ЗЕЙДЕЛЯ МЕТОД
- итерационный метод решения системы линейных алгебраич. уравненийАх=b.Решение системых*находится как предел последовательности вычисляемой по правилу
i=l, 2, ...,п,
гдеaij- элементы матрицыА, bi- компоненты вектора b;диагональные элементы матрицы Апредполагаются отличными от нуля. Вычисления (*) отличаются отпростой итерации методалишь тем, что на k-м шаге при вычислении i-й компоненты учитываются вычисленныеk-вприближения первых (i-1) компонент.
В матричной записи 3.м. представляется следующим образом. ЕслиА=В+С,где
то соотношение (*) соответствует матричному соотношению x(k)=-В-1Сх(k-1)+В-1b. З. м. равносилен методу простой итерации, примененному к системе x=-B-1Cx+B-1b,эквивалентной исходной. Для сходимости 3. м. необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения матрицыВ-1Спо модулю были меньше 1. Иначе, чтобы все корни уравнения det(C+Вl)=0были по модулю меньше 1.
На практике более удобны следующие достаточные условия сходимости 3. м. 1) Пусть при всех i,
д<1. Тогда 3. м. сходится и для
скорости сходимости имеет место оценка:
2) Пусть А- эрмитова положительно определенная матрица. Тогда 3. м. сходится.
З. м. относится к классурелаксации методов,наиболее употребительным из к-рых являетсясверхрелаксации метод.
Известны модификации 3. м., использующие предварительное преобразование исходной системы в эквивалентную ей системуx=Mx+f(см. [4]).
Метод предложен Л. Зейделем в [1].
Лит.:[1] Seidеl L., "Abhandl. Bayer. Akad. Wiss. Math.-naturwiss. Kl.", 1874, Bd 11, №3, S. 81 - 108; [2] Бахвалов H. С, Численные методы, 2 изд., М., 1975; [3] Березин И. С, Жидков Н. П., Методы вычислений, 3 изд., т. 1, М., 1966; И Фаддеев Д. К., Фаддеева В. Н., Вычислительные методы линейной алгебры, 2 изд., М.- Л., 1963.
Г. Д.Ким.
- зейделя метод—Зэйдэля метад...Русско-белорусский математический словарь