ПРЕДЕЛ

одно из основных понятий математики. П. — постоянная, к которой неограниченно приближается некоторая переменная величина, зависящая от другой переменной величины, при определённом изменении последней. Простейшим является понятие П. числовой последовательности, с помощью которого могут быть определены понятия П. функции, П. последовательности точек пространства, П. интегральных сумм.

Предел последовательности.Пусть задана последовательность действительных чиселx_n, n=1,2,... Числоаназывается пределом этой последовательности, если для любого числа ε > 0 существует такой номерn_ε,что для всех номеровn≥n_εвыполняется неравенство |x_n— a| < ε. В этом случае пишется

(lim — первые буквы латинского слова limes), или

x_n→ aприn→ ∞.

Если последовательность имеет П., то говорят, что она сходится. Так, последовательность 1/n, n= 1, 2,..., сходится и имеет своим П. число 0. Не всякая последовательность имеет П., например последовательность 1, —1, 1,..., (—1)ⁿ⁺¹,... не имеет П. Последовательность, не имеющая П., называется расходящейся. На геометрическом языке существование у последовательности П., равногоа,означает, что каждая окрестность точкиасодержит все члены данной последовательности, за исключением, быть может, их конечного числа.

Для П. последовательностей имеют место формулы

c - постоянная)

Эти формулы справедливы в предположении, что П., стоящие в их правых частях, существуют, причём в формуле для П.частногоx_n/y_nнадо ещё дополнительно потребовать, чтобы x_n≤y_nи последовательностиx_nиy_n, n= 1, 2,... сходятся, то

т. е. при предельных переходах нестрогие неравенства сохраняются (но изx_n<y_nне вытекает,например, 1/n> 0,n=1, 2,... однако x_n≤z_n≤y_n,то последовательностьz_n, n= 1,2,...,сходится к тому же П.:

Последовательностьa_n, n= 1, 2,..., сходящаяся к нулю, называется бесконечно малой. Последовательность сходится к какому-либо числу тогда и только тогда, когда разность между членами последовательности и этим числом является бесконечно малой последовательностью (т. о., общее понятие П. последовательности сводится к понятию бесконечно малой (См. Бесконечно малая)). Так, например, последовательность¹/₂,²/₃,³/₄,...,n/(n+ 1),... имеет своим П. единицу, поскольку разность 1 —n/(n+ 1) = 1/(n+ 1),n= 1, 2,... является бесконечно малой последовательностью.

Всякая возрастающая (убывающая) последовательность, ограниченная сверху (соответственно снизу), сходится. Например, если для заданного числааобозначить через a_nприближённое значение его корня k — натуральное число) сnдесятичными знаками после запятой, вычисленное с недостатком, тоa_n≤a_n+1≤ n = 1, 2, …, поэтому последовательностьa_n,сходится, причём из неравенства 0 ≤ a_n≤ 10^-nследует, что

Для того чтобы сходилась произвольная последовательностьx_n,необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла критерию Коши: для любого числа ε > 0 существует такой номерN_ε, что для всех номеровm≥N_εиn≥N_εвыполняется неравенство |x_n— x_m| < ε.

Если последовательностьx_n, n= 1, 2,..., такова, что для числа ε > 0 существует такой номерn_ε,что для всех номеровn≥n_εвыполняется неравенство |x_n| > ε, то последовательностьx_n, называется бесконечно большой и пишется

Если же при этом для любого ε > 0 существует такой номерn_ε,чтоx_n>ε(соответственноx_n< -ε) для всехn≥n_ε,то пишется

Эти П. называются бесконечными. Например, n², n = 1, 2, …,, можно написать не только n=nиy_n=бесконечно большие, а последовательностьx_n+y_n,, n= 1, 2,..., ограниченная и к тому же расходящаяся.

Частичные пределы. Верхний и нижний пределы. П. (конечный и бесконечный) какой-либо подпоследовательности называется частичным пределом последней. Из всякой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность (теорема Больцано — Вейерштрасса), а из всякой неограниченной — бесконечно большую. В множестве всех частичных П. последовательности всегда имеется как наибольший, так и наименьший (конечный или бесконечный). Наибольший (соответственно наименьший) частичный П. последовательностиx_n, n =1, 2,..., называют её верхним (соответственно нижним) пределом и обозначается

Последовательность имеет конечный или бесконечный П. тогда и только тогда, когда её верхний П. совпадает с нижним, при этом их общее значение и является её П. Конечный верхний П. последовательности можно также определить как такое число а, что при любом ε > 0 существует бесконечно много членов последовательности, больших, чема —ε, и лишь не более, чем конечное число членов, больших, чемa+ε.

Предел функции. Пусть функцияf, принимающая действительные значения, определена в некоторой окрестности точкиx₀,кроме, быть может, само́й точкиx₀.Функцияfимеет П. в точкеx₀,если для любой последовательности точекx_n, n=1, 2,...,x_n≠x₀,стремящейся к точкеx₀,последовательность значений функцииf(x_n) сходится к одному и тому же числуА,которое и называется пределом функцииfв точкеx₀,(или приx→x₀) при этом пишется

или

f(x) →Aприx → x₀

В силу этого определения на П. функций переносятся свойства П. суммы, произведения и частного последовательностей, а также сохранение неравенств при предельном переходе.

