Большая советская энциклопедия

МНОГОЧЛЕН

МНОГОЧЛЕН,полином, выражение вида

где x, y, ...,w —переменные,а А, В,..., D (коэффициенты М.) иk, l, ..., t(показатели степеней — целые неотрицательные числа) — постоянные. Отд. слагаемые видаAxky1... wmназ. членами М. Порядок членов, а также порядок множителей в каждом члене можно менять произвольно; точно так же можно вводить или опускать члены с нулевыми коэффициентами, а в каждом отд. члене — степени с нулевыми показателями. В случае, когда М. имеет один, два или три члена, его наз. одночленом, двучленом или трёхчленом. Два члена М. наз. подобными, если в них показатели степеней при одинаковых переменных попарно равны. Подобные между собой члены

можно заменить одним (приведение подобных членов). Два М. наз. равными, если после приведения подобных все члены с отличными от нуля коэффициентами оказываются попарно одинаковыми (но, может быть, записанными в разном порядке), а также если все коэффициенты этих М. оказываются равными нулю. В последнем случае М. наз. тождественным нулём и обозначают знаком 0. М. от одного переменногохможно всегда записать в виде

где а0, a1,...,an —коэффициенты.

Сумму показателей степеней к.-л. члена М. наз. степенью этого члена. Если М. не тождественный нуль, то среди членов с отличными от нуля коэффициентами (предполагается, что все подобные члены приведены) имеются один или несколько наибольшей степени; эту наибольшую степень наз. степенью М. Тождественный нуль не имеет степени. М. нулевой степени сводится к одному членуА(постоянному, не равному нулю). Примеры:xyz + х + у +z есть многочлен третьей степени,2х + у — z +1 есть многочлен первой степени (л и н е й н ы й М.), 5x2— 2x2— 3x2не имеет степени, т. к. это тождественный нуль. М., все члены к-рого одинаковой степени, наз. однородным М., илиформой;формы первой, второй и третьей степеней наз. линейными, квадратичными, кубичными, а по числу переменных (два, три) двоичными (бинарными), тройничными (тернарными) (напр.,х2++ y2+ z2-ху - yz - xzесть трои-ничная квадратичная форма).

Относительно коэффициентов М. предполагается, что они принадлежат определённому полю (см.Полеалгебраическое), напр, полю рациональных, действительных или комплексных чисел. Выполняя над М. действия сложения, вычитания и умножения на основании переместительного, сочетательного и распределительного законов, получают снова М. Таким образом, совокупность всех М. с коэффициентами из данного поля образует кольцо (см.Кольцоалгебраическое) - кольцо многочленов над данным полем; это кольцо не имеет делителей нуля, т. е. произведение М., не равных 0, не может дать 0.

Если для двух многочленовР(х)иQ(x)можно найти такой многочленR(x),что Р =QR,то говорят, чтоРделится на О; О наз. делителем, aR -частным. ЕслиРне делится на О, то можно найти такие многочленыР(х)иS(x),что Р =QR + S,причём степеньS(x)меньше степениQ(x).

Посредством повторного применения этой операции можно находить наибольший общий делитель Р и О, т. е. такой делительРи Q, к-рый делится на любой общий делитель этих многочленов (см.Евклида алгоритм).М., к-рый можно представить в виде произведения М. низших степеней с коэффициентами из данного поля, наз. приводимым (в данном поле), в противном случае -неприводимым. Неприводимые М. играют в кольце М. роль, сходную с простыми числами в теории целых чисел. Так, напр., верна теорема: если произведение PQ делится на неприводимый многочленR,аРнаRне делится, то тогда О должно делиться наR.Каждый М. степени, большей нуля, разлагается в данном поле в произведение неприводимых множителей единств, образом (с точностью до множителей нулевой степени). Напр., многочленхл+ 1, неприводимый в поле рациональных чисел, разлагается на два множителя

лексных чисел. Вообще каждый М. от одного переменногохразлагается в поле действительных чисел на множители первой и второй степени, в поле комплексных чисел - на множители первой степени (основная теорема алгебры). Для двух и большего числа переменных этого уже нельзя утверждать; напр., многочленх3+ уz2++z3неприводим в любом числовом поле.

Если переменнымх, у, ..., wпридать определённые числовые значения (напр., действительные или комплексные), то М. также получит определённое числовое значение. Отсюда следует, что каждый М. можно рассматривать как функцию соответствующих переменных. Эта функция непрерывна и дифференцируема при любых значениях переменных; её можно характеризовать как целую рациональную функцию, т. е. функцию, получающуюся из переменных и нек-рых постоянных (коэффициентов) посредством выполненных в определённом порядке действий сложения, вычитания и умножения. Целые рациональные функции входят в более широкий классрациональных функций,где к перечисленным действиям присоединяется деление: любую рациональную функцию можно представить в виде частного двух М. Наконец, рациональные функции содержатся в классеалгебраических функции.

