Математическая энциклопедия

ПРЕДЕЛ

- одно из основных понятий математики, означающее, что какая-то переменная, зависящая от другой переменной, при определенном изменении последней, неограниченно приближается к нек-рому постоянному значению. Основным при определении П. является понятие близости рассматриваемых объектов: только после его введения П. приобретает точный смысл. С П. связаны основные понятия математич. анализа: непрерывность, производная, дифференциал, интеграл. Одним из простейших случаев П. является П. последовательности.

Предел последовательности. ПустьX -топологич. пространство. Последовательность его точекхn, n=1, 2, ... , наз. сходящейся к точке или, что то же самое, точках0наз. пределом данной последовательности, если для любой окрестности Uточких0существует такое натуральноеN,что для всехn>Nвыполняется включение ; при этом пишут

В случае, когдаX -хаусдорфово пространство, П. последовательности , если он существует, единствен. Для метрич. пространства Xточках0является П. последовательности{хn}тогда и только тогда, когда для любого e>0 существует такое натуральноеN,что для всех номеровn>Nвыполняется неравенство r(xn, x0)хп, х0)-расстояние между точкамихпих0.Если последовательность точек метрич.пространства сходится, то она ограничена. Последовательность точек полного метрич. пространства является сходящейся в том и только в том случае, когда она фундаментальная. В частности, это верно для числовых последовательностей, для к-рых исторически впервые возникло понятие П. последовательности. Для числовых последовательностей справедливы формулы


с -произвольное фиксированное число,


а если то


Эти свойства числовых последовательностей переносятся на П. последовательностей более общих структур, напр, свойство П. суммы - на последовательности точек линейных топологич. пространств, свойства П. произведения - на последовательности точек топологич. групп и т. д.

Если действительные числовые последовательности и сходятся и , n=1, 2, ... , то


т. е. при предельных переходах нестрогие неравенства сохраняются. Если


и , то последовательностьzn, n=l, 2, ... , сходится к тому же П.: . Эти свойства обобщаются на П. последовательностей точек упорядоченных множеств.

Всякая возрастающая (убывающая) последовательность действительных чиселхп,т. е. такая, чтохпхп+1(соответственнохпхn+1), n=1, 2, ... , ограниченная сверху (снизу), сходится, и ее П. является верхняя (нижняя) грань множества ее значений. Напр., если а>0,k -натуральное число,ап-приближенное значение корня с пдесятичными знаками после запятой, вычисленное с недостатком, тоап, п=1,2, ... , образуют возрастающую последовательность и Другим примером возрастающей ограниченной сверху последовательности является последовательность периметров правильных многоугольников с псторонами, n=3, 4, ... , вписанных в нек-рую окружность, к длине к-рой и сходится эта последовательность.

Особую роль в теории числовых последовательностей играют бесконечно малые последовательности, т. разность между членами последовательности и этим числом является бесконечно малой последовательностью.

Полезным является и понятие бесконечно больших числовых последовательностей, т. е. последовательностей, имеющих своим П. либо одну из бесконечностей со знаком или , либо бесконечность без знака . Для определения бесконечных П. вводятся понятия e-окрестностей, e>0, бесконечностей , и в множестве действительных чисел по формулам


н понятие e-окрестности в множестве комплексных чисел :


Пишут

(соответственно или ), n=1, 2, ... , если для любого e>0 существует такой номер N, что для всех номеровn>Nвыполняется включение (соответственно включение или ). Аналогично определяется бесконечный П. для последовательностей комплексных чисел.

Из всякой ограниченной числовой последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность (см.Болъцано-Вейерштрасса теорема),а из всякой неограниченной - бесконечно большую.

П. (конечный или бесконечный) какой-либо подпоследовательности данной последовательности наз. частичным пределом последней. В множестве всех частичных П. всякой последовательности действительных чисел всегда имеются как наибольший, так и наименьший (конечные или бесконечные). Наибольший (соответственно наименьший) частичный П. последовательности наз. ее верхним (соответственно нижним) пределом. Последовательность имеет конечный или бесконечный П. тогда и только тогда, когда ее верхний П. совпадает с нижним, причем их общее значение и является П.

С помощью П. последовательности могут быть определены другие понятия П., напр. П. функции и П. интегральных сумм. Определение П. последовательностей обобщается на случай направленных (частично упорядоченных) множеств.

Предел функции (отображения). Пусть Xи Y - топологич. пространства, ЕX, х0-точка прикосновения множества E, f :Е Y -отображение ЕвY.Точку наз. пределом отображения f в точкех0(или, как говорят, прих,стремящемся кх0).и пишут

или при ,

если, какова бы ни была окрестностьV=V(a).точки а вY,существует такая окрестностьU=U(x0).точких0вX,что для любой точкиее образ f(х).принадлежит . Иначе говоря, если ЕслиY -хаусдорфово пространство, то отображение

может иметь только один П. в точке . В случае, когда их0-точка прикосновения множестваЕ*,то П. суженияfE*отображения f на множествеЕ*наз. П. отображения (функции) f по множествуЕ*,при этом пишут


Еслих0- точка прикосновения множестваЕ* ксуществует , то в точкех0существует и предел f по множествуЕ*,причем


Если и существуют


то существует и


При рассмотрении П. отображения (функции) f : ЕY, ЕX,при может случиться, что или, наоборот, . Случай представляет специальный интерес, т. к. он приводит к понятию непрерывной функции: если и , то для того, чтобы отображение f имело П. в точкех0,необходимо и достаточно, чтобы


В случае выполнения этого условия отображение f и наз. непрерывным в точкех0.Если точкаx0является изолированной точкой множестваЕ,то в ней всегда существует предел


для любого отображения f : ЕY,т. о. любое отображение f непрерывно во всех изолированных точках множества своего определения. Поэтому понятие П. отображения, в частности его непрерывности, содержательно лишь для предельных точек отображаемого множества. В классич. случае П. функций f : ЕYобычно предполагается, что , т. х0не принадлежит тому множеству, по к-рому берется П.

Если в точке для пространства Xвыполняется первая аксиома счетности, а пространствоY -хаусдорфово, то для того, чтобы существовал предел отображения , необходимо и достаточно, чтобы для лк бой последовательности , n = 1, 2, ... ,, существовал предел . При выполнении этого условия предел не зависит от выбора указанной последовательности{хп}и их общее значение является П. отображения f в точкех0.

Предел последовательности точек{yn}топологич. пространства Yявляется частным случаем П. отображения (функции): в этом случаеЕ=-множество натуральных чисел, рассматриваемых с дискретной топологией, , окрестностью в X является любое подмножество вида , гдеn0- нек-рое натуральное число.

Понятие предела кратной последовательности, т. е. последовательности, члены к-рой снабжены целочисленными мультииндексами, также является частным случаем П. отображения.

Внутренний критерий существования П. отображения f : ЕY вданной точкех0(он наз. критерием Коши) в случае, когда в точкех0топологич. пространства выполняется первая аксиома счетности, а множество Y является полным метрич. пространством, состоит в том, что предел существует тогда и только тогда, когда для любого e>0 найдется такая окрестностьU=U(х0).точких0вX,что для всех точекх'их ",удовлетворяющих условию, выполняется неравенство . В частности, этот критерий справедлив, когда Yявляется множеством действительных или комплексных чисел.

Некоторые свойства пределов. ЕслиY -метрич. пространство, , и существует предел , то найдется такая окрестностьU=U(x0).точких0,что при отображении f образ пересечения отображаемого множества Ес этой окрестностью будет ограниченным подмножеством пространстваY.

Если функция -множество действительных чисел, имеет в точке не равный нулю конечный П., то существуют такие окрестностьU=U(x0).точких0и число с>0, что для всех точек выполняются неравенства f(х).>с,если f(х).< -с,если

ЕслиY -топологич. группа (в частности, коммутативная с аддитивной записью групповой операции), , то предел существует тогда и только тогда, когда функция a(x)=-f(x)a-1имеет в точкеx0предел, равный единице группыY(соответственно функция a(x)=f(x)-аимеет П. вхa,равный нулю,- такие функции наз. бесконечно малыми функциями).

ЕслиY -линейное топологич. пространство над полем то П. в точкеx0линейной комбинации отображенийf1иf2равен такой же линейной комбинации их П. в той же точке:


ЕслиY -множество действительных или комплексных чисел, (такие функции наз. числовыми), , то


а если , то

причем в этом случае под понимается П. сужения функции на пересечение отображаемого множества Ес нек-рой окрестностью точких0такой, что на указанном пересечении имеет смысл частное . Если , и существуют пределы ,

, то .

Если Xи Yполучены из множества действительных чисел пополнением его либо бесконечностью без знака: , либо двумя бесконечностями со знаком:

, то сформулированное определение П. функции является классич. определением конечного и бесконечного П. действительной функции одного переменного. Аналогично, если пространства Xи Yполучаются пополнением бесконечностью множества комплексных чисел , то получают определение П. (конечного и бесконечного) для функций комплексного переменного. Если же пространство X получается пополнением бесконечностью пространства (соответственно ), n>1, то получают определение конечного и бесконечного П. функции многих переменных при стремлении аргумента к конечной или бесконечно удаленной точке.

Для функций, определенных на подмножествах числовой прямой (или, более общо, на упорядоченных множествах), существует понятие одностороннего предела. Примером функций, имеющих по крайней мере один односторонний П. во всех предельных точках области определения, являются действительные монотонные функции: если функция f монотонна на множестве Ечисловой оси и точкаx0является предельной точкой множестваЕ,то она является и предельной точкой хотя бы одного из множествЕ1=Е{:x, Е2=Е{:х>а}.Если точках0предельная для множестваE1то у функции f в точкех0существует П. слева, а если она предельная дляЕ2,то справа. При этом если, напр., функция f возрастает и ограничена сверху, ,х0-предельная точка для множестваE1,то предел конечен.

Основным общим методом отыскания П. функций является метод выделения главных частей функций в окрестности данной точки, что обычно делается с помощьюТейлора формулы.Для вычисления П. часто бывает полезноЛопиталя правило.

Несмотря на большую общность понятия П. отображения, оно не охватывает все существующие понятия П., имеющиеся в современной математике. Напр., понятие П. интегральных сумм не содержится в понятии

П. отображения (функции). Достаточно общим понятием П., в определенном смысле охватывающим все основные случаи, является П. отображения по фильтру.

