиY,что ;

б) если один из сомножителей произведения бикомпактен или метризуем, то ;

в) существуют такие нормальные пространства XиY,что

В случае бикомпактных XиYвсегда , если . , но может быть . Если же бикомпакты XиYсовершенно нормальны или одномерны, то .

Наиболее содержательна теория Р. прежде всего в классе метрич. пространств со счетной базой и затем в классе любых метрич. пространств. В классе мет-рич. пространств со счетной базой выполняются равенства Урысона

dimX = indX = IndX. (2)

В классе любых метрич. пространств выполняется р а-венство Катетова

dimX = IndX (3)

и может быть ind X=0

В случае метрич. пространств понятие n-мерного пространства следующими двумя способами может быть сведено к понятию нульмерного пространства. Для метрич. пространства Xтогда и только тогда , n=0,1,. . ., когда

а) пространство X может быть представлено в виде не более чем n+1 нульмерных слагаемых;

б) существует непрерывное замкнутое отображение кратности нульмерного метрич. пространства на пространствоX.

Для любого подмножества Аметрич. пространства Xнайдется такое подмножество типа вX,что dim B=dimA.

В классе метрич. пространств веса и размерности существует универсальное (в смысле вложений) пространство. Важную роль в построении теории Р. любых метрических (и более общих) пространств сыграла теорема Даукера: тогда и только тогда dim , когда в любое локально конечное открытое покрытие пространства X можно вписать открытое покрытие кратности

Одним из наиболее важных вопросов теории Р. является вопрос о соотношениях между лебеговой и индуктивными Р. Хотя для произвольного пространства Xзначения размерностей dimX,indX,IndX,вообще говоря, попарно различны, однако для нек-рых классов пространств, в том или ином смысле близких к метрическим, выполнено, напр., следующее:

а) если пространство Xобладает непрерывным замкнутым отображением f размерности dim f=0 на метрич. пространство, то выполняется равенство (3), отсюда следуют равенства (2) для локально бикомпактных групп и их факторпространств;

б) если существует непрерывное замкнутое отображение метрич. пространства на пространствоX,то выполняются равенства (2).

Еще одно общее условие для выполнения равенства (3) для паракомпакта Xвыглядит так: dimX=nи пространство X является образом нульмерного пространства при замкнутом отображении кратности , n=0,1,. . .

В случае произвольного пространства X всегда выполняются неравенства , а равенства dim Х = 0 и IndX = 0 равносильны. Для сильно паракомпактного (в частности, бикомпактного или финально компактного) пространства X выполняется неравенство dim . Для бикомпактов равенства ind X=l и IndX = l равносильны. Существуют бикомпакты, удовлетворяющие первой аксиоме счетности (и даже совершенно нормальные в предположении континуум-гипотезы), для которых dim Х=1, indX=n, n=2,3,. . . Построен пример топологич. однородного бикомпакта с dim Xт, что для каждогоn>mнайдется бикомпакт (метрич. пространство) X с indX=m,IndX = n,-неизвестно (1983).

В случае неметризуемых пространств Р. может не только не быть монотонной, но и обладает другими патологич. свойствами. Для любого n=2,3,. . . построен пример такого бикомпакта , что любое замкнутое подмножество его имеет Р. или 0 или . Аналогичный пример в случае индуктивных Р. невозможен. Построен также для любого n=1,2,. . .пример такого бикомпакта , что любое разбивающее этот бикомпакт замкнутое множество имеет размерность n=dim . Таким образом, подход к определению Р. в случае неметризуемого пространства в принципе отличен от индуктивного подхода А. Пуанкаре, основанного на разбиении пространства подпространствами меньшего числа измерений. Бикомпакты имеют непосредственное отношение к следующему утверждению: в любом n-мерном бикомпакте содержится n-мерное канторово многообразие.

Подмножество n-мерного евклидова пространстваЕптогда и только тогда n-мерно, когда оно содержит внутренние относительноЕnточки. Компакт имеет размерность тогда и только тогда, когда он обладает отображением Р. нуль вЕп,и, таким образом, с точностью до нульмерных отображений n-мерные компакты не отличимы от ограниченных замкнутых, содержащих внутренние (относительно Е).точки подмножествЕп.

См. такжеРазмерности теория.

Лит.:[1] А л е к с а н д р о в П. С., П а с ы н к о в Б. А., Введение в теорию размерности, М., 1973; [2] Г у р е в и ч В., В о л м э н Г., Теория размерности, пер. с англ., М., 1948; [3] У р ы с о н П. С.., Труды по топологии и другим областям математики, т. 1-2, М.- Л., 1951.Б. А. Пасынков.


  1. размерностьчисленностьstrong аргумент функцииstrong размерность системы число измерений число независимых параметров однозначнохарактеризующих ее состояниечисло характеристик ее ...Идеографический словарь русского языка
  2. размерностьРАЗМЕРНОСТЬ число измерений геометрической фигуры число равное единице если фигура есть линия равное двум если фигура есть поверхность равное трм если фигура представляет...Большая советская энциклопедия
  3. размерностьРАЗМЕРНОСТЬ физической величин ы выражение показывающее во сколько раз изменится единица физ. величины при изменении единиц величин принятых в данной системе за основные....Большая советская энциклопедия
  4. размерностьdimension...Большой русско-английский словарь биологических терминов
  5. размерностьж.dimensin fem dimensionalidad f...Большой русско-испанский словарь
  6. размерностьсущ. жен. рода только ед. ч....Большой русско-украинский словарь
  7. размерностьфизической величины выражение показывающее связь даннойвеличины с физическими величинами положенными в основу системы единицзаписывается в виде произведения символов соо...Большой энциклопедический словарь II
  8. размерностьРАЗМЕРНОСТЬ число измерений геометрической фигуры. Линия имеет размерность равную одномерный образ поверхность в частности плоскость или часть ее размерность равную дв...Большой энциклопедический словарь III
  9. размерностьРАЗМЕРНОСТЬ физической величины выражение показывающее связь данной величины с физическими величинами положенными в основу системы единиц записывается в виде произведени...Большой Энциклопедический словарь V
  10. размерностьРАЗМЕРНОСТЬ число измерений геометрической фигуры. Линия имеет размерность равную одномерный образ поверхность в частности плоскость или часть ее размерность равную д...Большой Энциклопедический словарь V
  11. размерностьstrong РАЗМЕРНОСТЬ число измерений геом. фигуры. Линия имеет Р. равную одномерный образ поверхность в частности плоскость или часть е Р. равную двумерный образ простр...Естествознание. Энциклопедический словарь
  12. размерностьфизической величины выражение показывающее связь данной физической величины с величинами положенными в основу системы единиц. Записывается в виде символов соответствующих...Иллюстрированный энциклопедический словарь
  13. размерностьи ж. физ.em Выражение показывающее связь данной величины с величинами взятыми за основные в какойл. системе единиц....Малый академический словарь
  14. размерностьприставка РАЗ корень МЕР суффикс Н суффикс ОСТЬ нулевое окончаниеОснова слова РАЗМЕРНОСТЬВычисленный способ образования слова Приставочносуффиксальный или префиксальн...Морфемный разбор слова по составу
  15. размерностьНачальная форма Размерность винительный падеж единственное число женский род неодушевленное...Морфологический разбор существительных
  16. размерностьРАЗМЕРНОСТЬstrong в математике число характеризующее протяженность предмета в какомлибо направлении. Если некоторая фигура обладает только длиной ее называют одномерной ...Научно-технический энциклопедический словарь
  17. размерностьв геометрии размерность геометрической фигуры число равное единице если фигура есть линия равное двум если фигура есть поверхность и равное трем если фигура есть тело ра...Начала современного естествознания
  18. размерностьразмерность размерность и...Орфографический словарь
  19. размерностьлшем...Орысша-қазақша «Математика» терминологиялық сөздік
  20. размерностьdimension...Политехнический русско-французский словарь
  21. размерностьразмерность размерности размерности размерностей размерности размерностям размерность размерности размерностью размерностями размерности размерностях...Полная акцентуированная парадигма по Зализняку
  22. размерностьОрфографическая запись слова размерность Ударение в слове размерность Деление слова на слоги перенос слова размерность Фонетическая транскрипция слова размерность [рзмэр...Полный фонетический разбор слов
  23. размерностьразмерность и...Русский орфографический словарь
  24. размерностьЖ мн. нет fiz. l bir kmiyytin l vahidinin hans sas vahidlrdn ml gldiyini gstrn ifad....Русско-азербайджанский словарь
  25. размерностьdimension...Русско-английский морской словарь
  26. размерностьem has dimensions strongof energy per Kelvin per mole. em has dimensionality strongmass x lengthsup xtimeразмерность...Русско-английский научно-технический словарь
  27. размерностьdimensionality dimension размерность ж.u .strong физической величины dimensions of a quantityиметь размерность напр. площади have the dimensions e. g. of area .strong с...Русско-английский политехнический словарь
  28. размерностьж. размерность матрицы...Русско-английский психологический словарь
  29. размерностьf.dimension dimensionality degree...Русско-английский словарь математических терминов
  30. размерностьdimension degree dimensionality Эта теорема была обобщена на случай более высоких размерностей Вайнштейном в г. This theorem has been generalized to higher dimensions b...Русско-английский словарь научного общения