К числу важнейших свойств М. относится то, что любую непрерывную функцию можно с произвольно малой ошибкой заменить М. (теорема Вейерштрасса; точная её формулировка требует, чтобы данная функция была непрерывна на к.-л. ограниченном, замкнутом множестве точек, напр, на отрезке числовой оси). Этот факт, доказываемый средствами матема-тич. анализа, даёт возможность приближённо выражать М, любую связь между величинами, изучаемую в к.-л. вопросе естествознания и техники. Способы такого выражения исследуются в спец. разделах математики (см.Приближение и интерполирование функций, Наименьших квадратов метод).

В элементарной алгебре многочленом иногда наз. такие алгебраич. выражения, в к-рых последним действием является сложение или вычитание, напр.

Лит.; К у р о ш А. Г., Курс высшей алгебры, 9 изд., М., 1968; Мишина А. П., Проскуряков И. В., Высшая алгебра, 2 изд., М., 1965.

А. И. Маркушевич.




  1. многочлен—полином выражение вида Axksupylsup.wmsup Bxnsupypsup.wqsup Dxr где х уem . w переменные а А В . Dem коэффициенты М. и k l . tem показатели степеней целые неотрицате...Большая Советская энциклопедия II
  2. многочлен—многочлен м мат. Polynom n aСинонимы полином пфаффиан термин трехчлен форма Антонимы одночлен...Большой немецко-русский и русско-немецкий словарь
  3. многочлен—м мат.Polynom n полином пфаффиан термин трехчлен форма Антонимы одночлен...Большой немецко-русский и русско-немецкий словарь
  4. многочлен—м. мат.polinomio mem multinomio m...Большой русско-испанский словарь
  5. многочлен—сущ. муж. рода...Большой русско-украинский словарь
  6. многочлен—м. мат. polynme m...Большой русско-французский словарь
  7. многочлен—м. мат.polynme m полином пфаффиан термин трехчлен форма Антонимы одночлен...Большой французско-русский и русско-французский словарь
  8. многочлен—полином алгебр. сумма конечного числа одночленов т. е. выражение вида где х у . w i переменные А i. L коэфф. М. и k l . t iпоказатели степеней целые неотрицат. числа по...Большой энциклопедический политехнический словарь
  9. многочлен—полином алгебраическая сумма конечного числа одночленов т.е. выражений вида Axkyl .wm где x y . w переменные А коэффициентмногочлена и k l . m показатели степеней целые...Большой энциклопедический словарь II
  10. многочлен—МНОГОЧЛЕН полином алгебраическая сумма конечного числа одночленов т. е. выражений вида Axkyl .wm где x y . w переменные А коэффициент многочлена и k l . m показатели сте...Большой Энциклопедический словарь V
  11. многочлен—а ч.i Алгебричний вираз який становить суму клькох одночленв....Великий тлумачний словник (ВТС) сучасної української мови
  12. многочлен—полином алгебр сумма конечного числа одночленов т. е. выражений вида Axksupylsup . wmsupgti где х у i. w переменные А iкоэф. М. и k l . т iпоказатели степеней целые нео...Естествознание. Энциклопедический словарь
  13. многочлен—а м. мат.em Алгебраическое выражение представляющее сумму илиразность нескольких одночленов полином.Синонимы полином пфаффиан термин трехчлен форма Антонимы одночлен...Малый академический словарь
  14. многочлен—полином выражение вида где переменные а А В . Dem коэффициент ы М. и x y .i. . w показатели степеней целые неотрицательные числа постоянные. Отдельные слагаемые вида ...Математическая энциклопедия
  15. многочлен—корень МНОГ соединительная гласная О корень ЧЛЕН нулевое окончаниеОснова слова МНОГОЧЛЕНВычисленный способ образования слова Сложение основ МНОГ соединительная гласна...Морфемный разбор слова по составу
  16. многочлен—Начальная форма Многочлен винительный падеж единственное число мужской род неодушевленное...Морфологический разбор существительных
  17. многочлен—МНОГОЧЛЕНstrong полином сумма одночленов которые являются произведениями состоящими из числового множителя коэффициента и одной или нескольких букв каждая из которых взят...Научно-технический энциклопедический словарь
  18. многочлен—многочлен м. Алгебраическое выражение представляющее собою сумму нескольких одночленов....Новый толково-словообразовательный словарь русского языка
  19. многочлен—многочлен многочлен а...Орфографический словарь
