Математическая энциклопедия

МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ МЕТОД

один из основных общих методов построения оценок неизвестного параметра в статистич. теории оценивания.

Пусть по наблюдению Xс распределением зависящим от неизвестного параметра ___ оценивается Предполагая, что все меры абсолютно непрерывны относительно общей меры v, определяют функцию правдоподобия равенством

М. п. м. рекомендует принять в качестве оценки для статистику определяемую соотношением

Оценка наз. оценкой максимального (или наибольшего) правдоподобия (о. м. п.). В широком классе случаев о. м. п. является решением уравнений правдоподобия

Пример 1. ПустьХ=(Х1, ...,Хn).последовательность независимых случайных величин (наблюдений) с общим распределением Если существует плотность

относительно нек-рой мерыт,то

и уравнения (1) имеют вид

Пример 2.Пусть в условиях 1-го примера есть нормальное распределение с плотностью

где

Уравнения

(2) принимают вид

о. м. п. выражается равенствами:

П р и м е р 3. В условиях 1-го примераXjпринимают значения 0 и 1 с вероятностями соответственно Тогда

а о. м. п.

Пример 4. Пусть наблюдениеX=Xtесть диффузионный процесс со стохастическим дифференциалом

гдеwt- винеровский процесс, а - неизвестный одномерный параметр. Здесь (см. [3])

В основе М. п. м. не лежат никакие четко выраженные соображения оптимальности, и широко распространенная вера в его хорошие качества основана отчасти на большом успехе, с к-рым М. п. м. применялся к многочисленным конкретным задачам, отчасти на строго установленных асимптотически оптимальных свойствах. Напр., в ситуации 1-го примера в широких предположениях с -вероятностью 1. Если существует информационное количество Фишера

то разность асимптотически нормальна с параметрами и имеет в определенном смысле асимптотически минимальный средний квадрат уклонения от в (см. [4]).

Лит.:[1] К р а м е р Г., Математические методы статистики, пер. с англ., 2 изд., М., 1975; [2] 3 а к с Ш., Теория статистических выводов, пер. с англ., М., 1975; [3] Л и п ц е р Р. Ш., Ширяев А. И., Статистика случайных процессов, М., 1974; [4] Ибрагимов И. А., Хасьминский Р. 3., Асимптотическая теория оценивания, М., 1979.И. А. Ибрагимов.



  1. максимального правдоподобия метод—МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ МЕТОД метод нахождения статистических оценок iнеизвестных параметров распределения согласно М. п. м. в качестве оценок выбираются те значения ...Большая советская энциклопедия
  2. максимального правдоподобия метод—метод нахождения статистических оценок См. Статистические оценки неизвестных параметров распределения согласно М. п. м. в качестве оценок выбираются те значения параметро...Большая Советская энциклопедия II
  3. максимального правдоподобия метод—максмальнай прадападобнасц метад...Русско-белорусский математический словарь
  4. максимального правдоподобия метод—метод оценивания неизвестных параметров для распределения случайной величины ci по наблюдению е реализаций при параметрич. анализе данных.iM. п. м. был предложен P. Э. Фи...Физическая энциклопедия