  31. размерностьж.dimension dimensionality аномальная размерность гильбертова размерность каноническая размерность критическая размерность масштабная размерность нечтная размерность нуле...Русско-английский словарь по физике
  32. размерностьdimension dimensionality...Русско-английский словарь по электронике
  33. размерностьnumber of dimension...Русско-английский строительный словарь
  34. размерностьdegree dimension dimensionality гомологическая размерность иметь размерность инъективная размерность размерность когомологическая размерность фрактонная размерность Хаусд...Русско-английский технический словарь
  35. размерностьмассива dimension...Русско-английский толковый словарь терминов по информатике
  36. размерностьпамернасць...Русско-белорусский математический словарь
  37. размерностьРазмернасць...Русско-белорусский словарь
  38. размерностьфиз.i размернасць жен.i...Русско-белорусский словарь II
  39. размерностьразмеuрнасць ц размерность дробная размерность матрицы размерность многообразия размерность произвольная размерность сигнала...Русско-белорусский словарь математических, физических и технических терминов
  40. размерностьразмернасць ц...Русско-белорусский физико-математический словарь
  41. размерностьacotacin...Русско-испанский автотранспортный словарь
  42. размерностьж. физической величиныem dimensione f степень многомерности пространстваem dimensionalit f...Русско-итальянский политехнический словарь
  43. размерностьлшемдлк млшерлк...Русско-казахский словарь
  44. размерностьлшемдлк...Русско-казахский терминологический словарь «Машиностроение»
  45. размерность...Русско-китайский словарь
  46. размерностьlenmeklilik llilik...Русско-крымскотатарский словарь
  47. размерностьольченмеклилик ольчюлилик...Русско-крымскотатарский словарь II
  48. размерностьdimensija...Русско-латышский словарь
  49. размерностьAbmessung...Русско-немецкий автосервисный словарь
  50. размерностьнапр. пространстваem Dimension матем....Русско-немецкий политехнический словарь
  51. размерностьDimension...Русско-немецкий словарь по химии и химической технологии
  52. размерностьDimension...Русско-немецкий химический словарь
  53. размерностьDimension...Русско-немецкий экономический словарь
  54. размерность...Русско-персидский словарь
  55. размерностьразмерность андозадор...Русско-таджикский словарь
  56. размерностьж лчнеш системасы...Русско-татарский словарь
  57. размерностьастр. вчт матем. техн. физ. розмрнсть ност вимрнсть ност алгебраическая размерность виртуальная размерность гомологическая размерность инъективная размерность компак...Русско-украинский политехнический словарь
  58. размерностьdimension de grandeur dimension пространства dimensionnalit...Русско-французский словарь по химии
  59. размерностьdimense dimenze rozmrnost rozmrovost...Русско-чешский словарь
  60. размерностьРАЗМЕРНОСТЬ физической величины выражение показывающее связь данной физической величины с величинами положенными в основу системы единиц. Записывается в виде символов соо...Современная энциклопедия
  61. размерностьРАЗМЕРНОСТЬ число измерений геометрической фигуры. Линия имеет размерность равную одномерный образ поверхность в частности плоскость или часть ее размерность равную дв...Современный энциклопедический словарь
  62. размерностьРАЗМЕРНОСТЬ физической величины выражение показывающее связь данной величины с физическими величинами положенными в основу системы единиц записывается в виде произведения...Современный энциклопедический словарь
  63. размерностьРАЗМЕРНОСТЬ размерности мн. нет ж. физ. Выражение показывающее из каких основных единиц складывается единица измерения данной величины. Размерность скорости есть отношени...Толковый словарь русского языка II
  64. размерностьУдарение в слове размерностьУдарение падает на букву еБезударные гласные в слове размерность...Ударение и правописание
  65. размерностьRzeczownik размерность f Fizyczny wymiarowo f...Универсальный русско-польский словарь
  66. размерностьединицы физической величины выражение показывающее во сколько раз изменится единица данной величины при изменении единиц величин принятых в данной системе за основные. Р....Физическая энциклопедия
  67. размерностьразмерность размерности размерности размерностей размерности размерностям размерность размерности размерностью размерностями размерности размерностях Источник Полная акце...Формы слова
  68. размерностьНосарь Нос Норма Нора Номер Ном Нозем Нестор Нер Немота Немо Натрое Натр Нато Натес Наст Насмерть Нарост Нарез Наотрез Наос Намост Намет Назреть Наземь Назем Наз Наесть М...Электронный словарь анаграмм русского языка
  69. размерностьРАЗМЕРНОСТЬ число измерений геометрической фигуры. Линия имеет размерность равную одномерный образ поверхность в частности плоскость или часть ее размерность равную д...Энциклопедический словарь естествознания