МАКСВЕЛЛА УРАВНЕНИЯ

- уравнения электромагнитного поля в материальных средах; установлены в 60-х гг. 19 в. Дж. Максвеллом (J. Maxwell) на основе экспериментально найденных к тому времени законов электрических и магнитных явлений.

В классич. электродинамике для описания электромагнитного ноля в среде вводятся четыре векторных поля: напряженность электрич. поляЕ,электрич. индукцияD,напряженность магнитного поляНн магнитная индукцияВ,к-рые являются непрерывными и дифференцируемыми функциямиrрадиус-вектора точки 3-мерного пространства и времениt.Эти поля определяются с точностью до постоянных множителей, позволяющих выбрать соответствующую систему физич. единиц измерения абсолютной величины этих полей.

М. у. представляют собой систему неоднородных дифференциальных уравнений с частными производными 1-го порядка для полейЕ, D, Н, B,к-рая в т. н. абсолютной системе физич. единиц Гаусса имеет вид:

где неоднородные члены r(t,r)-заданное скалярное поле плотности электрич. заряда в среде иj(t,r)-векторное поле плотности электрич. тока (заряда, проходящего за единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению движения зарядов) являются источниками ноля, а с=3*10¹⁰см/сек -постоянная, равная скорости распространения электромагнитных взаимодействий в вакууме. М. у. могут быть записаны также и в интегральной форме:

ПоляE, D, H, Виjне являются независимыми, причем в согласии с экспериментальными фактамиDиjзависят только отE,аВзависит только отН,т. е'. имеют место следующие функциональные зависимости:

к-рые наз.уравнениями состояния, или материальными уравнениями сре-д ы. В рамках классической макроскопич. электродинамики уравнения состояния (3) должны быть заданы дополнительно (постулированы или определены но экспериментальным данным) и с их учетом система М. у. для двух независимых векторных полейEиНстановится замкнутой. Конкретный вид уравнений состояния (3) определяется электрическими и магнитными свойствами данной среды и ее состоянием. В общем случае в уравнениях состояния (3) векторные поляD, jиВв точкеrв момент времени tмогут зависеть нелинейно от значении полейEиНсоответственно во всех точках среды (нелокальный случай) во все любые моменты времени, предшествующие согласно физич. принципу причинности - данному моменту t(случай среды с последействием или с памятью). Большинство имеющих практич. интерес сред характеризуется локальной линейной зависимостьюDиjотЕиВотН,и в этом случае М. у. оказываются линейными дифференциальными уравнениями, однако в приложениях встречаются и более сложные случаи (напр., в нелинейной оптике). Уравнения состояния (3) могут быть рассчитаны в принципе с помощью микроскопич. электродинамики, если учесть законы движения отдельных частиц среды и их индивидуальные микроскопич. характеристики (значения элсктрич. зарядов, масс). При этом значения макроскопич. полейE, H, D, Вопределяются как усредненные значения микроскопич. полей, создаваемых отдельными движущимися заряженными частицами среды, и для них справедливы М. у.

На поверхности раздела различных сред должны быть выполнены граничные условия

где j_пов- плотность поверхностного тока, - плотность поверхностного заряда,п-единичный вектор нормали к поверхности раздела, индексы₁и₂отмечают значения полей с разных сторон поверхности раздела.

Следствием М. у. является уравнение непрерывности

выражающее закон сохранения электрич. заряда.

М. у. инвариантны относительно преобразований Лоренца. Если в псевдоевклидовом пространстве 4-мерном пространстве-времени с координатами х₁=х, х₂=у, x₃=z, x₄=ictввести два антисимметричных 4-мерных тензораF_klиG_kl(k, l=1, 2, 3, 4) с компонентами

а также 4-мерный вектор тока j_k, k=1, 2, 3, 4, пространственные компоненты к-рого j_l=i_x, j₂=i_y, j₃=i_zсовпадают с компонентами токаjи четвертая' компонента пропорциональна плотности заряда, то М. у. (1) могут быть записаны в релятивистски ковариантнон форме:

Уравнения (5) представляют собой 4-мерную форму записи М.