Определение П. функции можно сформулировать и не прибегая к понятию П. последовательности: числоАназывается пределом функцииfв точкеx₀,если для любого числа ε > 0 существует такое число δ > 0, что для всех точекх≠x₀,удовлетворяющих условию ∣х — x₀∣ <δ, x≠x₀,выполняется неравенство ∣f(x)—A∣ < ε.

Все основные элементарные функции: постоянные, Степенная функциях^α, Показательная функцияa^x,Тригонометрические функции sinx,cosx,tgxи ctgxи Обратные тригонометрические функции arcsinx,arccosx,arctgxи arcctgxво всех внутренних точках своих областей определения имеют П., совпадающие с их значениями в этих точках. Но это не всегда бывает так. Функция

являющаяся суммой бесконечной геометрической прогрессии со знаменателемq=1/(1 +x²), 0<q<1,в точкех=0 имеет П., равный 1, ибоf(x)=1+x²приx≠ 0.Этот П. не совпадает со значением функцииfв нуле:f(0) = 0. Функция же

x ≠ 0,

вовсе не имеет П. прих→0,ибо уже для значенийx_n=1/(π/2 + πn) последовательность соответствующих значений функцииf(x_n)=(-1)ⁿне имеет П.

Если П. функции прих→х₀равен нулю, то она называется бесконечно малой прих→х₀.Например, функция sinxбесконечно мала прих→ 0. Для того чтобы функцияfимела прих→х₀П., равныйА,необходимо и достаточно, чтобыf(x)=A+α(x),где α(х) является бесконечно малой прих→х₀

Если при определении П. функцииfв точкеx₀рассматриваются только точких,лежащие левее (правее) точкиx₀,то получающийся П. называется пределом слева (справа) и обозначается

Функция имеет П. в некоторой точке, если её П. слева в этой точке равен её П. справа. Понятие П. функции обобщается и на случай, когда аргумент стремится к бесконечности:

Например,

означает, что для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что для всехх,удовлетворяющих условию x > δ, выполняется неравенство ∣f(x) - А∣ < ε.

Примером функций, всегда имеющих П., являются монотонные функции (См. Монотонная функция).Так, если функцияfопределена на интервале (а, b) и не убывает, то в каждой точкех, а<х<b,она имеет конечный П. как слева, так и справа; в точке в П. справа, который конечен тогда и только тогда, когда функцияfограничена снизу, а в точкеbП. слева, конечный в том и только в том случае, когда функция ограничена сверху. В общем же случае стремление к П. может носить разный, необязательно монотонный характер. Например, функцияf(x)=xх → 0 стремится к нулю, бесконечное число раз переходя от возрастания к убыванию и обратно.

Т. н. внутренний критерий (критерий Коши) существования П. функции в точке состоит в следующем: функцияfимеет в точкеx₀П. в том и только в том случае, если для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что для всех точекх'их ",удовлетворяющих условию ∣х’ - x₀∣ < δ, ∣x " — x₀∣ < δ,x'≠x₀,x'’≠x₀,выполняется неравенство ∣f(x ") —f(x')∣ < ε.

Для функций, как и для последовательностей, определяются понятия бесконечных П. вида f называется бесконечно большой прих→х₀,Прих→х₀+ 0 или Прих→ +∞соответственно и т.д. Например,

означает, что для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что для всехх,удовлетворяющих условиюх< -δ, выполняется неравенствоf(x) >ε.

Расширение понятия предела функции. Если функцияfопределена на некотором множествеЕчисловой прямой и точкаx₀такова, что в любой её окрестности имеются точки множестваЕ,то аналогично данному выше определению П. функции, заданной в некоторой окрестности точкиx₀,кроме, быть может, самой точкиx₀,определяется понятие предела функции по множествуЕ

для этого следует лишь в определении П. всегда дополнительно требовать, чтобы точкахпринадлежала множествуЕ: х∈Е.П. последовательностиx_n, n=1, 2,..., является при таком определении понятия П. частным случаем П. функции по множеству, а именно функцииf,определённой на множестве натуральных чисел n формулойf(n)=x_n, n=1, 2,....

Функция, равная нулю при рациональныххи единице при иррациональных, не имеет П. прих→ 0,однако по множеству рациональных чисел она прих→ 0 имеет П., равный нулю. Понятие П. числовой функции по множеству переносится и на функции многих переменных. В этом случае можно говорить, в частности, о П. в данном направлении, о П. по данной кривой, по данной поверхности и т.д. Кроме того, для функций многих переменных возникает понятие повторного предела, когда предельный переход совершается последовательно по разным переменным, например

Предел интегральных сумм. Ещё одно важное понятие П. возникает при определении Интеграла. Пусть, например, функцияfопределена на отрезке [a, b]. Совокупность {x_i} таких точекx_i,что

a=x₀<x₁<...<x_i<...<x_n-1<x_n=b,

наз. разбиением отрезка [a,b]. Пусть x_i-1≤ ξ_I<x_i,Δx_i=x_i- x_i-1,i= 1, 2,...,n.Тогда суммаf(ξ₁)Δx₁+f(ξ₂)Δx₂+...+f(ξ_n)Δx_nназывается интегральной суммой функцииf. ЧислоАявляется пределом интегральных сумм и называется определённым интегралом:

если для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что каково бы ни было разбиение {xi}отрезка [a,b],для которого Δx_i< δ, и каковы бы ни были точки ξ_i,x_i-1≤ ξ_I≤ x_i,i= 1, 2,...,n,выполняется неравенство

∣f(ξ₁)Δx₁+f(ξ₂)Δx₂+... +f(ξ_n)Δx_n- A| < ε.