Предел фильтра. ПустьX -топологии, пространство, - его база топологии, - фильтр на X(т. е. такое непустое семейство непустых подмножеств пространстваX,что для любых существует такое , что ). Точках0наз. пределом фильтра или его .предельной точкой, если фильтр сильнее фильтра , являющегося локальной базой топологии в точкех0,т. е. для любого существует такое , что

Пусть - множество натуральных чисел с дискретной топологией. Фильтр на множестве , состоящий из всевозможных дополнений к конечным подмножествам множества , наз. натуральным фильтром и обозначается . Он не имеет П. в . Тот же фильтр на множестве , в к-ром локальная база состоит из всевозможных множеств , а при - из одной точкиn,имеет своим П. бесконечность . Единственность П. фильтра топологич. пространства связана с отделимостью точек пространства: для того чтобы любой фильтр топологич. пространства имел не более одного П., необходимо и достаточно, чтобы пространство было хаусдорфово.

ПустьX -нек-рое множество,Y -топологич. пространство, j - отображение Xв Y, - фильтр наX.Точкуназ. пределом отображения Ф по фильтру и пишут


если фильтр , состоящий из всевозможных множеств Х, имеет своим П. в пространстве Yточкуb.

ЕслиХ~-множество натуральных чисел, j - отображение в топологич. пространствоY,j(n)= - натуральный фильтр, то П. отображения ф по фильтру в пространстве Yсовпадает с обычным П. последовательности{уп}в Y.

Если в - фильтр наX,являющийся произведением двух натуральных фильтров , т. е. состоящий из всевозможных множеств вида , где - отображение в топологич. пространство , то П. отображения j по фильтру в пространстве Y совпадает с обычным П. двойной последовательности{упт}в Y. Пусть элементами множества Xявляются, в свою очередь, множествах,состоящие из какого-либо разбиения нек-рого отрезка [а, b];a=t01<...>n-1n=bи каких-то точек ,i=1,2,... , то есть

х = {t,x1,..., xn).

Пусть Аh(для любого h>0) - подмножество множестваX,состоящее из всех элементов , у к-рых мелкости входящих в них разбиений меньше h, то есть


Система является фильтром. Всякая действительная функция f, определенная на отрезке [а, b], порождает отображение jfмножества Xв числовую ось по формуле


Таким образом, jf(х).является значением интегральной суммы Римана функции f, соответствующим элементу П. отображения jfв по фильтру совпадает с обычным П. интегральных сумм Римана функции fпри условии, что мелкости рассматриваемых разбиений стремятся к нулю. Это совпадение имеет место в том смысле, что оба П. одновременно существуют или нет, а если существуют, то равны и являются значениями интеграла Римана от функции f по отрезку [а, b].

Предел отображения топологических пространств по фильтру. Пусть Xи Y - топологич. пространства, - фильтр на E, j - отображение Ев Y. Точку наз. пределом отображения j в точке по фильтру , если о является П. фильтра , а bявляется П. фильтра. В этом случае пишут ,


Если - база окрестностей в точкеа, Е=Х{а},а фильтрсостоит из всевозможных "проколотых окрестностей" U(а){а} точки , то предел совпадает с обычным пределом отображения ф в точкеа,то есть обобщает классическое определение П. отображения, сформулированное в терминах окрестностей. Непосредственным обобщением понятия П. последовательности является П. направленного множества в топологическом пространстве, т. е. такого частично упорядоченного множества, у к-рого за каждыми двумя элементами имеется следующий. В терминах П. по направленным множествам можно также сформулировать понятие П. отображения одного топологич. пространства в другое (см.Направленность, Сходимость).

Предел последовательности множеств. Топологический предел. ПустьАп, п=1, 2, ... ,- множества топологич. пространстваX.Верхним топологическим пределом последовательности{Аn}наз. множество точек , каждая окрестность к-рых пересекается с бесконечным числом множествАп,а нижним топологическим пределом - множество точек, каждая окрестность к-рых содержит точки почти всехАп.Очевидно, . ЕслиА, то последовательность{Ап}наз. сходящейся, а множество Аее топологическим П. и пишут A = ItАп.Верхний и нижний топологические П. последовательности являются замкнутыми множествами.

Теоретико-множественный предел. Имеется понятие П. последовательности множеств, не связанное с топологией. Последовательность множествАп, n=1, 2, ... , наз. сходящейся, если существует такое множествоА,называемое ее пределом и обозначаемое

А=liт Аn,

что каждая его точка принадлежит всем множествамАп,начиная с нек-рого номера, и каждая точка из объединения всех множествАп,не принадлежащаяА,содержится лишь в конечном числе множествАп.Множество Аявляется П. последовательности {Ап}тогда и только тогда, когда оно является одновременно ееверхним и нижним пределом.

Лит.:[1] Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1, М., 1971; [2] Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Б. X., Математический анализ, М., 1979; [3] Кудрявцев Л. Д., Курс математического анализа, т. 1-2, М., 1981; [4] Никольский С. М., Курс математического анализа, 2 изд., т. 1, М., 1975; 15] Бурбаки Н., Общая топологи". Основные структуры, пер.

о франц., 2 изд., М., 1958; [6] Замайский М., Введение в современную алгебру и анализ, пер. с франц., М., 1974; Е7] Келли Д ж. Д., Общая топология, пер. с англ., 2 изд., М., 1981; t8] X а у с д о р ф Ф., Теория множеств, пер. с нем., М.-Л., 1937.Л.


