Математическая энциклопедия

ИНВАРИАНТ

- отображение j рассматриваемой совокупностиМматематич. объектов, снабженной фиксированным отношением эквивалентности р, в другую совокупность Nматематич. объектов, постоянное на классах эквивалентности Мпо r(точнее: И. отношения эквивалентности р на М).Если X- объект изМ,то весьма часто говорят, что j(М).- И. объектаX.Концепция И. является одной из важнейших в математике, поскольку изучение И. непосредственно связано с задачами классификации объектов того или иного типа. По существу, целью всякой математич. классификации является построение нек-рой полной системы И. (по' возможности, наиболее простой), то есть такой системы, к-рая разделяет любые два неэквивалентных объекта из рассматриваемой совокупности.

Простейшим примером И. могут служить так наз. И. действительных плоскихлиний второго порядка.А именно, пусть М- множество всех таких линий, r - отношение эквивалентности наМ,определенное правилом: эквивалентна тогда и только тогда, когда Г' получается из Г движением (т. е. изометрией) плоскости. ЕслиAx2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0- уравнение линиив какой-либо декартовой системе координат, то числа s(Г)=А+С,

и

не зависят от выбора системы координат (хотя само уравнение линии Г - зависит). Если две линии эквивалентны, то s(Г),=s(Г'), d(Г)=d(Г') и D(Г)=D(Г').Иначе говоря, отображения s,d и D множества Мв множество Nвсех действительных чисел являются И. отношения эквивалентности r - эти отображения и называют И. действительных плоских линий второго порядка. Значения этих И. на конкретной линии позволяют определить тип этой линии (эллипс, гипербола, парабола, пара прямых, мнимая кривая).

Другой классич. пример -двойное отношениеупорядоченного набора четырех точек, лежащих на одной прямой в действительном проективном пространстве. Двойное отношение не изменится, если подвергнуть эти точки проективному преобразованию всего пространства. В этом примере: М- это множество упорядоченных четверок точек проективного пространства, лежащих на одной прямой; отношение эквивалентности р наМ -определяется по правилу: наборы Fиэквивалентны тогда и только тогда, когда Fпереводится вF'проективным преобразованием пространства; N- множество действительных чисел. Взятие двойного отношения определяет отображение МвN,являющееся И. отношения р; именно в этом смысле говорят, что двойное отношение - И. четырех точек (относительно проективной группы).

Сопоставлениеквадратичной формеот ппеременных ее ранга также доставляет пример И.: ранг не меняется при замене формы на эквивалентную (коротко: ранг есть И. квадратичной формы). Более того, если формы рассматриваются над полем комплексных чисел, то ранг составляет полную систему И. форм от ппеременных - две формы эквивалентны тогда и только тогда, когда их ранги равны. Если же рассматривать формы над полем действительных чисел, то появляется еще один И.- сигнатура формы; ранг и сигнатура соcтавляют полную систему И, В этих примерах М- множество квадратичных форм от ппеременных, r - отношение эквивалентности, определенное невырожденными линейными преобразованиями переменных, N- множество целых чисел.

Общая черта, объединяющая эти (и многие другие) примеры, состоит в том, что отношение эквивалентности р определяется с помощью нек-рой группы Gпреобразований множества М(т. е.Xир-эквивалентны тогда и только тогда, когдаY-g(X)для нек-рого); И., возникающие в таких случаях, наз. И. группыG.В первом примере - это преобразованияМ,индуцированные группой изометрий плоскости, во втором - проективной группой, в третьем - полной линейной группой невырожденных преобразований переменных. Эти примеры иллюстрируют общую концепцию, выдвинутую Ф. Клейном (F. Klein) (так наз. эрлангенская программа), согласно к-рой всякая группа преобразований может служить группой "преобразований систем координат" (автоморфизмов) в некоторой геометрии; величины, определяемые объектами этой геометрии и не меняющиеся при "смене координат" (инварианты), описывают внутренние свойства рассматриваемой геометрии и дают "структурную" классификацию ее теорем. Так, напр., задача проективной геометрии - нахождение И. (и соотношений между ними) для проективной группы, евклидовой геометрии - для группы движений (изометрий) евклидова пространства и т. д. На этом пути возникла классическаяинвариантов теория,в к-рой рассматриваются лишь И. специального вида (полиномиальные или рациональные И. для групп линейных преобразований или, шире, числовые функции, постоянные на орбитах нек-рой группы).