  20. многочлен—многочлен менник чоловчого роду...Орфографічний словник української мови
  21. многочлен—кпмше...Орысша-қазақша «Математика» терминологиялық сөздік
  22. многочлен—кпмше...Орысша-қазақша «Энергетика» терминологиялық сөздік
  23. многочлен—polynme coefficients entiers...Политехнический русско-французский словарь
  24. многочлен—многочлен многочлены многочлена многочленов многочлену многочленам многочлен многочлены многочленом многочленами многочлене многочленах...Полная акцентуированная парадигма по Зализняку
  25. многочлен—Орфографическая запись слова многочлен Ударение в слове многочлен Деление слова на слоги перенос слова многочлен Фонетическая транскрипция слова многочлен [мнагалэн] Хар...Полный фонетический разбор слов
  26. многочлен—мат. багаточлен многочлен на полном ма....Російсько-український словник (Українська академія наук)
  27. многочлен—многочлен аСинонимы полином пфаффиан термин трехчлен форма Антонимы одночлен...Русский орфографический словарь
  28. многочлен—М riyaz. oxhdli....Русско-азербайджанский словарь
  29. многочлен—polynomial...Русско-английский машиностроительный словарь
  30. многочлен—polynomial...Русско-английский морской словарь
  31. многочлен—см.u полином от n неизвестных полином степени n по производным Синонимы полином пфаффиан термин трехчлен форма Антонимы одночлен...Русско-английский научно-технический словарь
  32. многочлен—multinomial polynomial многочлен м.upolynomialзаписать [расположить] многочлен в порядке убывания показателей степени arrange a polynomial in descending powersразложить...Русско-английский политехнический словарь
  33. многочлен—многочлен м. мат.imultinomial polynomial...Русско-английский словарь
  34. многочлен—многочлен м. мат. multinomial polynomial....Русско-английский словарь II
  35. многочлен—m. полином пфаффиан термин трехчлен форма Антонимы одночлен...Русско-английский словарь математических терминов
  36. многочлен—polynomial полином пфаффиан термин трехчлен форма Антонимы одночлен...Русско-английский словарь по машиностроению
  37. многочлен—м. интерполяционный многочлен нормировочный многочлен...Русско-английский словарь по физике
  38. многочлен—multinomial polynomial...Русско-английский словарь по электронике
  39. многочлен—polynome...Русско-английский строительный словарь
  40. многочлен—polynomial интерполяционный многочлен многочлен или полином многочлен круговой многочлен нормированный многочлен отмеченный неприводимый многочлен нижний многочлен фактор...Русско-английский технический словарь
  41. многочлен—polynomial...Русско-английский толковый словарь терминов по информатике
  42. многочлен—мнагасклад...Русско-белорусский математический словарь
  43. многочлен—Мнагачлен...Русско-белорусский словарь
  44. многочлен—мат.i мнагачлен муж.i...Русско-белорусский словарь II
  45. многочлен—мнагачлеuн на многочлен интерполяционный...Русско-белорусский словарь математических, физических и технических терминов
  46. многочлен—мнагачлен на...Русско-белорусский физико-математический словарь
  47. многочлен—м. polinomio m многочлен с действительными коэффициентами polinomio a coefficienti razionali интерполяционный многочлен многочлен Лагера многочлен Лежандра многочлен ми...Русско-итальянский политехнический словарь
  48. многочлен—мат. кп мше...Русско-казахский словарь
  49. многочлен—мат. iкпмше...Русско-казахский словарь для учащихся и студентов
  50. многочлен—м. мат. кп мч....Русско-киргизский словарь
  51. многочлен—м мат. duxingshСинонимы полином пфаффиан термин трехчлен форма Антонимы одночлен...Русско-китайский словарь
  52. многочлен—polinoms...Русско-латышский словарь
  53. многочлен—Aggregat матем.u mehrgliedriger Ausdruck Polynom...Русско-немецкий политехнический словарь
  54. многочлен—Aggregat...Русско-немецкий словарь по химии и химической технологии
  55. многочлен—Aggregat...Русско-немецкий химический словарь
  56. многочлен—...Русско-персидский словарь
  57. многочлен—матpolinmio m полином пфаффиан термин трехчлен форма Антонимы одночлен...Русско-португальский словарь
  58. многочлен—Многочленмат.em polinomia...Русско-суахили словарь
  59. многочлен—многочлен бисьраъзо...Русско-таджикский словарь
  60. многочлен—м мат.кпбуын...Русско-татарский словарь
  61. многочлен—м мат. полином пфаффиан термин трехчлен форма Антонимы одночлен...Русско-турецкий словарь
  62. многочлен—матем. багаточлен псевдохарактеристический многочлен псевдохарактеристичний багаточлен алгебраический многочлен альтернативный многочлен аппроксимативный многочлен б...Русско-украинский политехнический словарь
  63. многочлен—mnoholen polynom...Русско-чешский словарь
  64. многочлен—.strong hulkliige.strong polnoom...Русско-эстонский словарь
  65. многочлен—многочлен полином пфаффиан термин трехчлен форма Антонимы одночлен...Слитно или раздельно? Орфографический словарь-справочник
  66. многочлен—многочлен а Синонимы полином пфаффиан термин трехчлен форма Антонимы одночлен...Слитно. Раздельно. Через дефис. Словарь-справочник
  67. многочлен—одночленСинонимы полином пфаффиан термин трехчлен форма Антонимы одночлен...Словарь антонимов
  68. многочлен—многочлен полином Словарь русских синонимов. многочлен сущ. колво синонимов полином пфаффиан термин трехчлен форма Словарь синонимов ASIS.В.Н. Тришин. . Синони...Словарь синонимов II
  69. многочлен—многочлен полином...Словарь синонимов
  70. многочле́н—МНОГОЧЛЕН а ч. Алгебричний вираз який становить суму клькох одночленв. Рацональна функця називаться цлою або многочленом якщо при обчисленн значень не ма мсця длення на ...Словник української мови в 11 томах
  71. многочлен—МНОГОЧЛЕН а ч. мат.Те саме що багаточлен.Рацональна функця називаться цлою або многочленом якщо при обчисленн значень не ма мсця длення на вираз що мстить у соб незалежн...Словник української мови у 20 томах
  72. многочлен—МНОГОЧЛЕН сумма конечного числа одночленов....Современная энциклопедия
  73. многочлен—МНОГОЧЛЕН полином алгебраическая сумма конечного числа одночленов т. е. выражений вида Axkyl .wm где x y . w переменные А коэффициент многочлена и k l . m показатели степ...Современный энциклопедический словарь
  74. многочлен—МНОГОЧЛЕН а м. Алгебраическое выражение представляющее сумму илиразность нескольких одночленов. II прил. многочленный ая ое....Толковый словарь Ожегова
  75. многочлен—МНОГОЧЛЕН многочленна м. мат. Алгебраическое выражение представляющее сумму или разность нескольких одночленов....Толковый словарь русского языка II
  76. многочлен—многочлен многочлен а м. Алгебраическое выражение представляющее сумму или разность нескольких одночленов.прил. ный ая ое....Толковый словарь русского языка II
  77. многочлен—МНОГОЧЛЕН а м. Алгебраическое выражение представляющее сумму или разность нескольких одночленов. прилагательное многочленный ая ое....Толковый словарь русского языка
  78. многочлен—а ч. Алгебричний вираз який становить суму клькох одночленв....Толковый словарь украинского языка
  79. многочлен—Ударение в слове многочленУдарение падает на букву еБезударные гласные в слове многочлен...Ударение и правописание
  80. многочлен—матем. полином...Украинско-русский политехнический словарь
  81. многочлен—Polynomium...Українсько-датський словник
  82. многочлен—Polynom...Українсько-норвезький словник
  83. многочлен—Polynom...Українсько-шведський словник
  84. многочлен—Функця що описуться формулою fx ansubxnsupansubxnsup.asubxasub де asub. ansub задан числа коефцнти м....Універсальний словник-енциклопедія
  85. многочлен—многочлен многочлены многочлена многочленов многочлену многочленам многочлен многочлены многочленом многочленами многочлене многочленах Источник Полная акцентуированная п...Формы слова
  86. многочлен—МНОГОЧЛЕН polynomial Функция yfxem определенная в виде суммы членов каждый из которых в коэффициент раз больше степени х.em Линейная функция представляет собой многочлен ...Экономический словарь
  87. многочлен—Немного Моно Монгол Монго Могол Многочлен Много Меч Мелочно Мелон Мел Мег Лоно Лонг Немо Немолчно Неолог Неон Лом Лог Нло Ном Леон Огон Олег Омег Омон Ленч Лен Енол Оченн...Электронный словарь анаграмм русского языка
  88. многочлен—Многочлен см. Полином....Энциклопедический словарь
  89. многочлен—см. Полином....Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона