Математическая энциклопедия

МНОГОЧЛЕН

полином,- выражение вида

где - переменные, аА, В, ..., D(коэффициент ы М.) иx, y, .. ., w (показатели степеней - целые неотрицательные числа) - постоянные. Отдельные слагаемые вида

наз. членами М. Порядок членов, а также порядок множителей в каждом члене можно менять произвольно; тёчно так же можно вводить или опускать члены с нулевыми коэффициентами, а в каждом отдельном члене - степени с нулевыми показателями. В случае, когда М. имеет один, два или три члена, его наз. одночленом, двучленом или трехчленом.

Относительно коэффициентов М. предполагается, что они принадлежат нек-ромуполю,напр, полю рациональных, действительных или комплексных чисел.

Два члена М. наз. подобными, если в них показатели степеней при одинаковых переменных попарно равны. Подобные между собой члены

можно заменить одним

(приведение подобных членов). Два М. наз. равными, если после приведения подобных все члены с отличными от нуля коэффициентами оказываются попарно одинаковыми (но, может быть, записанными в разном порядке), а также если все коэффициенты этих М. оказываются равными нулю. В последнем случае М. наз. тождественным нулем и обозначают знаком 0.

Сумму показателей степеней какого-либо члена М. наз. степенью этого члена. Если М. не тождественный нуль, то среди членов с отличными от нуля коэффициентами (предполагается, что все подобные члены приведены) имеются один или несколько наибольшей степени; эту наибольшую степень наз.степенью М. Тождественный нуль не имеет степени. М. нулевой степени сводится к одному члену А(постоянному, не равному нулю).

М. от переменных х1, х2, . . .,хпназ.симметрическим многочленом,если он не меняется ни при какой перестановке неизвестных. М., все члены к-рого одинаковой степени, наз. однородным многочленом, или формой; формы первой, второй и третьей степеней наз. линейными, квадратичными, кубическими, а по числу переменных (два, три)-двоичными (бинарными), тройничными (тернарными) (напр., есть тройничная квадратичная форма).

Степенью многочлена по отношению к одному из переменных наз. наивысший показатель, с к-рым .xiвходит в члены этого М. (эта степень может быть и нулевой). Из двух членов М. тот считается выше (Относительно данной нумерации переменных), у к-рого показатель при х1.больше, а если эти показатели равны, то тот, у к-рого показатели при больше, и т. д. Если все члены М. расположены в таком порядке, что каждый следующий член ниже предыдущего, то говорят, что члены этого М. расположены лексикографически. Тот член, к-рый при этом стоит на первом месте, наз. высшим членом многочлена. М. от одного переменного, члены к-рого расположены в лексико-графич. порядке, имеет вид

где - коэффициенты.

Корнем многочлена от одного неизвестного над полем кназ. решениеалгебраического уравнения

Корни М. связаны с его коэффициентами формулами Впета (см.Виета теорема).

Совокупность всевозможных различных М. от ппеременных с коэффициентами из данного поля образуеткольцоотносительно естественным образом определяемых операций сложения и умножения. Рассматриваются также кольца М. от бесконечного множества переменных.Многочленов кольцаявляются ассоциативно-коммутативными кольцами без делителей нуля (т. е. произведение М., не равных 0, не может дать 0).

Если для двух многочленов Ри Qможно найти такой многочленВ,что то говорят, что Рделится на Q;Qназ. делителем, аВ- частным. Если Рне делится наQ,но оба М. содержат одно и то же переменное, напр,х,и степень Рпо отношению к хестьп,а степень Qесть, то можно найти такие многочленыр, RиS,чтоpP=QR+S,причем рсовсем не содержитх,а в Sпеременное хсодержится в степени нижет.В случае, когда хявляется единственным переменным, можно рсчитать равным 1; тогда операцию отыскания Ви Sпо Ри Qназ. делением с остатком; деление с остатком можно производить с помощьюГорнера схемы.

Посредством повторного применения этой операции можно находить наибольший общий делитель РиQ,т. е. такой делитель РиQ,к-рый делится на любой общий делитель этих М. (см.Евклида алгоритм).Два М., наибольший общий делитель к-рых равен 1, наз. взаимно простыми.