Однако общее понятие И. является более широким и не может быть ограничено рамками И. групп преобразований, поскольку не всегда отношение эквивалентности р на рассматриваемом множестве Мматематич. объектов определено действием группы. Примеры И. такого типа можно указать во многих областях математики. В алгебраич. и гомотопич. топологии каждому топологич. пространству сопоставляют его гомотопич. группы, а также группы сингулярных гомологии (с коэффициентами в нек-рой группе); эти группы являются И. относительно гомотопич. эквивалентности пространств. В алгебраич. геометрии рассматривается отношение бирациональной эквивалентности алгебраич. многообразий; размерность многообразия и, если ограничиться рассмотрением гладких полных многообразий, арифметич. род дают примеры И. этого отношения эквивалентности. В дифференциальной топологии многообразия рассматриваются с точностью до диффеоморфизма; классы Штифеля - Уитни многообразия являются И. относительно этого отношения эквивалентности. В классической дифференциальной геометрии рассматривается полная кривизна поверхности; она является И. изгибания. В теории абелевых групп рассматриваются так наз. И. конечно порожденных групп - ранг и порядки примерных компонент; они составляют полный набор И. для множества таких групп, рассматриваемых с точностью до изоморфизма.

В. Л. Попов.

Arf-ИНВАРИАНТ,инвариант Арфа,- инвариант квадратичной формы по модулю 2, заданной на целочисленной решетке, снабженной билинейной кососимметрич. формой. Пусть П - целочисленная решетка размерностиk=2ти y(х, у)- форма, для к-рой y(х, y)=-y(y, х).Имеются базисы вида{е1, f1, . . .,ет, fm},наз. симплектическими, в к-рых матрица формы y(х, у)приводится к блочнодиагональному виду: по диагонали стоят блоки , т. е.

y(ei,fi)=-y(fi, ei)=1. а в других местах - нули.

Пусть на П задано отображение

для к-рого y0(х, y)=y0(x)+y0(y)+y(x, у)mod 2 - "квадратичная форма по модулю 2". Выражение

и наз. инвариантом Арфа [1]. Если это выражение равно нулю, то существует симплектический базис, на всех элементах к-рого форма y0равна нулю, если же это выражение равно единице, то существует симплектический базис, на всех элементах к-рого, кромее1и f1, форма равна нулю, в то время как

Лит.:[1] Arf С, "J. reine und angew. Math.", 1941, Bd 183, S. 148-67.

А. В. Чернавский.


