Математическая энциклопедия

ИЗОЛИРОВАННАЯ ОСОБАЯ ТОЧКА

для элемента аналитической функции f(z)- точка акомплексной плоскости z, относительно к-рой выполняются условия: 1) этот элемент функции f(z)не допускаетаналитического продолженияпо какому-либо пути в точку я; 2) существует такое число R>0, что в проколотой окрестности U= {: 0 а|f(z) возможно по любому пути.

Если при аналитич. родолжении f(z) вдоль замкнутого пути, расположенного в Uи окружающегоа,напр, вдоль окружности |z-a|=p,0ветвления точкой, или И. о. т. многозначного характера. В противном случае элемент f(z)определяет однозначную аналитич. функцию в Uи аназ. И. о. т. однозначного характера. В проколотой окрестности UИ. о. т. а однозначного характера функция f(z) разлагается вЛорана ряд:

с правильной частьюf1(z)=и главной частьюf2(z)= Поведение аналитич. функции f(z).в проколотой окрестности UИ.o. т. однозначного характера определяется в основном главной частью ряда Лорана. Если все коэффициенты главной части равны нулю, то, полагая f(a)=c0,получим однозначную аналитич. функцию в полной окрестностиа.Этот случай фактического отсутствия особенности характеризуется также тем, что f(z)ограничена в проколотой окрестностиU,или тем, что существует конечный предел

Если среди коэффициентов главной части имеется лишь конечное число отличных от нуля и наименьший номер среди них имеетс_тнеравно 0,то аестьполюспорядкат.Полюс ахарактеризуется также тем, что

Наконец, если среди коэффициентов главной части имеется бесконечное множество отличных от нуля, то а-существенно особая точка.В этом случае не существует конечного или бесконечного предела

Для бесконечно удаленной И.о. т. элементаf{z)проколотая окрестность имеет видU={'.r}, а ряд Лорана -

Здесь правильная часть а главная часть С этими условиями описанные выше классификация и признаки типов И. о. т. без дальнейших изменений переносятся на случайа= бесконечность(см. такжеВычет).Следует отметить, что элементы различных ветвейполной аналитической функции f(z) в одной и той же точке могут иметь особенности совершенно различных типов.

Голоморфные функции f(z)многих комплексных переменных, z= (zl, z2, . . .,zn),при не могут иметь И. о. т. При особые точки составляют бесконечные множества особенностей.

Лит.:[1] Маркушевич А. И., Теория аналитических функций, 2 изд., т. 1, М., 1967; [2] Шабат Б. В., Введение в комплексный анализ, 2 изд., М., 1976.

Е. Д. Соломенцев.


  1. изолированная особая точка—isolated singularity...Русско-английский политехнический словарь
  2. изолированная особая точка—isolated singular point isolated singularity...Русско-английский словарь по физике
  3. изолированная особая точка—заляваны асаблвы пункт...Русско-белорусский математический словарь