М., к-рый можно представить в виде произведения М. низших степеней с коэффициентами из данного поля, наз. приводимым (в данном поле), в противном случае - неприводимым. Неприводимые М. играют в кольце М. роль, сходную с ролью простых чисел в кольце целых чисел. Напр., верна теорема: если произведениеPQделится на неприводимый многочленВ,аРна Вне делится, то Qдолжен делиться наВ.Каждый М., степени большей нуля, разлагается в данном поле в произведение неприводимых множителей единственным образом (с точностью до множителей нулейой степени). Напр., многочлен , неприводимый в поле рациональных чисел, разлагается на два множителя в поле действительных чисел и на четыре множителя в поле комплексных чисел. Вообще, каждый М. от одного переменного хразлагается в поле действительных чисел на множители первой и второй степени, в поле комплексных чисел - на множители первой степени (алгебры основная теорема).Для двух и большего числа переменных этого уже нельзя утверждать. Над любым полем кдля любогосуществуют М. от ппеременных, неприводимые в любом расширении поляк.Такие М. наз. абсолютно неприводимыми. Напр., многочлен неприводим в любом числовом поле.

Если переменным придать определенные числовые значения (напр., действительные или комплексные), то М. также получит определенное числовое значение. Таким образом, каждый М. можно рассматривать как функцию соответствующих переменных. Эта функция непрерывна и дифференцируема при любых значениях переменных; ее можно характеризовать как целую рациональную функцию, т. е. функцию, получающуюся из переменных и нек-рых постоянных (коэффициентов) посредством выполнения в определенном порядке действий сложения, вычитания и умножения. Целые рациональные функции входят в более широкий класс рациональных функций, где к перечисленным действиям: присоединяется деление: любую рациональную функцию можно представить в виде частного двух М. Наконец, рациональные функции содержатся в классеалгебраических функций.

К числу важнейших свойств М. относится то, что любую непрерывную функцию можно с произвольно малой ошибкой, заменить М. (см.Вейерштрасса теорема).

Специальные системы М.-ортогональные многочлены- используются в теории приближения как средство представления функций в виде рядов.

В элементарной алгебре М. иногда наз. такие ал-гебраич. выражения, в к-рых последним действием является сложение или вычитание.

Лит.:[1] Мишина А. П., Проскуряков И. В., Высшая алгебра. Линейная алгебра, многочлены, общая алгебра, 2 изд., М., 1965; [2] Курош А. Г., Курс высшей алгебры, 11 изд., М., 1975; [3] Бурбаки Н., Алгебра. Многочлены и поля. Упорядоченные группы, пер. с франц., М., 1965.

А. И. Маркушевич.


