Математическая энциклопедия

ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ

системы обыкновенных дифференциальных уравненийп-гопорядка

в области G- гладкое по t и непрерывное по совокупности параметров n-параметрическое семейство вектор-функций

откуда при соответствующем выборе значений параметров получается любое решение системы, график к-рого проходит в области ; здесь область, где выполнены условия теоремы существования и единственности для системы (1). (Иногда условливаются, что параметры могут принимать и значения .) Геометрически О. р. системы (1) в области Gпредставляет собой семейство непересекающихся интегральных кривых этой системы, полностью заметающих всю область.

О. р. системы (1) в области Gпозволяет найти решение задачи Коши для этой системы с начальным условием нужно из системы правенств определить значения ппараметровС1,. . ., Сnи подставить эти значения в (2). Если - решение системы (1), удовлетворяющее условию то n-параметрическое семейство где - фиксированное число, а рассматриваются как параметры, является О.р. системы (1) в нек-рой области и наз. О. р. в форме Коши. Знание О. р. позволяет однозначно восстановить систему дифференциальных уравнений: для этого надо из псоотношений (2) и из псоотношений, получающихся дифференцированием соотношений (2) поt,исключить ппараметров

В случае обыкновенного дифференциального уравнения n-го порядка

О. р. в области Gимеет вид n-параметрического семейства функций

из к-рого при соответствующем выборе значений параметров получается решение уравнения (3) с любыми начальными условиями

здесь - область, где выполнены условия теоремы существования и единственности для уравнения (3).

Функция, получающаяся из О. р. при конкретных значениях параметров, наз. частным решением. Семейство функций, содержащее все решения данной системы (уравнения) в нек-рой области, не всегда удается выразить в виде явной функции независимой переменной. Это семейство может оказаться записанным в виде неявной функции - и тогда оно наз.общим интегралом- или в параметрич. виде.

Если конкретное обыкновенное дифференциальное уравнение (3) допускает интегрирование в замкнутой форме (см.Интегрирование дифференциальных уравнений в замкнутой форме),то часто удается получить соотношение типа (4), где параметры возникают как постоянные интегрирования и оказываются произвольными постоянными. (Именно поэтому часто говорят, что О. р. уравнения n-го порядка содержит га произвольных постоянных.) Однако такое соотношение далеко не всегда является О. р. во всей области существования и единственности решения задачи Коши для исходного уравнения.

Лит.:[1] Степанов В. В., Курс дифференциальных уравнений, 8 изд., М., 1950; [2] Вругин Н. П., Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений, 3 изд., Минск, 1971).

Н. X. Розов.


  1. общее решение—ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ обыкновенного дифференциального уравненияynsup fxyy . yn семейство функций у фх iCsub . . . Сnsub непрерывно зависящих от п iпроизвольных постоянных Ci....Большая советская энциклопедия
  2. общее решение—обыкновенного дифференциального уравнения у nsup f х у у. у nsup emсемейство функций у emx Csub. Спsubem непрерывно зависящих от nem произвольных постоянных Csub. Cn та...Большая Советская энциклопедия II
  3. общее решение—дифференциального уравнения семейство функций зависящихот произвольных постоянных такое что при соответствующем выборе этихпостоянных может быть получено любое частное р...Большой энциклопедический словарь II
  4. общее решение—ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ дифференциального уравнения семейство функций зависящих от произвольных постоянных такое что при соответствующем выборе этих постоянных может быть получено...Большой Энциклопедический словарь V
  5. общее решение—дифференциального уравнения семейство функций зависящих от произвольных постоянных такое что при соотв. выборе этих постоянных может быть получено любое частное решение у...Естествознание. Энциклопедический словарь
  6. общее решение—general solution...Русско-английский политехнический словарь
  7. общее решение—general solution...Русско-английский психологический словарь
  8. общее решение—дифференциального уравненияem general solution...Русско-английский словарь по физике
  9. общее решение—general solution...Русско-английский словарь по электронике
  10. общее решение—general solution...Русско-английский словарь политической терминологии
  11. общее решение—soluzione generale...Русско-итальянский политехнический словарь
  12. общее решение—загальний розвязок...Русско-украинский политехнический словарь
  13. общее решение—solution gnrale...Русско-французский экономический словарь
  14. общее решение—obecn een...Русско-чешский словарь
  15. общее решение—ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ дифференциального уравнения семейство функций зависящих от произвольных постоянных такое что при соответствующем выборе этих постоянных может быть получено ...Современный энциклопедический словарь