Для электромагнитного поля в вакууме, по определению, и, следовательно, и электромагнитное поле описывается лишь одним тензоромF_kl.Если ввести 4-мерный вектор электромагнитного потенциалаА_k, k=1, 2, 3, 4, пространственные компоненты к-рого A₁=A_x, А₂=А_у, A₃=A_zобразуют т. н. 3-мерный вектор-потенциал A(t, r),а четвертая временная компонента A₄=ij пропорциональна скалярному потенциалу поля то компоненты антисимметричного тензора электромагнитного поляF_klможно выразить через компоненты 4-мерного вектора электромагнитного потенциалаА_kсогласно соотношению

С учетом (7) уравнения (5) удовлетворяются тождественно, а уравнения (6) принимают вид

т. е. неоднородных волновых уравнений для компонентыA_k.Введение в рассмотрение потенциалаA_kпозволяет записать М. у. в простой форме (8), однако потенциалА_kопределен неоднозначно, что отражает инвариантность М. у. в форме (8) относительно градиентных преобразований. Указанная неоднозначность в определении потенциалаA_kможет быть устранена (см.Градиентное преобразование).

Согласно (4) и (7) физически наблюдаемые поляЕиНможно выразить через вектор-потенциалАи скалярный потенциал j:

В случае, когда электромагнитное поле в вакууме является свободным, т. е. отсутствуют источники, М. у. (1) и (8) становятся однородными, и из М. у. (1) и (8) можно получить независимые однородные волновые уравнения для электрического и магнитного поля

где - лапласиан и с - скорость распространения электромагнитных волн в вакууме.

М. у. для электромагнитного поля применимы лишь в классич. теории, т. к. в случае, когда переменные электрическое и магнитное поля имеют очень высокие частоты и очень малые длины волн (сравнимые с длинами порядка размеров атомов), становятся существенными квантовые эффекты, и теория электромагнитного поля и его источников должна строиться на основе квантовой электродинамики.

Лит.:[1] М а к с в е л л Д ж. К., Избр. соч. по теории электромагнитного поля, пер. с англ., М., 1954; [2] Т а м м И. Е., Основы теории электричества, 7 изд., М., 1957; [3] Л а н-д а у Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М., Теория поля, 6 изд., М., 1973; [4] и х ж е, Электродинамика сплошных сред, М., 1957.

максвелла уравнения—МАКСВЕЛЛА УРАВНЕНИЯ фундаментальные урния классической макроскопич. электродинамики iописывающие электромагнитные явления в произвольной среде. М. у. сформулированы Дж. К...Большая советская энциклопедия
максвелла уравнения—фундаментальные уравнения классической макроскопической электродинамики См. Электродинамикаem описывающие электромагнитные явления в произвольной среде. М. у. сформулиров...Большая Советская энциклопедия II
максвелла уравнения—основные уравнения классической макроскопическойэлектродинамики описывающие электромагнитные явления в произвольныхсредах и в вакууме. Уравнения Максвелла получены Дж. К....Большой энциклопедический словарь II
максвелла уравнения—МАКСВЕЛЛА УРАВНЕНИЯ основные уравнения классической макроскопической электродинамики описывающие электромагнитные явления в произвольных средах и в вакууме. Уравнения Мак...Большой энциклопедический словарь III
максвелла уравнения—МАКСВЕЛЛА УРАВНЕНИЯ основные уравнения классической макроскопической электродинамики описывающие электромагнитные явления в произвольных средах и в вакууме. Уравнения Ма...Большой Энциклопедический словарь V
максвелла уравнения—осн. уравнения классич. макроскопич. электродинамикиi описывающие эл.магн. явления в произвольных средах и в вакууме. М. у. получены Дж. К. Максвеллом в х гг. в. в резул...Естествознание. Энциклопедический словарь
максвелла уравнения—МАКСВЕЛЛА УРАВНЕНИЯ основные уравнения классической макроскопической электродинамики описывающие электромагнитные явления в произвольных средах и в вакууме. Уравнения Мак...Современный энциклопедический словарь
максвелла уравнения—фундаментальные урния классич. макроскопич. электродинамики описывающие эл.магн. явления в любой среде и в вакууме. Сформулированы в х гг. в. Дж. Максвеллом на основе об...Физическая энциклопедия
максвелла уравнения—МАКСВЕЛЛА УРАВНЕНИЯ основные уравнения классической макроскопической электродинамики описывающие электромагнитные явления в произвольных средах и в вакууме. Уравнения Ма...Энциклопедический словарь естествознания