Понятие П. интегральных сумм может быть введено и с помощью П. последовательности.

Обобщения понятия предела. Ввиду разнообразия употребляемых в математике специальных видов понятия П. естественно возникло стремление включить их как частный случай в то или иное общее понятие П. Например, можно ввести понятие П., обобщающее как понятие П. функции, так и понятие П. интегральных сумм. Система S непустых подмножеств некоторого множестваЕназывается направлением, если для каждых двух подмножествАиВэтой системы выполняется одно из включенийА⊂ВилиB⊂Aи пересечение всех множеств из S пусто. Пусть на множествеЕзадана числовая функцияf.Числоаназывается пределом функцииfпо направлению S, если для любого ε > 0 существует такое множествоАиз S, что во всех его точках выполняется неравенство |f(x)— а| <ε. При определении П. функцииfв точкеx₀за направление следует взять совокупность всех окрестностей этой точки с достаточно малыми радиусами за вычетом самой точких₀.При определении П. интегральных сумм функцииf, заданной на отрезке [а, b], следует рассмотреть множествоЕ,элементами которого являются всевозможные разбиения отрезка [а, b] с выбранными в них точками ξ_i. ПодмножестваE_ηмножестваЕ,отвечающие разбиениям, длины Δx_i, отрезков которых не превышают η, образуют направление. П. интегральных сумм (которые, очевидно, являются функциями, определёнными на множествеЕ) по указанному направлению является интеграл.

Понятие П. обобщается на более широкие классы функций, например на функции, заданные на частично упорядоченных множествах, или на функции, являющиеся отображениями одного пространства (метрического или, более общо, топологического) на другое. Наиболее полно задача определения П. решается в топологии и означает в общем случае, что некоторый объект, обозначенныйf(x),меняющийся при изменений др. объекта, обозначенного черезх,при достаточно близком приближении объектахк объектух₀сколь угодно близко приближается к объектуА.Основным в такого рода понятиях П. является понятие близости объектовхиx₀, f(x) иА,которые нуждаются в математическом определении. Только после того как это будет сделано, высказанному определению П. можно будет придать чёткий смысл и оно станет содержательным. Различные понятия близости и изучаются, в частности, в топологии.

Встречаются, однако, понятия П. др. природы, не связанные с топологией, например понятие П. последовательности множеств. Последовательность множествA_n, n= 1, 2,..., называется сходящейся, если существует такое множествоА,называемое её пределом, что каждая его точка принадлежит всем множествамA_n, начиная с некоторого номера, и каждая точка из объединения всех множествA_n, не принадлежащаяA, принадлежит лишь конечному числуA_n.

Историческая справка. К понятию П. вплотную подошли ещё древнегреческие учёные при вычислении площадей и объёмов некоторых фигур и тел с помощью Исчерпывания метода. Так, Архимед,рассматривая последовательности вписанных и описанных ступенчатых фигур и тел, с помощью метода исчерпывания доказывал, что разность между их площадями (соответственно объёмами) может быть сделана меньше любой наперёд заданной положительной величины. Включая в себя представление о бесконечно малых, метод исчерпывания являлся зародышем теории П. Однако в явном виде в древнегреческой математике понятие П. не было сформулировано, не было создано и каких-либо основ общей теории.

Новый этап в развитии понятия П. наступил в эпоху создания дифференциального и интегрального исчислений. Г. Галилей,И. Кеплер,Б. Кавальери, Б. Паскаль и др. широко используют при вычислении площадей и объёмов «неделимых» метод (См. Неделимых метод), метод актуальных бесконечно малых, т. е. таких бесконечно малых, которые, по их представлению, являются неизменными величинами, не равными нулю и вместе с тем меньшими по абсолютной величине любых положительных конечных величин. Продолжает в этот период применяться и развиваться и метод исчерпывания (Григорий из Сен-Винцента, П. Гульдин,Х. Гюйгенс и др.). На основе интуитивного понятия П. появляются попытки создать общую теорию П. Так, И. Ньютон первый отдел первой книги («О движении тел») своего труда «Математические начала натуральной философии» посвящает своеобразной теории П. под названием «Метод первых и последних отношений», которую он берёт за основу своего флюксий исчисления (См. Флюксий исчисление).В этой теории Ньютон взамен актуальных бесконечно малых предлагает концепцию «потенциальной» бесконечно малой, которая лишь в процессе своего изменения становится по абсолютной величине меньше любой положит, конечной величины. Точка зрения Ньютона была существенным шагом вперёд в развитии представления о П. Понятие П., намечавшееся у математиков 17 в., в 18 в. постепенно всё больше анализировалось (Л. Эйлер,Ж. Д'Аламбер, Л. Карно,братья Бернулли и др.) и уточнялось. В этот период оно служило лишь для попыток объяснить правильность дифференциального и интегрального исчисления и ещё не являлось методом разработки проблем математического анализа.

Современная теория П. начала формироваться в начале 19 в. в связи с изучением свойств различных классов функций, прежде всего непрерывных, а также в связи с попыткой доказательства существования ряда основных объектов математического анализа (интегралов функций действительных и комплексных переменных, сумм рядов, алгебраических корней и более общих уравнений и т.п.). Впервые в работах О. Коши понятие П. стало основой построения математического анализа. Им были получены основные признаки существования П. последовательностей, основные теоремы о П. и. что очень важно, дан внутренний критерий сходимости последовательности, носящий теперь его имя. Наконец, он определил интеграл как П. интегральных сумм и изучил его свойства, исходя из этого определения. Окончательно понятие П. последовательности и функции оформилось на базе теории действительного числа в работах Б. Больцанои К. Вейерштрасса. Из дальнейших обобщений понятия П. следует отметить понятия П., данные в работах С. О. Шатуновского (См. Шатуновский) (опубликовано в 1923), американских математиков Э. Г. Мура и Г. Л. Смита (1922) и французского математика А. Картана (1937).

Лит.:Александров П. С., Введение в общую теорию множеств и функций, М. — Л., 1948; Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., т. 1—2, М., 1971—73; Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, 2 изд., т. 1—2, М., 1970; Никольский С. М., Курс математического анализа, т. 1—2, М., 1973; Смирнов В. И., Курс высшей математики, 22 изд., т. 1, М., 1967.

Л. Д. Кудрявцев.

предел—границаstrong изменениеstrong предел граница изменения переменной величиныграница возможного числовой последовательности.грань.край.порог.несравн. степень чем. не бол...Идеографический словарь русского языка
предел—См. токВ. В. Виноградов.История слов апогей берег венец верх вершина высшая ступень геркулесовы столбы геркулесовы столпы граница грань дальше ехать некуда дальше некуда ...История слов
предел—ПРЕДЕЛ одно из осн. понятий математики. П. постоянная к крой неограниченно приближается некрая переменная величина зависящая от другой переменной величины при определнном...Большая советская энциклопедия
предел—. граница ограничение чеголибо . последняя степень чеголибо.Синонимы апогей берег венец верх вершина высшая ступень геркулесовы столбы геркулесовы столпы граница грань да...Большой бухгалтерский словарь
предел—. граница ограничение чеголибо . последняя степень чеголибо....Большой бухгалтерский словарь II
предел—м. рубеж confine limite за пределами чегол. fuori al di l dei confini di qc в пределах чегол. entro i confini di qc перен. мн. пределы границы рамки limiti m pl в пр...Большой итальяно-русский и русско-итальянский словарь
предел—м границаem Grenze f в пределах России innerhalb der Grenzen Rulandsза пределами страны auerhalb der Landesgrenzen перен. Grenze f Schranke f всему есть предел alles h...Большой немецко-русский и русско-немецкий словарь
предел—предел м . граница Grenze f c в пределах России innerhalb der Grenzen Rulands за пределами страны auerhalb der Landesgrenzen . перен. Grenze f Schranke f c всему есть пре...Большой немецко-русский и русско-немецкий словарь
предел—bound end физиол. limen limit threshold...Большой русско-английский словарь биологических терминов
предел—м. рубежem lmite mem confn mem linde mв предеuлах России en los confines de Rusiaв предеuлах городскоuй чертыu dentro de los lmites de la ciudad крайняя степеньem fin m...Большой русско-испанский словарь
предел—m в соч. возрастной пределпредел дозы...Большой русско-немецкий медицинский словарь
предел—сущ. муж. рода. чего рубеж. комучему последняя граньмежа мен. жн. роду. мат. терминграниця . за пределами района за межами району . всему есть предел усьому межа это...Большой русско-украинский словарь
предел—м. граница рубежem limite f bornes f pl в пределах России sur le territoire de la Russie за пределами чеголибо en dehors de qch перен. terme m fin f конецem limite f ...Большой русско-французский словарь
предел—Предел его же не прейдеши.strong Книжн. Устар.em О рубеже который нельзя переступить. emgt Восходит к церковнославянскому тексту Библии. БМС .em Синонимы апогей берег ве...Большой словарь русских поговорок
предел—м. граница рубежem limite f bornes f pl в пределах России sur le territoire de la Russieза пределами чеголибо en dehors de qch перен. terme m fin f конецem limite f гра...Большой французско-русский и русско-французский словарь
предел—. граница ограничение чеголибо. последняя степень чеголибо.Синонимы апогей берег венец верх вершина высшая ступень геркулесовы столбы геркулесовы столпы граница грань дал...Большой экономический словарь
предел—последовательности действительных чисел аsub asub . апsub . i число аi обладающее тем сввом что все члены последовательности с достаточно большим номером пi разнятся от а...Большой энциклопедический политехнический словарь
предел—последовательности действительных чисел a a . an .число a обладающее тем свойством что все члены an последовательности сдостаточно большим номером n разнятся от a как уг...Большой энциклопедический словарь II
предел—ПРЕДЕЛ последовательности действительных чисел a a . an . число a обладающее тем свойством что все члены an последовательности с достаточно большим номером n разнятся от...Большой Энциклопедический словарь V
предел—Limit В отношении инструкций по сделкам ограничение накладываемое на распоряжение о покупке или продаже определяющее минимальную продажную или максимальную покупную цену....Глоссарий финансовых терминов, 2002, Consum Corporate Agents
предел—последовательности действительных чисел аsub аsub . апsub .i число аi обладающее тем свойством что все члены аnsubgti последовательности с достаточно большим номером пi р...Естествознание. Энциклопедический словарь
предел—постоянное число к которому неограниченно приближается переменная величина при некотором процессе ее изменения. Простейшим является понятие предела числовой последователь...Иллюстрированный энциклопедический словарь
предел—Предел finis limes terminus termini possessionum regio ultimum fundus meta modus ora cancelli...Латинский словарь
предел—Крайний предел апогей берег венец верх вершина высшая ступень геркулесовы столбы геркулесовы столпы граница грань дальше ехать некуда дальше некуда зенит колофон конец к...Латинско-русский и русско-латинский словарь крылатых слов и выражений
предел—молодежный театр г. Скопин Рязанской обл. Создан в г. Владимиром Фердинандовичем Делем род. в г. который так определил смысл названия коллектива Предел очень емкое пон...Любительское художественное творчество в России ХХ века
предел—а м.em Край конечная часть чегол.Здесь крайний предел Пермской губернии.em МаминСибиряк Дружки. Казалось что нет и не будет предела этим лесам.em Белов Кануны. перен.em К...Малый академический словарь
предел—одно из основных понятий математики означающее что какаято переменная зависящая от другой переменной при определенном изменении последней неограниченно приближается к нек...Математическая энциклопедия
предел—корень ПРЕДЕЛ нулевое окончаниеОснова слова ПРЕДЕЛВычисленный способ образования слова Бессуфиксальный или другой ПРЕДЕЛ Слово Предел содержит следующие морфемы или час...Морфемный разбор слова по составу
предел—Начальная форма Предел винительный падеж единственное число мужской род неодушевленное...Морфологический разбор существительных
предел—шек шекара ш маы...Мұнай-газ терминдерінің орысша-қазақша сөздігі
предел—ПРЕДЕЛstrong в математике значение или значения к которым приближаются значения последовательного ряда чисел. Предел математического РЯДА это значение к которому прибли...Научно-технический энциклопедический словарь