  1. инвариант—сущ. муж. рода лит. мат.нечто неизменное выражение конструкт единица в процессе преобразования ряда однородных величин явленийнварант...Большой русско-украинский словарь
  2. инвариант—м. invariant m...Большой русско-французский словарь
  3. инвариант—м.invariant m...Большой французско-русский и русско-французский словарь
  4. инвариант—ИНВАРИАНТ абстрактная единица языка обладающая совокупностью основных признаков всех ее конкретных реализаций и тем объединяющая их напр. морфеда по отношению к алломорфа...Большой энциклопедический словарь III
  5. инвариант—ИНВАРИАНТ абстрактная единица языка обладающая совокупностью основных признаков всех ее конкретных реализаций и тем объединяющая их напр. морфеда по отношению к алломорф...Большой Энциклопедический словарь V
  6. инвариант—ИНВАРИАНТ от лат. invarians неизменяющийся в математике величина остающаяся неизменяемой при тех или иных преобразованиях. Напр. площадь какойлибо фигуры угол между дв...Большой Энциклопедический словарь V
  7. инвариант—неизменяющаяся неизменная величина единица в математике величина выражение остающаяся неизменной при определенных преобразованиях переменных в языкознании абстрактная с...Глобальная экономика. Энциклопедия
  8. инвариант—от лат. invarians неизменяющийся матем. величина остающаяся неизменной при тех или иных преобразованиях. напр. площадь какойлибо фигуры угол между двумя прямыми И. движ...Естествознание. Энциклопедический словарь
  9. инвариант—от латинского invarians неизменяющийся величина остающаяся неизменяемой при тех или иных преобразованиях. Например инвариант движения то есть преобразования при котором ...Иллюстрированный энциклопедический словарь
  10. инвариант—ИНВАРИАНТ а м. invariante f. strong. мат. Выражение остющееся неизменным при определенном преобразовании переменных связанных с этим выражением например при переходе от о...Исторический словарь галлицизмов русского языка
  11. инвариант—от лат. invarians род. падеж invariantis неизменяющийся см. Вариантность....Лингвистический энциклопедический словарь
  12. инвариант—корень ИН корень ВАРИ суффикс АНТ нулевое окончаниеОснова слова ИНВАРИАНТВычисленный способ образования слова Суффиксальный ИН ВАРИ АНТ Слово Инвариант содержит с...Морфемный разбор слова по составу
  13. инвариант—Начальная форма Инвариант винительный падеж единственное число мужской род неодушевленное...Морфологический разбор существительных
  14. инвариант—от лат. invarians фр. invariant букв. неизменяющийся в математике величина остающаяся неизменной при тех или иных преобразованиях в лингвистике структурная единица язы...Начала современного естествознания
  15. инвариант—инвариант м. Величина остающаяся неизменной при тех или иных преобразованиях в математике. Структурная единица языка фонема морфема лексема и т.п. в отвлечении от ее ...Новый толково-словообразовательный словарь русского языка
  16. инвариант—инвариант инвариант а...Орфографический словарь
  17. инвариант—u мu мн.u инварианты Р.u инвариантов...Орфографический словарь русского языка
  18. инвариант—инвариант...Орысша-қазақша «Математика» терминологиялық сөздік
  19. инвариант—инвариант...Орысша-қазақша «Электроника, радиотехника және байланыс» терминологиялық сөздік
  20. инвариант—mathinvariant m...Политехнический русско-французский словарь
  21. инвариант—инвариант инварианты инварианта инвариантов инварианту инвариантам инвариант инварианты инвариантом инвариантами инварианте инвариантах...Полная акцентуированная парадигма по Зализняку
  22. инвариант—Орфографическая запись слова инвариант Ударение в слове инвариант Деление слова на слоги перенос слова инвариант Фонетическая транскрипция слова инвариант [нврант] Харак...Полный фонетический разбор слов
  23. инвариант—от лат. invariansнеизменяющийся матем. величина остающаяся неизменяемой при тех или иных преобразованиях напр. угол между двумя прямыми лингв структурная единица языка...Профессиональное образование
  24. инвариант—от франц. invariant неизменяющийся нечто число выражение структура и т. п. связанное с какойлибо системой и остающееся неизменным при всех преобразованиях этой системы....Психология труда, управления, инженерная психология и эргономика
  25. инвариант—инвариант а...Русский орфографический словарь
  26. инвариант—invariant...Русско-английский машиностроительный словарь
  27. инвариант—invariant инвариант м.uinvariant...Русско-английский политехнический словарь
  28. инвариант—м. функциональный инвариант...Русско-английский психологический словарь
  29. инвариант—m....Русско-английский словарь математических терминов
  30. инвариант—invariant...Русско-английский словарь по машиностроению
  31. инвариант—м. адиабатический инвариант большой кинематический инвариант второй адиабатический инвариант гомотопический инвариант изотопический инвариант инвариант деформации инвариа...Русско-английский словарь по физике
  32. инвариант—invariant вчт....Русско-английский словарь по электронике
  33. инвариант—invariant изотопический инвариант...Русско-английский технический словарь
  34. инвариант—нварыянт...Русско-белорусский математический словарь
  35. инвариант—нварыянт...Русско-белорусский словарь
  36. инвариант—мат.i нварыянт муж.i...Русско-белорусский словарь II
  37. инвариант—нварыяuнт та инвариант когомологический инвариант Серра...Русско-белорусский словарь математических, физических и технических терминов
  38. инвариант—нварыянт та...Русско-белорусский физико-математический словарь
  39. инвариант—м. матем. invariante m адиабатический инвариант дифференциальный инвариант интегральный инвариант проективный инвариант...Русско-итальянский политехнический словарь
  40. инвариант—....Русско-китайский словарь
  41. инвариант—Invariante...Русско-немецкий политехнический словарь
  42. инвариант—...Русско-персидский словарь
  43. инвариант—матем. физ. нварант адиабатический инвариант векторный инвариант вычислительный инвариант инвариант полосы инвариант ткани инвариант цикла неприводимый инвариант ...Русско-украинский политехнический словарь
  44. инвариант—invariant invarianta...Русско-чешский словарь
  45. инвариант—инвариант...Русское словесное ударение
  46. инвариант—ИНВАРИАНТ [фр. invariant букв. неизменяющийся] мат. выражение остающееся неизменным при определенном преобразовании переменных связанных с этим выражением напр. при пе...Словарь иностранных слов русского языка
  47. инвариант—франц.em invariant неизменяющийся. Структурная единица языка фонема морфема лексема и т. д. в отвлечении от ее конкретных реализаций....Словарь лингвистических терминов
  48. инвариант—фр.u invariant неизменяющийся strong Математическое выражение или величина остающаяся неизменной при различных преобразованиях напр. при переходе из одной системы координ...Словарь лингвистических терминов Т.В. Жеребило
  49. инвариант—ИНВАРИАНТ от латинского invarians неизменяющийся величина остающаяся неизменяемой при тех или иных преобразованиях. Например инвариант движения то есть преобразования пр...Современная энциклопедия
  50. инвариант—ИНВАРИАНТ абстрактная единица языка обладающая совокупностью основных признаков всех ее конкретных реализаций и тем объединяющая их напр. морфеда по отношению к алломорфа...Современный энциклопедический словарь
  51. инвариант—ИНВАРИАНТ от лат . invarians неизменяющийся в математике величина остающаяся неизменяемой при тех или иных преобразованиях. Напр. площадь какойлибо фигуры угол между дв...Современный энциклопедический словарь
  52. инвариант—Инвариант invariant выражение остающееся неизменным при определенном преобразовании переменных связанных с этим выражением.[Словарь понятий по информатике. Электронный р...Терминологический словарь автоматизации строительства и производственных процессов
  53. инвариант—.strong Структурная единица языка или эма как элемент абстрактной системы языка в отвлечении от ее конкретных реализаций единиц в речи или алло. .strong Выражение остающе...Толковый переводоведческий словарь
  54. инвариант—инвариант [фр. invariant букв неизменяющийся] мат. выражение остающееся неизменным при определенном преобразовании переменных связанных с этим выражением напр при перех...Толковый словарь иностранных слов
  55. инвариант—ИНВАРИАНТ а м. . Величина остающаяся неизменяемой при тех или иныхпреобразованиях спец. . В языкознании единица заключающая в себе всеосновные признаки своих конкретных р...Толковый словарь Ожегова
  56. инвариант—инвариант инвариант а м. Величина остающаяся неизменяемой при тех или иных преобразованиях спец. В языкознании единица заключающая в себе все основные признаки своих конк...Толковый словарь русского языка II
  57. инвариант—ИНВАРИАНТ а м. . Величина остающаяся неизменяемой при тех или иных преобразованиях спец. . В языкознании единица заключающая в себе все основные признаки своих конкретных...Толковый словарь русского языка
  58. инвариант—Ударение в слове инвариантУдарение падает на букву аБезударные гласные в слове инвариант...Ударение и правописание
  59. инвариант—Инвариант Инвариант программный объект не изменяющийся в процессе выполнения. Инварианты используется при доказательстве правильности программ. См. также Исполнение прог...Финансовый словарь
  60. инвариант—инвариант инварианты инварианта инвариантов инварианту инвариантам инвариант инварианты инвариантом инвариантами инварианте инвариантах Источник Полная акцентуированная п...Формы слова
  61. инвариант—Ритина Рита Ринит Рин Риа Рванина Ратин Рант Рана Раина Равнина Рават Нтр Нтв Нрав Нит Нирвана Нина Нии Нива Натр Натан Нарта Нарва Нант Нана Наирит Наин Навар Итр Ирита ...Электронный словарь анаграмм русского языка
  62. инвариант—ИНВАРИАНТ абстрактная единица языка обладающая совокупностью основных признаков всех ее конкретных реализаций и тем объединяющая их напр. морфеда по отношению к алломорф...Энциклопедический словарь естествознания
  63. инвариант—от лат. invarians ntis неизменный англ. invariant нем. Invariante. . Выражение число и т. п. связанное с к.л. целостной совокупностью объектов остающееся неизменным на...Энциклопедия социологии
  64. инвариант—некая система понятий и закономерностей описывающая группу какихлибо явлений феноменов самодостаточная по своей сути....Юридическая психология