Синонимы:
полином, пфаффиан, термин, трехчлен, форма


Антонимы:
одночлен


  1. многочленМНОГОЧЛЕН полином выражение видагде x y . w iпеременные а А В i. D коэффициенты М. и k l . t iпоказатели степеней целые неотрицательные числа постоянные. Отд. слагаемы...Большая советская энциклопедия
  2. многочленполином выражение вида Axksupylsup.wmsup Bxnsupypsup.wqsup Dxr где х уem . w переменные а А В . Dem коэффициенты М. и k l . tem показатели степеней целые неотрицате...Большая Советская энциклопедия II
  3. многочленмногочлен м мат. Polynom n aСинонимы полином пфаффиан термин трехчлен форма Антонимы одночлен...Большой немецко-русский и русско-немецкий словарь
  4. многочленм мат.Polynom n полином пфаффиан термин трехчлен форма Антонимы одночлен...Большой немецко-русский и русско-немецкий словарь
  5. многочленм. мат.polinomio mem multinomio m...Большой русско-испанский словарь
  6. многочленсущ. муж. рода...Большой русско-украинский словарь
  7. многочленм. мат. polynme m...Большой русско-французский словарь
  8. многочленм. мат.polynme m полином пфаффиан термин трехчлен форма Антонимы одночлен...Большой французско-русский и русско-французский словарь
  9. многочленполином алгебр. сумма конечного числа одночленов т. е. выражение вида где х у . w i переменные А i. L коэфф. М. и k l . t iпоказатели степеней целые неотрицат. числа по...Большой энциклопедический политехнический словарь
  10. многочленполином алгебраическая сумма конечного числа одночленов т.е. выражений вида Axkyl .wm где x y . w переменные А коэффициентмногочлена и k l . m показатели степеней целые...Большой энциклопедический словарь II
  11. многочленМНОГОЧЛЕН полином алгебраическая сумма конечного числа одночленов т. е. выражений вида Axkyl .wm где x y . w переменные А коэффициент многочлена и k l . m показатели сте...Большой Энциклопедический словарь V
  12. многочлена ч.i Алгебричний вираз який становить суму клькох одночленв....Великий тлумачний словник (ВТС) сучасної української мови
  13. многочленполином алгебр сумма конечного числа одночленов т. е. выражений вида Axksupylsup . wmsupgti где х у i. w переменные А iкоэф. М. и k l . т iпоказатели степеней целые нео...Естествознание. Энциклопедический словарь
  14. многочлена м. мат.em Алгебраическое выражение представляющее сумму илиразность нескольких одночленов полином.Синонимы полином пфаффиан термин трехчлен форма Антонимы одночлен...Малый академический словарь
  15. многочленкорень МНОГ соединительная гласная О корень ЧЛЕН нулевое окончаниеОснова слова МНОГОЧЛЕНВычисленный способ образования слова Сложение основ МНОГ соединительная гласна...Морфемный разбор слова по составу
  16. многочленНачальная форма Многочлен винительный падеж единственное число мужской род неодушевленное...Морфологический разбор существительных
  17. многочленМНОГОЧЛЕНstrong полином сумма одночленов которые являются произведениями состоящими из числового множителя коэффициента и одной или нескольких букв каждая из которых взят...Научно-технический энциклопедический словарь
  18. многочленмногочлен м. Алгебраическое выражение представляющее собою сумму нескольких одночленов....Новый толково-словообразовательный словарь русского языка
  19. многочленмногочлен многочлен а...Орфографический словарь
  20. многочленмногочлен менник чоловчого роду...Орфографічний словник української мови
  21. многочленкпмше...Орысша-қазақша «Математика» терминологиялық сөздік
  22. многочленкпмше...Орысша-қазақша «Энергетика» терминологиялық сөздік
  23. многочленpolynme coefficients entiers...Политехнический русско-французский словарь
  24. многочленмногочлен многочлены многочлена многочленов многочлену многочленам многочлен многочлены многочленом многочленами многочлене многочленах...Полная акцентуированная парадигма по Зализняку
  25. многочленОрфографическая запись слова многочлен Ударение в слове многочлен Деление слова на слоги перенос слова многочлен Фонетическая транскрипция слова многочлен [мнагалэн] Хар...Полный фонетический разбор слов
  26. многочленмат. багаточлен многочлен на полном ма....Російсько-український словник (Українська академія наук)
  27. многочленмногочлен аСинонимы полином пфаффиан термин трехчлен форма Антонимы одночлен...Русский орфографический словарь
  28. многочленМ riyaz. oxhdli....Русско-азербайджанский словарь
  29. многочленpolynomial...Русско-английский машиностроительный словарь
  30. многочленpolynomial...Русско-английский морской словарь
  31. многочленсм.u полином от n неизвестных полином степени n по производным Синонимы полином пфаффиан термин трехчлен форма Антонимы одночлен...Русско-английский научно-технический словарь
  32. многочленmultinomial polynomial многочлен м.upolynomialзаписать [расположить] многочлен в порядке убывания показателей степени arrange a polynomial in descending powersразложить...Русско-английский политехнический словарь
  33. многочленмногочлен м. мат.imultinomial polynomial...Русско-английский словарь
  34. многочленмногочлен м. мат. multinomial polynomial....Русско-английский словарь II
  35. многочленm. полином пфаффиан термин трехчлен форма Антонимы одночлен...Русско-английский словарь математических терминов
  36. многочленpolynomial полином пфаффиан термин трехчлен форма Антонимы одночлен...Русско-английский словарь по машиностроению
  37. многочленм. интерполяционный многочлен нормировочный многочлен...Русско-английский словарь по физике
  38. многочленmultinomial polynomial...Русско-английский словарь по электронике
  39. многочленpolynome...Русско-английский строительный словарь
  40. многочленpolynomial интерполяционный многочлен многочлен или полином многочлен круговой многочлен нормированный многочлен отмеченный неприводимый многочлен нижний многочлен фактор...Русско-английский технический словарь