предел—предел . м. Граница черта разделяющая между собою земли государства рубеж. устар. Край страна. а Последняя крайняя степень грань чегол. б перен. Мера норма граница чег...Новый толково-словообразовательный словарь русского языка
предел—линия обозначающая конец протяженности того или иного тела. Предел действия власти. Кант определял философию как критику нашего познания т.е. как беспредельную мысль ведь...Новый философский словарь
предел—. Конечное значение ряда. . Конец концы некоторого контиума особенно сенсорного континуума. . См. асимптота....Оксфордский толковый словарь по психологии
предел—. Конечное значение ряда. . Конец концы некоторого контиума особенно сенсорного континуума. . См. асимптота....Оксфордский толковый словарь по психологии
предел—предел предел а граница...Орфографический словарь
предел—u мu мн.u пределы Р.u пределов граница степень чегон. ср.u придел апогей берег венец верх вершина высшая ступень геркулесовы столбы геркулесовы столпы граница грань дальш...Орфографический словарь русского языка
предел—шек...Орысша-қазақша «Ауыл шаруашылығы» терминологиялық сөздік
предел—шек...Орысша-қазақша «Математика» терминологиялық сөздік
предел—limite borne...Политехнический русско-французский словарь
предел—предел пределы предела пределов пределу пределам предел пределы пределом пределами пределе пределах...Полная акцентуированная парадигма по Зализняку
предел—Орфографическая запись слова предел Ударение в слове предел Деление слова на слоги перенос слова предел Фонетическая транскрипция слова предел [бридэл] Характеристика вс...Полный фонетический разбор слов
предел—межа границя грань рубж бежа берег конец край кнець нця. дел жизни кнець життя. лы меж переносно береги обруб объм обсяг чого. Расширить лы государства розсунути меж д...Російсько-український словник (Українська академія наук)
предел—Вне пределов досягаемости.hПоза межами досягання поза досягом.Всему есть предел.hУсе ма свй край свою межу усьому межа край кнець.Выйти из пределов за пределы дозволенно...Російсько-український словник сталих виразів
предел—предел а границаem Синонимы апогей берег венец верх вершина высшая ступень геркулесовы столбы геркулесовы столпы граница грань дальше ехать некуда дальше некуда зенит кол...Русский орфографический словарь
предел—Крайний предел...Русский словарь латинских пословиц
предел—М . srhdd . hdd hdud положить предел чемул. hdd hdud qoymaq . mc. mddt rz в пределах двухтрех месяцев iki ay mddtind rzind . khn. lk mmlkt yurd вернуться в родные пределы...Русско-азербайджанский словарь
предел—м. предел воспламеняемости предел выносливости предел давления предел детонации предел дымности отработавших газов предел износа предел нагрузки предел обеднения смеси пр...Русско-английский автомобильный словарь
предел—containment boundary boundary deadline limit margin range term threshold...Русско-английский машиностроительный словарь
предел—м. limit range предел безопасности предел движений предел дозы температурный предел...Русско-английский медицинский словарь
предел—limit...Русско-английский морской словарь
предел—.u в более узких пределах в определнных пределах в пределах в узких пределах в указанных пределах в широких пределах вне пределов выходить за пределы далеко за пределами ...Русско-английский научно-технический словарь
предел—bound boundary end матем.u extreme limit limitation рабочего режимаem margin tether threshold предел м.ulimit ограничение bound граница boundaryв пределе напр. больших с...Русско-английский политехнический словарь
предел—м. границаem limit boundary margin ограничениеem limitation имеющий предел finite limitedставить предел limitслужить пределом limit максимум потолокem ceiling биолог...Русско-английский психологический словарь
предел—предел м.ilimit тж. мат.i границаi bound конецi end в пределах рд.i within d.i within the limits of в пределах города городской черты within the city limits within the ...Русско-английский словарь
предел—предел м. . граница limit в пределах города within the city limits в пределаx страны within the country выехать за пределы страны leave the country предел задолженности ...Русско-английский словарь II
предел—m.limit bound предел текучести yield point yield stressСинонимы апогей берег венец верх вершина высшая ступень геркулесовы столбы геркулесовы столпы граница грань дальше ...Русско-английский словарь математических терминов
предел—limit...Русско-английский словарь по авиации
предел—cutoff point апогей берег венец верх вершина высшая ступень геркулесовы столбы геркулесовы столпы граница грань дальше ехать некуда дальше некуда зенит колофон конец край...Русско-английский словарь по машиностроению
предел—м.в длинноволновом пределе in the longwavelength limitв пределах . within the limits of .в пределах ошибок эксперимента within the limits of experimental errorпереходи...Русско-английский словарь по физике
предел—end bound boundary limit termination terminus threshold margin measure scope...Русско-английский словарь по электронике
предел—bound limit range summit term...Русско-английский словарь политической терминологии
предел—m limit...Русско-английский словарь стекольной промышленности
предел—compass bound boundary limit precinct...Русско-английский строительный словарь
предел—bound ampLTcommun.ampGT margin term вероятностный предел верхний предел выйти за предел нижний предел предел в среднем предел видимости предел воспламенения предел выносл...Русско-английский технический словарь
предел—limit...Русско-английский толковый словарь терминов по информатике
предел—bound boundary ceiling dent limit line measure range summit term ultimate utmost verge...Русско-английский экономический словарь
предел—сущ.bound boundary end limitвыходить за пределы чеголem to exceed overstep the bounds limits ofв пределах within the bounds limits ofem полномочийem within ones powersв...Русско-английский юридический словарь
предел—N в пределах...Русско-армянский словарь
предел—лмт...Русско-белорусский математический словарь
предел—Муж. мяжа гранца рубеж пределы колебания температуры межы хстання тэмпературы предел упругости высоты нагрузки мяжа пругкасц вышын нагрузк предел прочности тех. мяжа т...Русско-белорусский словарь
предел—муж. мяжа жен.iгранца жен. рубеж муж.iпределы колебания температуры межы хстання тэмпературыпредел упругости высоты нагрузки мяжа пругкасц вышын нагрузкпредел прочности...Русско-белорусский словарь II
предел—ограничениеi гранuца цы ж.i диапазон рамкиi мяжаu жыu ж.i мат. оператор его значениеi лмuт ту м.i предел бесконечно малый высший предел больших N предел выносливости пред...Русско-белорусский словарь математических, физических и технических терминов
предел—м. ограничение гранца цы ж. диапазон рамки мяжа жы ж. мат. оператор его значение лмт ту м....Русско-белорусский физико-математический словарь
предел—hatr апогей берег венец верх вершина высшая ступень геркулесовы столбы геркулесовы столпы граница грань дальше ехать некуда дальше некуда зенит колофон конец край крайн...Русско-венгерский словарь
предел—предел м в ах. . за ами. или ....Русско-греческий словарь (Сальнов)
предел—Синонимы апогей берег венец верх вершина высшая ступень геркулесовы столбы геркулесовы столпы граница грань дальше ехать некуда дальше некуда зенит колофон конец край кра...Русско-ивритский словарь
предел—alcance extremo lmite предел допускаемый...Русско-испанский автотранспортный словарь
предел—banda lmite lnea meta trmino tope...Русско-испанский экономический словарь
предел—lmite trmino...Русско-испанский юридический словарь
предел—limitazione limite допускаемый margine massimo termine...Русско-итальянский автомобильный словарь
предел—limite...Русско-итальянский медицинский словарь
предел—м. limite m предел безопасности верхний предел предел взрывоопасности предел видимости временной предел предел выносливости предел вязкости предел диссоциации дифракцион...Русско-итальянский политехнический словарь
предел—limite...Русско-итальянский экономический словарь
предел—limite linea...Русско-итальянский юридический словарь
предел—.шек всему есть предел р нрсен шег бар за пределами города ала шегнен тысары перейти пределы приличия дептлк шегнен шыып кету. аралы ш в пределах одного года бр жыл аралы...Русско-казахский словарь
предел—шек иыр...Русско-казахский словарь для учащихся и студентов
предел—шек...Русско-казахский терминологический словарь «Архитектура и строительство»
предел—шек...Русско-казахский терминологический словарь «Машиностроение»
предел—м. . граница чек чек ара выехать за пределы города шаардын чегинен ары чыгуу в пределах города шаардын чегинин ичинде . перен. промежуток времени чен аралык ич в пределах...Русско-киргизский словарь
предел—границаem ji [] jng[ji]в пределах страны в пределах города за пределами страны выехать за пределы страна мн. пределы shq qxinв пределах двухтрх месяцев мн. п...Русско-китайский словарь
предел—граница sr ii daire eriveв пределах государства devletni srlar iindeвыехать за пределы города eerden qmaq перен.em мера граница чеголибо qarar sr soвсему есть предел ...Русско-крымскотатарский словарь
предел—граница сынъыр ичи даире черчиве в пределах государства девлетнинъ сынъырлары ичинде выехать за пределы города шеэрден чыкъмакъ перен. мера граница чеголибо къарар сынъ...Русско-крымскотатарский словарь II
предел—robea novads puse mala augstk pakpe kalngali...Русско-латышский словарь
предел—riba...Русско-литовский словарь
предел—Хязгаар хэмжээ хязгаар хязгаарлах...Русско-монгольский словарь
предел—м.Grenze fu Grenzwert m допустимый предел износа предел подачи топлива по дымлению предел по условиям заноса предел продольной устойчивостиСинонимы апогей берег венец вер...Русско-немецкий автомобильный словарь
предел—Grenze Grenzwert матем.u Limes Rand Schranke Schwelle...Русско-немецкий политехнический словарь
предел—м. в разн. знач. Grenze f в пределах города innerhalb der Stadt за пределами страны auerhalb des Landes der Landesgrenzen в пределах возможного im Rahmen des Mglichen ...Русско-немецкий словарь
предел—Grenze Schwelle...Русско-немецкий словарь по химии и химической технологии
предел—мGrenze fem Begrenzung fem...Русско-немецкий словарь стекольной промышленности
предел—Grenze Schwelle...Русско-немецкий химический словарь
предел—Hhe Hchstgrenze Grenze Plafond Limit Ma Schwelle Schranke...Русско-немецкий экономический словарь
предел—Begrenzung Grenze Limit Ma Neuverteilung Schranke...Русско-немецкий юридический словарь
предел—Begrenzing...Русско-нидерландский словарь
предел—пределм . рубеж . за ами чегол. в ах страны . перен граница высшая степень скорости тех. упругости тех. счастья мечтаний вне ов досягае...Русско-новогреческий словарь
предел—bristepunkt grense апогей берег венец верх вершина высшая ступень геркулесовы столбы геркулесовы столпы граница грань дальше ехать некуда дальше некуда зенит колофон коне...Русско-норвежский словарь
предел—...Русско-персидский словарь
предел—. granica. szczytblockquote. granice obrb obszarblockquote. kresblockquote. krainablockquote...Русско-польский словарь
предел—м linda fu границаem limite mu границыem confins mplu чащеu мнu прнu рамкиem limites mplu quadros mplu крайняя степеньem limite mu fim mu extremo mu конецem fim mu матu l...Русско-португальский словарь
предел—Пределaheri hadi hatima maishilio мн.em hududi kikomo vi mkomo mi ukomo ед. komoem kilele vi kipeo vi kitembo vi maisha мн.em mfiko mi mpaka mi mwisho mi upeo peo dal...Русско-суахили словарь
предел—предел ад удуд сарад...Русско-таджикский словарь
предел—м .актык со чик п. совершенства камиллекне со чиге всему есть п. р нрсне чиге бар .в пределах эченд арасында в п. одного года бер ел эченд .за пределами чиктн ары читт за...Русско-татарский словарь
предел—м границаem snr в стране и за е пределами lke iinde ve dndaза пределами наших границ snrlarmzn dnda tesindeвыслать когол.em за пределы страны snrd etmekперенести заво...Русско-турецкий словарь
предел—had hudut snr limit нижний предел предел выносливости предел допуска предел огнестойкости предел пластичности предел прочности предел текучести предел упругости ...Русско-турецкий словарь по строительству и архитектуре
предел—had...Русско-узбекский словарь Михайлина
предел—матем. черта границя бесконечный предел внешний предел доверительный предел конечный предел левый предел наибольший предел наименьший предел несобственный предел ...Русско-украинский политехнический словарь
предел—memraja ri предельныйдо предеuла rimmilleen...Русско-финский словарь
предел—физиол. limen seuil terme...Русско-французский медицинский словарь
предел—borne extrmit marge...Русско-французский словарь по химии
предел—м limite граница limite frontire потолок plafond точка point в пределах суммы в . рублей jusquau montant de . roubles в пределах компетенции dans la limite des pouvoirs...Русско-французский экономический словарь
предел—bod hranice krajn mez limit limita mez meze mezn hodnota mra pedl rozsah vrchol...Русско-чешский словарь
предел—сущ.муж. син. рубеж граница чйк пределы области область чиккисем за пределами отечества чйк леш енче. лтй пусм чйк предел скорости чи пыск хавартлах предел моих желаний м...Русско-чувашский словарь
предел—grensvr_de.strong grnsvrde...Русско-шведский словарь
предел—Grns...Русско-шведский словарь II
предел—.strong koht.strong paik piir piirvrtus raja...Русско-эстонский словарь
предел—предел рубежСинонимы апогей берег венец верх вершина высшая ступень геркулесовы столбы геркулесовы столпы граница грань дальше ехать некуда дальше некуда зенит колофон ко...Русское словесное ударение
предел—линия обозначающая конец протяженности того или иного тела. Предел действия власти. Кант определял философию как критику нашего познания т.е. как беспредельную мысль ведь...Сверхкраткий философский словарь
предел—Учать удел доля судьба....Словарь редких и забытых слов
предел—предел см. апогей граница выступать из пределов дозволенного не выходить из пределов благопристойности не знать предела положить предел...Словарь русских синонимов и сходных по смыслу выражений
предел—пределСм. апогей границавыступать из пределов дозволенного не выходить из пределов благопристойности не знать предела положить предел....Словарь синонимов II
предел—предел См. апогей граница выступать из пределов дозволенного не выходить из пределов благопристойности не знать предела положить предел. Словарь русских синонимов и сходн...Словарь синонимов II
предел—предел граница мера грань высшая точка максимум пик лимит край граница рубеж апогей конец черта вершина рамки высшая ступень ремедиум свинг дальше ехать некуда участь вен...Словарь синонимов
предел—сущ. граница рубеж редко ограничение определение лат.em Definitio заповедь закон Дан. . Мф. . апогей берег венец верх вершина высшая ступень геркулесовы с...Словарь церковнославянского языка
предел—h пределbig сущ.муж.неод.i мн.вин. Река возвратилась в предписанные ей пределыПр. армян вновь перешедших в российские пределы изза Аракса.Пр. и мчат далеко за обыкновенн...Словарь языка Грибоедова
предел—ПРЕДЕЛ последовательности действительных чисел a a . an . число a обладающее тем свойством что все члены an последовательности с достаточно большим номером n разнятся от ...Современный энциклопедический словарь
предел—предел сущ.em м.em употр. часто Морфология нет чего пределаstrong чему пределуstrong вижу что пределstrong чем пределомstrong о чм о пределеstrong мн. что пределыstrong н...Толковый словарь Дмитриева
предел—ПРЕДЕЛ м. начало или конец кон межа грань раздел край рубеж или граница конец одного и начало другого в смысле вещественном и духовном. Пределы государства рубежи границы...Толковый словарь живого великорусского языка
предел—ПРЕДЕЛ а м. . Пространственная или временная граница чегон. точто ограничивает собою чтон. За пределами страны. В пределах текущего года. Последняя крайняя грань степень ...Толковый словарь Ожегова
предел—ПРЕДЕЛ предела м. книжн. . только мн. граница черта разделяющая между собою земли государства рубеж. Выйти за пределы города. Обозначить на карте пределы области. Местно...Толковый словарь русского языка II
предел—предел предел а м. Пространственная или временная граница чегон. то что ограничивает собою чтон. За ами страны. В ах текущего года. Последняя крайняя грань степень чегон....Толковый словарь русского языка II
предел—ПРЕДЕЛ а м. . Пространственная или временная граница чегонибудь то что ограничивает собою чтонибудь За пределами страны. В пределах текущего года. . Последняя крайняя гра...Толковый словарь русского языка
предел—Ударение в слове пределУдарение падает на букву еБезударные гласные в слове предел...Ударение и правописание
предел—Rzeczownik предел m granica f obrb m...Универсальный русско-польский словарь
предел—ПРЕДЕЛ margin . Процент стоимости товаров который нужно добавить к их стоимости чтобы получить продажную цену. . Разница между ценами продажи и покупки ценных бумаг делат...Финансовый словарь
предел—верхний уровень компенсации по договору страхования....Финансы. Словарь по книге
предел—предел пределы предела пределов пределу пределам предел пределы пределом пределами пределе пределах Источник Полная акцентуированная парадигма по А. А. Зализняку . Синони...Формы слова
предел—ПРЕДЕЛ limit Значение к которому стремится некий процесс при его бесконечном предложении. Например рассмотрим процесс начинающийся с некоторого конечного числа хem путе...Экономический словарь
предел—Перед Пед Лдпр Реле Еле Дер Деп Лед Леер Перл Плед Предел Плеер...Электронный словарь анаграмм русского языка
предел—Предел см. Дифференциальное исчисление определение III....Энциклопедический словарь
предел—[limit] Смотри также физический предел текучести предел упругости предел пропорциональности предел ползучести предел ограниченной выносливости предел длительной про...Энциклопедический словарь по металлургии
предел—см. Дифференциальное исчисление определение III....Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
предел—Пределstrong. Заимств. из ст.сл. яз. Преф. производное от длъi предел. См. делитьi доляi....Этимологический онлайн-словарь русского языка Шанского Н. М
предел—Это слово заимствованное из старославянского языка образовано приставочным способом от дълъ имевшего такое же значение предел. Восходит к той же основе что и глагол делит...Этимологический словарь Крылова
предел—Заимств. из ст.сл. яз. Преф. производное от длъem предел. См. делитьem доляem.Синонимы апогей берег венец верх вершина высшая ступень геркулесовы столбы геркулесовы столп...Этимологический словарь русского языка