Синонимы:
апогей, берег, венец, верх, вершина, высшая ступень, геркулесовы столбы, геркулесовы столпы, граница, грань, дальше ехать некуда, дальше некуда, зенит, колофон, конец, край, крайняя степень, кэп, лимит, максимум, межа, мера, местность, порог, потолок, предел, его же не прейдеши, предельная возможность, размах, рамки, ремедиум, рубеж, свинг, судьба, сфера, точка, участь, черта


  1. предел—границаstrong изменениеstrong предел граница изменения переменной величиныграница возможного числовой последовательности.грань.край.порог.несравн. степень чем. не бол...Идеографический словарь русского языка
  2. предел—См. токВ. В. Виноградов.История слов апогей берег венец верх вершина высшая ступень геркулесовы столбы геркулесовы столпы граница грань дальше ехать некуда дальше некуда ...История слов
  3. предел—ПРЕДЕЛ одно из осн. понятий математики. П. постоянная к крой неограниченно приближается некрая переменная величина зависящая от другой переменной величины при определнном...Большая советская энциклопедия
  4. предел—одно из основных понятий математики. П. постоянная к которой неограниченно приближается некоторая переменная величина зависящая от другой переменной величины при определ...Большая Советская энциклопедия II
  5. предел—. граница ограничение чеголибо . последняя степень чеголибо.Синонимы апогей берег венец верх вершина высшая ступень геркулесовы столбы геркулесовы столпы граница грань да...Большой бухгалтерский словарь
  6. предел—. граница ограничение чеголибо . последняя степень чеголибо....Большой бухгалтерский словарь II
  7. предел—м. рубеж confine limite за пределами чегол. fuori al di l dei confini di qc в пределах чегол. entro i confini di qc перен. мн. пределы границы рамки limiti m pl в пр...Большой итальяно-русский и русско-итальянский словарь
  8. предел—м границаem Grenze f в пределах России innerhalb der Grenzen Rulandsза пределами страны auerhalb der Landesgrenzen перен. Grenze f Schranke f всему есть предел alles h...Большой немецко-русский и русско-немецкий словарь
  9. предел—предел м . граница Grenze f c в пределах России innerhalb der Grenzen Rulands за пределами страны auerhalb der Landesgrenzen . перен. Grenze f Schranke f c всему есть пре...Большой немецко-русский и русско-немецкий словарь
  10. предел—bound end физиол. limen limit threshold...Большой русско-английский словарь биологических терминов
  11. предел—м. рубежem lmite mem confn mem linde mв предеuлах России en los confines de Rusiaв предеuлах городскоuй чертыu dentro de los lmites de la ciudad крайняя степеньem fin m...Большой русско-испанский словарь
  12. предел—m в соч. возрастной пределпредел дозы...Большой русско-немецкий медицинский словарь
  13. предел—сущ. муж. рода. чего рубеж. комучему последняя граньмежа мен. жн. роду. мат. терминграниця . за пределами района за межами району . всему есть предел усьому межа это...Большой русско-украинский словарь
  14. предел—м. граница рубежem limite f bornes f pl в пределах России sur le territoire de la Russie за пределами чеголибо en dehors de qch перен. terme m fin f конецem limite f ...Большой русско-французский словарь
  15. предел—Предел его же не прейдеши.strong Книжн. Устар.em О рубеже который нельзя переступить. emgt Восходит к церковнославянскому тексту Библии. БМС .em Синонимы апогей берег ве...Большой словарь русских поговорок
  16. предел—м. граница рубежem limite f bornes f pl в пределах России sur le territoire de la Russieза пределами чеголибо en dehors de qch перен. terme m fin f конецem limite f гра...Большой французско-русский и русско-французский словарь
  17. предел—. граница ограничение чеголибо. последняя степень чеголибо.Синонимы апогей берег венец верх вершина высшая ступень геркулесовы столбы геркулесовы столпы граница грань дал...Большой экономический словарь
  18. предел—последовательности действительных чисел аsub asub . апsub . i число аi обладающее тем сввом что все члены последовательности с достаточно большим номером пi разнятся от а...Большой энциклопедический политехнический словарь
  19. предел—последовательности действительных чисел a a . an .число a обладающее тем свойством что все члены an последовательности сдостаточно большим номером n разнятся от a как уг...Большой энциклопедический словарь II
  20. предел—ПРЕДЕЛ последовательности действительных чисел a a . an . число a обладающее тем свойством что все члены an последовательности с достаточно большим номером n разнятся от...Большой Энциклопедический словарь V
  21. предел—Limit В отношении инструкций по сделкам ограничение накладываемое на распоряжение о покупке или продаже определяющее минимальную продажную или максимальную покупную цену....Глоссарий финансовых терминов, 2002, Consum Corporate Agents
  22. предел—последовательности действительных чисел аsub аsub . апsub .i число аi обладающее тем свойством что все члены аnsubgti последовательности с достаточно большим номером пi р...Естествознание. Энциклопедический словарь
  23. предел—постоянное число к которому неограниченно приближается переменная величина при некотором процессе ее изменения. Простейшим является понятие предела числовой последователь...Иллюстрированный энциклопедический словарь
  24. предел—Предел finis limes terminus termini possessionum regio ultimum fundus meta modus ora cancelli...Латинский словарь
  25. предел—Крайний предел апогей берег венец верх вершина высшая ступень геркулесовы столбы геркулесовы столпы граница грань дальше ехать некуда дальше некуда зенит колофон конец к...Латинско-русский и русско-латинский словарь крылатых слов и выражений
  26. предел—молодежный театр г. Скопин Рязанской обл. Создан в г. Владимиром Фердинандовичем Делем род. в г. который так определил смысл названия коллектива Предел очень емкое пон...Любительское художественное творчество в России ХХ века
  27. предел—а м.em Край конечная часть чегол.Здесь крайний предел Пермской губернии.em МаминСибиряк Дружки. Казалось что нет и не будет предела этим лесам.em Белов Кануны. перен.em К...Малый академический словарь
  28. предел—корень ПРЕДЕЛ нулевое окончаниеОснова слова ПРЕДЕЛВычисленный способ образования слова Бессуфиксальный или другой ПРЕДЕЛ Слово Предел содержит следующие морфемы или час...Морфемный разбор слова по составу
  29. предел—Начальная форма Предел винительный падеж единственное число мужской род неодушевленное...Морфологический разбор существительных
  30. предел—шек шекара ш маы...Мұнай-газ терминдерінің орысша-қазақша сөздігі
  31. предел—ПРЕДЕЛstrong в математике значение или значения к которым приближаются значения последовательного ряда чисел. Предел математического РЯДА это значение к которому прибли...Научно-технический энциклопедический словарь
  32. предел—предел . м. Граница черта разделяющая между собою земли государства рубеж. устар. Край страна. а Последняя крайняя степень грань чегол. б перен. Мера норма граница чег...Новый толково-словообразовательный словарь русского языка
  33. предел—линия обозначающая конец протяженности того или иного тела. Предел действия власти. Кант определял философию как критику нашего познания т.е. как беспредельную мысль ведь...Новый философский словарь
  34. предел—. Конечное значение ряда. . Конец концы некоторого контиума особенно сенсорного континуума. . См. асимптота....Оксфордский толковый словарь по психологии
  35. предел—. Конечное значение ряда. . Конец концы некоторого контиума особенно сенсорного континуума. . См. асимптота....Оксфордский толковый словарь по психологии
  36. предел—предел предел а граница...Орфографический словарь
  37. предел—u мu мн.u пределы Р.u пределов граница степень чегон. ср.u придел апогей берег венец верх вершина высшая ступень геркулесовы столбы геркулесовы столпы граница грань дальш...Орфографический словарь русского языка
  38. предел—шек...Орысша-қазақша «Ауыл шаруашылығы» терминологиялық сөздік
  39. предел—шек...Орысша-қазақша «Математика» терминологиялық сөздік
  40. предел—limite borne...Политехнический русско-французский словарь
  41. предел—предел пределы предела пределов пределу пределам предел пределы пределом пределами пределе пределах...Полная акцентуированная парадигма по Зализняку
  42. предел—Орфографическая запись слова предел Ударение в слове предел Деление слова на слоги перенос слова предел Фонетическая транскрипция слова предел [бридэл] Характеристика вс...Полный фонетический разбор слов
  43. предел—межа границя грань рубж бежа берег конец край кнець нця. дел жизни кнець життя. лы меж переносно береги обруб объм обсяг чого. Расширить лы государства розсунути меж д...Російсько-український словник (Українська академія наук)
  44. предел—Вне пределов досягаемости.hПоза межами досягання поза досягом.Всему есть предел.hУсе ма свй край свою межу усьому межа край кнець.Выйти из пределов за пределы дозволенно...Російсько-український словник сталих виразів
  45. предел—предел а границаem Синонимы апогей берег венец верх вершина высшая ступень геркулесовы столбы геркулесовы столпы граница грань дальше ехать некуда дальше некуда зенит кол...Русский орфографический словарь
  46. предел—Крайний предел...Русский словарь латинских пословиц
  47. предел—М . srhdd . hdd hdud положить предел чемул. hdd hdud qoymaq . mc. mddt rz в пределах двухтрех месяцев iki ay mddtind rzind . khn. lk mmlkt yurd вернуться в родные пределы...Русско-азербайджанский словарь
  48. предел—м. предел воспламеняемости предел выносливости предел давления предел детонации предел дымности отработавших газов предел износа предел нагрузки предел обеднения смеси пр...Русско-английский автомобильный словарь
  49. предел—containment boundary boundary deadline limit margin range term threshold...Русско-английский машиностроительный словарь
  50. предел—м. limit range предел безопасности предел движений предел дозы температурный предел...Русско-английский медицинский словарь
  51. предел—limit...Русско-английский морской словарь
  52. предел—.u в более узких пределах в определнных пределах в пределах в узких пределах в указанных пределах в широких пределах вне пределов выходить за пределы далеко за пределами ...Русско-английский научно-технический словарь
  53. предел—bound boundary end матем.u extreme limit limitation рабочего режимаem margin tether threshold предел м.ulimit ограничение bound граница boundaryв пределе напр. больших с...Русско-английский политехнический словарь
  54. предел—м. границаem limit boundary margin ограничениеem limitation имеющий предел finite limitedставить предел limitслужить пределом limit максимум потолокem ceiling биолог...Русско-английский психологический словарь
  55. предел—предел м.ilimit тж. мат.i границаi bound конецi end в пределах рд.i within d.i within the limits of в пределах города городской черты within the city limits within the ...Русско-английский словарь
  56. предел—предел м. . граница limit в пределах города within the city limits в пределаx страны within the country выехать за пределы страны leave the country предел задолженности ...Русско-английский словарь II
  57. предел—m.limit bound предел текучести yield point yield stressСинонимы апогей берег венец верх вершина высшая ступень геркулесовы столбы геркулесовы столпы граница грань дальше ...Русско-английский словарь математических терминов
  58. предел—limit...Русско-английский словарь по авиации
  59. предел—cutoff point апогей берег венец верх вершина высшая ступень геркулесовы столбы геркулесовы столпы граница грань дальше ехать некуда дальше некуда зенит колофон конец край...Русско-английский словарь по машиностроению
  60. предел—м.в длинноволновом пределе in the longwavelength limitв пределах . within the limits of .в пределах ошибок эксперимента within the limits of experimental errorпереходи...Русско-английский словарь по физике
  61. предел—end bound boundary limit termination terminus threshold margin measure scope...Русско-английский словарь по электронике
  62. предел—bound limit range summit term...Русско-английский словарь политической терминологии
  63. предел—m limit...Русско-английский словарь стекольной промышленности
  64. предел—compass bound boundary limit precinct...Русско-английский строительный словарь
  65. предел—bound ampLTcommun.ampGT margin term вероятностный предел верхний предел выйти за предел нижний предел предел в среднем предел видимости предел воспламенения предел выносл...Русско-английский технический словарь
  66. предел—limit...Русско-английский толковый словарь терминов по информатике
  67. предел—bound boundary ceiling dent limit line measure range summit term ultimate utmost verge...Русско-английский экономический словарь
  68. предел—сущ.bound boundary end limitвыходить за пределы чеголem to exceed overstep the bounds limits ofв пределах within the bounds limits ofem полномочийem within ones powersв...Русско-английский юридический словарь
  69. предел—N в пределах...Русско-армянский словарь
  70. предел—лмт...Русско-белорусский математический словарь
  71. предел—Муж. мяжа гранца рубеж пределы колебания температуры межы хстання тэмпературы предел упругости высоты нагрузки мяжа пругкасц вышын нагрузк предел прочности тех. мяжа т...Русско-белорусский словарь
  72. предел—муж. мяжа жен.iгранца жен. рубеж муж.iпределы колебания температуры межы хстання тэмпературыпредел упругости высоты нагрузки мяжа пругкасц вышын нагрузкпредел прочности...Русско-белорусский словарь II
  73. предел—ограничениеi гранuца цы ж.i диапазон рамкиi мяжаu жыu ж.i мат. оператор его значениеi лмuт ту м.i предел бесконечно малый высший предел больших N предел выносливости пред...Русско-белорусский словарь математических, физических и технических терминов
  74. предел—м. ограничение гранца цы ж. диапазон рамки мяжа жы ж. мат. оператор его значение лмт ту м....Русско-белорусский физико-математический словарь
  75. предел—hatr апогей берег венец верх вершина высшая ступень геркулесовы столбы геркулесовы столпы граница грань дальше ехать некуда дальше некуда зенит колофон конец край крайн...Русско-венгерский словарь
  76. предел—предел м в ах. . за ами. или ....Русско-греческий словарь (Сальнов)
  77. предел—Синонимы апогей берег венец верх вершина высшая ступень геркулесовы столбы геркулесовы столпы граница грань дальше ехать некуда дальше некуда зенит колофон конец край кра...Русско-ивритский словарь
  78. предел—alcance extremo lmite предел допускаемый...Русско-испанский автотранспортный словарь
  79. предел—banda lmite lnea meta trmino tope...Русско-испанский экономический словарь
  80. предел—lmite trmino...Русско-испанский юридический словарь
  81. предел—limitazione limite допускаемый margine massimo termine...Русско-итальянский автомобильный словарь
  82. предел—limite...Русско-итальянский медицинский словарь
  83. предел—м. limite m предел безопасности верхний предел предел взрывоопасности предел видимости временной предел предел выносливости предел вязкости предел диссоциации дифракцион...Русско-итальянский политехнический словарь
  84. предел—limite...Русско-итальянский экономический словарь
  85. предел—limite linea...Русско-итальянский юридический словарь
  86. предел—.шек всему есть предел р нрсен шег бар за пределами города ала шегнен тысары перейти пределы приличия дептлк шегнен шыып кету. аралы ш в пределах одного года бр жыл аралы...Русско-казахский словарь
  87. предел—шек иыр...Русско-казахский словарь для учащихся и студентов
  88. предел—шек...Русско-казахский терминологический словарь «Архитектура и строительство»
  89. предел—шек...Русско-казахский терминологический словарь «Машиностроение»
  90. предел—м. . граница чек чек ара выехать за пределы города шаардын чегинен ары чыгуу в пределах города шаардын чегинин ичинде . перен. промежуток времени чен аралык ич в пределах...Русско-киргизский словарь
  91. предел—границаem ji [] jng[ji]в пределах страны в пределах города за пределами страны выехать за пределы страна мн. пределы shq qxinв пределах двухтрх месяцев мн. п...Русско-китайский словарь
  92. предел—граница sr ii daire eriveв пределах государства devletni srlar iindeвыехать за пределы города eerden qmaq перен.em мера граница чеголибо qarar sr soвсему есть предел ...Русско-крымскотатарский словарь
  93. предел—граница сынъыр ичи даире черчиве в пределах государства девлетнинъ сынъырлары ичинде выехать за пределы города шеэрден чыкъмакъ перен. мера граница чеголибо къарар сынъ...Русско-крымскотатарский словарь II
  94. предел—robea novads puse mala augstk pakpe kalngali...Русско-латышский словарь
  95. предел—riba...Русско-литовский словарь
  96. предел—Хязгаар хэмжээ хязгаар хязгаарлах...Русско-монгольский словарь
  97. предел—м.Grenze fu Grenzwert m допустимый предел износа предел подачи топлива по дымлению предел по условиям заноса предел продольной устойчивостиСинонимы апогей берег венец вер...Русско-немецкий автомобильный словарь
  98. предел—Grenze Grenzwert матем.u Limes Rand Schranke Schwelle...Русско-немецкий политехнический словарь
  99. предел—м. в разн. знач. Grenze f в пределах города innerhalb der Stadt за пределами страны auerhalb des Landes der Landesgrenzen в пределах возможного im Rahmen des Mglichen ...Русско-немецкий словарь
  100. предел—Grenze Schwelle...Русско-немецкий словарь по химии и химической технологии
  101. предел—мGrenze fem Begrenzung fem...Русско-немецкий словарь стекольной промышленности
  102. предел—Grenze Schwelle...Русско-немецкий химический словарь
  103. предел—Hhe Hchstgrenze Grenze Plafond Limit Ma Schwelle Schranke...Русско-немецкий экономический словарь
  104. предел—Begrenzung Grenze Limit Ma Neuverteilung Schranke...Русско-немецкий юридический словарь
  105. предел—Begrenzing...Русско-нидерландский словарь
  106. предел—пределм . рубеж . за ами чегол. в ах страны . перен граница высшая степень скорости тех. упругости тех. счастья мечтаний вне ов досягае...Русско-новогреческий словарь
  107. предел—bristepunkt grense апогей берег венец верх вершина высшая ступень геркулесовы столбы геркулесовы столпы граница грань дальше ехать некуда дальше некуда зенит колофон коне...Русско-норвежский словарь
  108. предел—...Русско-персидский словарь
  109. предел—. granica. szczytblockquote. granice obrb obszarblockquote. kresblockquote. krainablockquote...Русско-польский словарь
  110. предел—м linda fu границаem limite mu границыem confins mplu чащеu мнu прнu рамкиem limites mplu quadros mplu крайняя степеньem limite mu fim mu extremo mu конецem fim mu матu l...Русско-португальский словарь
  111. предел—Пределaheri hadi hatima maishilio мн.em hududi kikomo vi mkomo mi ukomo ед. komoem kilele vi kipeo vi kitembo vi maisha мн.em mfiko mi mpaka mi mwisho mi upeo peo dal...Русско-суахили словарь
  112. предел—предел ад удуд сарад...Русско-таджикский словарь
  113. предел—м .актык со чик п. совершенства камиллекне со чиге всему есть п. р нрсне чиге бар .в пределах эченд арасында в п. одного года бер ел эченд .за пределами чиктн ары читт за...Русско-татарский словарь
  114. предел—м границаem snr в стране и за е пределами lke iinde ve dndaза пределами наших границ snrlarmzn dnda tesindeвыслать когол.em за пределы страны snrd etmekперенести заво...Русско-турецкий словарь
  115. предел—had hudut snr limit нижний предел предел выносливости предел допуска предел огнестойкости предел пластичности предел прочности предел текучести предел упругости ...Русско-турецкий словарь по строительству и архитектуре
  116. предел—had...Русско-узбекский словарь Михайлина
  117. предел—матем. черта границя бесконечный предел внешний предел доверительный предел конечный предел левый предел наибольший предел наименьший предел несобственный предел ...Русско-украинский политехнический словарь
  118. предел—memraja ri предельныйдо предеuла rimmilleen...Русско-финский словарь
  119. предел—физиол. limen seuil terme...Русско-французский медицинский словарь
  120. предел—borne extrmit marge...Русско-французский словарь по химии
  121. предел—м limite граница limite frontire потолок plafond точка point в пределах суммы в . рублей jusquau montant de . roubles в пределах компетенции dans la limite des pouvoirs...Русско-французский экономический словарь
  122. предел—bod hranice krajn mez limit limita mez meze mezn hodnota mra pedl rozsah vrchol...Русско-чешский словарь
  123. предел—сущ.муж. син. рубеж граница чйк пределы области область чиккисем за пределами отечества чйк леш енче. лтй пусм чйк предел скорости чи пыск хавартлах предел моих желаний м...Русско-чувашский словарь
  124. предел—grensvr_de.strong grnsvrde...Русско-шведский словарь
  125. предел—Grns...Русско-шведский словарь II
  126. предел—.strong koht.strong paik piir piirvrtus raja...Русско-эстонский словарь
  127. предел—предел рубежСинонимы апогей берег венец верх вершина высшая ступень геркулесовы столбы геркулесовы столпы граница грань дальше ехать некуда дальше некуда зенит колофон ко...Русское словесное ударение