  41. многочленpolynomial...Русско-английский толковый словарь терминов по информатике
  42. многочленмнагасклад...Русско-белорусский математический словарь
  43. многочленМнагачлен...Русско-белорусский словарь
  44. многочленмат.i мнагачлен муж.i...Русско-белорусский словарь II
  45. многочленмнагачлеuн на многочлен интерполяционный...Русско-белорусский словарь математических, физических и технических терминов
  46. многочленмнагачлен на...Русско-белорусский физико-математический словарь
  47. многочленм. polinomio m многочлен с действительными коэффициентами polinomio a coefficienti razionali интерполяционный многочлен многочлен Лагера многочлен Лежандра многочлен ми...Русско-итальянский политехнический словарь
  48. многочленмат. кп мше...Русско-казахский словарь
  49. многочленмат. iкпмше...Русско-казахский словарь для учащихся и студентов
  50. многочленм. мат. кп мч....Русско-киргизский словарь
  51. многочленм мат. duxingshСинонимы полином пфаффиан термин трехчлен форма Антонимы одночлен...Русско-китайский словарь
  52. многочленpolinoms...Русско-латышский словарь
  53. многочленAggregat матем.u mehrgliedriger Ausdruck Polynom...Русско-немецкий политехнический словарь
  54. многочленAggregat...Русско-немецкий словарь по химии и химической технологии
  55. многочленAggregat...Русско-немецкий химический словарь
  56. многочлен...Русско-персидский словарь
  57. многочленматpolinmio m полином пфаффиан термин трехчлен форма Антонимы одночлен...Русско-португальский словарь
  58. многочленМногочленмат.em polinomia...Русско-суахили словарь
  59. многочленмногочлен бисьраъзо...Русско-таджикский словарь
  60. многочленм мат.кпбуын...Русско-татарский словарь
  61. многочленм мат. полином пфаффиан термин трехчлен форма Антонимы одночлен...Русско-турецкий словарь
  62. многочленматем. багаточлен псевдохарактеристический многочлен псевдохарактеристичний багаточлен алгебраический многочлен альтернативный многочлен аппроксимативный многочлен б...Русско-украинский политехнический словарь
  63. многочленmnoholen polynom...Русско-чешский словарь
  64. многочлен.strong hulkliige.strong polnoom...Русско-эстонский словарь
  65. многочленмногочлен полином пфаффиан термин трехчлен форма Антонимы одночлен...Слитно или раздельно? Орфографический словарь-справочник
  66. многочленмногочлен а Синонимы полином пфаффиан термин трехчлен форма Антонимы одночлен...Слитно. Раздельно. Через дефис. Словарь-справочник
  67. многочленодночленСинонимы полином пфаффиан термин трехчлен форма Антонимы одночлен...Словарь антонимов
  68. многочленмногочлен полином Словарь русских синонимов. многочлен сущ. колво синонимов полином пфаффиан термин трехчлен форма Словарь синонимов ASIS.В.Н. Тришин. . Синони...Словарь синонимов II
  69. многочленмногочлен полином...Словарь синонимов
  70. многочле́нМНОГОЧЛЕН а ч. Алгебричний вираз який становить суму клькох одночленв. Рацональна функця називаться цлою або многочленом якщо при обчисленн значень не ма мсця длення на ...Словник української мови в 11 томах
  71. многочленМНОГОЧЛЕН а ч. мат.Те саме що багаточлен.Рацональна функця називаться цлою або многочленом якщо при обчисленн значень не ма мсця длення на вираз що мстить у соб незалежн...Словник української мови у 20 томах
  72. многочленМНОГОЧЛЕН сумма конечного числа одночленов....Современная энциклопедия
  73. многочленМНОГОЧЛЕН полином алгебраическая сумма конечного числа одночленов т. е. выражений вида Axkyl .wm где x y . w переменные А коэффициент многочлена и k l . m показатели степ...Современный энциклопедический словарь
  74. многочленМНОГОЧЛЕН а м. Алгебраическое выражение представляющее сумму илиразность нескольких одночленов. II прил. многочленный ая ое....Толковый словарь Ожегова
  75. многочленМНОГОЧЛЕН многочленна м. мат. Алгебраическое выражение представляющее сумму или разность нескольких одночленов....Толковый словарь русского языка II
  76. многочленмногочлен многочлен а м. Алгебраическое выражение представляющее сумму или разность нескольких одночленов.прил. ный ая ое....Толковый словарь русского языка II
  77. многочленМНОГОЧЛЕН а м. Алгебраическое выражение представляющее сумму или разность нескольких одночленов. прилагательное многочленный ая ое....Толковый словарь русского языка
  78. многочлена ч. Алгебричний вираз який становить суму клькох одночленв....Толковый словарь украинского языка
  79. многочленУдарение в слове многочленУдарение падает на букву еБезударные гласные в слове многочлен...Ударение и правописание
  80. многочленматем. полином...Украинско-русский политехнический словарь
  81. многочленPolynomium...Українсько-датський словник
  82. многочленPolynom...Українсько-норвезький словник
  83. многочленPolynom...Українсько-шведський словник
  84. многочленФункця що описуться формулою fx ansubxnsupansubxnsup.asubxasub де asub. ansub задан числа коефцнти м....Універсальний словник-енциклопедія
  85. многочленмногочлен многочлены многочлена многочленов многочлену многочленам многочлен многочлены многочленом многочленами многочлене многочленах Источник Полная акцентуированная п...Формы слова
  86. многочленМНОГОЧЛЕН polynomial Функция yfxem определенная в виде суммы членов каждый из которых в коэффициент раз больше степени х.em Линейная функция представляет собой многочлен ...Экономический словарь
  87. многочленНемного Моно Монгол Монго Могол Многочлен Много Меч Мелочно Мелон Мел Мег Лоно Лонг Немо Немолчно Неолог Неон Лом Лог Нло Ном Леон Огон Олег Омег Омон Ленч Лен Енол Оченн...Электронный словарь анаграмм русского языка
  88. многочленМногочлен см. Полином....Энциклопедический словарь
  89. многочленсм. Полином....Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона