РАЗЛОЖИМАЯ ГРУППА

над полемk,расщепи мая группа надk, k-pазложимая группа,- линейная алгебраич. группа, определенная над kи содержащая разложимую надk Бореля подгруппу;.при этом связная разрешимая линейная алгебраич. группа Вназ. разложимой над А, если она определена над kи обладает таким композиционным рядом , что всеВ_i-связные, определенные над kалгебраич. подгруппы, а каждая из факторгрупп изоморфна над kлибо одномерному торуG_m=GL₁.либо аддитивной одномерной группеG_a.В частности,алгебраический тортогда и только тогда разложим надk,когда он определен надkи изоморфен над kпрямому произведению нескольких экземпляров группыG_m.Для связных разрешимых k-разложимых групп справедливаБореля теоремао неподвижной точке.Определенная над kредуктивная линейная алгебраич. группа тогда и только тогда разложима надk,когда она обладает разложимым над kмаксимальным тором, т. е. когда ее k-ранг совпадает с ее рангом (см.Ранг алгебраической группы).Образ k-разложимой группы при любом определенном над kрациональном гомоморфизме является k-разложимой группой. Всякая определенная над kлинейная алгебраич. группа Gразложима над алгебраич. замыканием поля k;если, кроме того, группа Gредуктивна или разрешима и связна, то она разложима над нек-рым конечным расширением поляk.Если поле kсовершенно, то связная разрешимая определенная над kлинейная алгебраич. группа тогда и только тогда разложима над k, когда она приводится над kк треугольному виду. Если char k=0, то определенная над kлинейная алгебраич. группа тогда и только тогда разложима надk,когда ее алгебра ЛиLявляется разложимой (или расщепляемой) над kалгеброй Ли; последнее, по определению, означает, что алгебра Ли Lобладает расщепляющей подалгеброй. К а р т а н а, т. е. такойКартана подалгеброй,что все собственные значения каждого оператора ad_Lh, , принадлежат полюk.

Если - вещественная группа Ли, совпадающая с группой вещественных точек полупростой -разложимой алгебраич. группы G, a- комплексификация группы Ли , то наз. нормальной вещественной формой комплексной группы Ли

Существуютквазиразложимые группынад полемk,не являющиеся Р. г. над k;примером при может служить группаSO(3,1).

Лит.:[1] Б о р е л ь А., Линейные алгебраические группы, пер. с англ., М., 1972; [2] Б о р е л ь А., Т и т с Ж., "Математика", 1967, т. 11, № 1, с. 43-111; [3] М е р з л я к о в Ю. И., Рациональные группы, М., 1980; [4] Х а м ф р и Д ж., Линейные алгебраические группы, пер. с англ., М., 1980.В. Л. Попов.

разложимая группа—розкладна група...Русско-украинский политехнический словарь