  128. предел—линия обозначающая конец протяженности того или иного тела. Предел действия власти. Кант определял философию как критику нашего познания т.е. как беспредельную мысль ведь...Сверхкраткий философский словарь
  129. предел—Учать удел доля судьба....Словарь редких и забытых слов
  130. предел—предел см. апогей граница выступать из пределов дозволенного не выходить из пределов благопристойности не знать предела положить предел...Словарь русских синонимов и сходных по смыслу выражений
  131. предел—пределСм. апогей границавыступать из пределов дозволенного не выходить из пределов благопристойности не знать предела положить предел....Словарь синонимов II
  132. предел—предел См. апогей граница выступать из пределов дозволенного не выходить из пределов благопристойности не знать предела положить предел. Словарь русских синонимов и сходн...Словарь синонимов II
  133. предел—предел граница мера грань высшая точка максимум пик лимит край граница рубеж апогей конец черта вершина рамки высшая ступень ремедиум свинг дальше ехать некуда участь вен...Словарь синонимов
  134. предел—сущ. граница рубеж редко ограничение определение лат.em Definitio заповедь закон Дан. . Мф. . апогей берег венец верх вершина высшая ступень геркулесовы с...Словарь церковнославянского языка
  135. предел—h пределbig сущ.муж.неод.i мн.вин. Река возвратилась в предписанные ей пределыПр. армян вновь перешедших в российские пределы изза Аракса.Пр. и мчат далеко за обыкновенн...Словарь языка Грибоедова
  136. предел—ПРЕДЕЛ последовательности действительных чисел a a . an . число a обладающее тем свойством что все члены an последовательности с достаточно большим номером n разнятся от ...Современный энциклопедический словарь
  137. предел—предел сущ.em м.em употр. часто Морфология нет чего пределаstrong чему пределуstrong вижу что пределstrong чем пределомstrong о чм о пределеstrong мн. что пределыstrong н...Толковый словарь Дмитриева
  138. предел—ПРЕДЕЛ м. начало или конец кон межа грань раздел край рубеж или граница конец одного и начало другого в смысле вещественном и духовном. Пределы государства рубежи границы...Толковый словарь живого великорусского языка
  139. предел—ПРЕДЕЛ а м. . Пространственная или временная граница чегон. точто ограничивает собою чтон. За пределами страны. В пределах текущего года. Последняя крайняя грань степень ...Толковый словарь Ожегова
  140. предел—ПРЕДЕЛ предела м. книжн. . только мн. граница черта разделяющая между собою земли государства рубеж. Выйти за пределы города. Обозначить на карте пределы области. Местно...Толковый словарь русского языка II
  141. предел—предел предел а м. Пространственная или временная граница чегон. то что ограничивает собою чтон. За ами страны. В ах текущего года. Последняя крайняя грань степень чегон....Толковый словарь русского языка II
  142. предел—ПРЕДЕЛ а м. . Пространственная или временная граница чегонибудь то что ограничивает собою чтонибудь За пределами страны. В пределах текущего года. . Последняя крайняя гра...Толковый словарь русского языка
  143. предел—Ударение в слове пределУдарение падает на букву еБезударные гласные в слове предел...Ударение и правописание
  144. предел—Rzeczownik предел m granica f obrb m...Универсальный русско-польский словарь
  145. предел—ПРЕДЕЛ margin . Процент стоимости товаров который нужно добавить к их стоимости чтобы получить продажную цену. . Разница между ценами продажи и покупки ценных бумаг делат...Финансовый словарь
  146. предел—верхний уровень компенсации по договору страхования....Финансы. Словарь по книге
  147. предел—предел пределы предела пределов пределу пределам предел пределы пределом пределами пределе пределах Источник Полная акцентуированная парадигма по А. А. Зализняку . Синони...Формы слова
  148. предел—ПРЕДЕЛ limit Значение к которому стремится некий процесс при его бесконечном предложении. Например рассмотрим процесс начинающийся с некоторого конечного числа хem путе...Экономический словарь
  149. предел—Перед Пед Лдпр Реле Еле Дер Деп Лед Леер Перл Плед Предел Плеер...Электронный словарь анаграмм русского языка
  150. предел—Предел см. Дифференциальное исчисление определение III....Энциклопедический словарь
  151. предел—[limit] Смотри также физический предел текучести предел упругости предел пропорциональности предел ползучести предел ограниченной выносливости предел длительной про...Энциклопедический словарь по металлургии
  152. предел—см. Дифференциальное исчисление определение III....Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
  153. предел—Пределstrong. Заимств. из ст.сл. яз. Преф. производное от длъi предел. См. делитьi доляi....Этимологический онлайн-словарь русского языка Шанского Н. М
  154. предел—Это слово заимствованное из старославянского языка образовано приставочным способом от дълъ имевшего такое же значение предел. Восходит к той же основе что и глагол делит...Этимологический словарь Крылова
  155. предел—Заимств. из ст.сл. яз. Преф. производное от длъem предел. См. делитьem доляem.Синонимы апогей берег венец верх вершина высшая ступень геркулесовы столбы геркулесовы столп...Этимологический словарь русского языка