КАЗИМИРА ЭЛЕМЕНТ

оператор Казимира,- центральный элемент специального вида в универсальной обертывающей алгебре полупростой алгебры Ли. Такие операторы в одном частном случае были впервые введены X. Казимиром [1].

Пусть - полупростая конечномерная алгебра Ли над полем характеристики 0, В- билинейная симметричная инвариантная (т. е. В([х, у], z)= B(x,[у,z]) для всех) форма наневырожденная на идеале К.э. алгебры (относительно формы В)наз. элемент универсальной обертывающей алгебры представимый в виде

где{е_i},{f_i} - дуальные базисы относительно формыВ,т. е. В(е_i,f_i)=d_ij, i=1, ...,l,d_ij- символ Кронекера, Элемент bне зависит от выбора дуальных базисов в и содержится в центре Если алгебра проста, то К. э. алгебры определяемыйКиллинга формойвВ,является единственным, с точностью до числового множителя, центральным элементом в представимым в виде однородного квадратичного полинома от элементов алгебры

Каждое линейное представление j полупростой алгебры в конечномерном пространстве Vопределяет билинейную симметрическую инвариантную форму

на невырожденную на идеале дополнительном к kеr j, и тем самым нек-рый К. э. Если j неприводимо, то продолжение представления j на переводит b_jв

Лит.:[1] Casimir H., van der Warden В. L., "Math. Ann.", 1935, Bd 111, S. 1 - 12; [2] Бурбаки Н., Группы и алгебры Ли, пер. с франц., М., 1976; [Я] Серр Ж.-П., Алгебры Ли и группы Ли, пер. с англ. и франц., М., 1969; [4] Джекобсон Н., Алгебры Ли, пер. с англ., М., 1964; [5] Наймарк М. А., Теория представлений групп, М., 1976; [6] Dixmier J., Algebres enveloppantes, P., 1974.

Д. П. Желобенко.