Математическая энциклопедия

ЗАМКНУТЫЙ ОПЕРАТОР

- оператор А: такой, что изиследуетиАх=у(здесьX, Y- банаховы пространства над одним и тем же полем скаляров и - область определения оператора А).Понятие 3. о. распространяется и на операторы, действующие в отделимых линейных топологич. пространствах, только вместо последовательностей{хп} надо рассматривать произвольные направления (сети){хx}.ЕслиGrA- график оператора А, то Азамкнут тогда и только тогда, когдаGrAесть замкнутое подмножество декартова произведения XY.Это свойство часто принимается за определение 3.о.

Понятие 3. о. есть обобщение понятия оператора, определенного и непрерывного на замкнутом подмножестве банахова пространства. Примером замкнутого, но не непрерывного оператора является оператор определенный на множествеС1[а, b]непрерывно дифференцируемых функций пространства С[а, b].Замкнутыми, но не непрерывными являются многие операторы математич. физики.

Оператор Адопускает замыкание (т. е.- замыкаем), если существует замкнутое расширение этого оператора. Для того чтобы оператор был замыкаем, необходимо и достаточно, чтобы из следовалоу=у'.Наименьшее замкнутое расширение оператора паз.его замыканием. Симметрический оператор в гильбертовом пространстве с плотной областью определения всегда допускает замыкание.

Линейный ограниченный оператор А:замкнут.

Обратно, если Аопределен на всем Xи замкнут, то он ограничен. Если Азамкнут и А-1существует, то А-1также замкнут. Так как А: замкнут тогда и только тогда, когда А-lIзамкнут, то Азамкнут, если резольвента Rl(А)=(А-lI)-1существует и ограничена хотя бы для одного значения параметра lОС.

Если Dвсюду плотно в Xи, следовательно, однозначно определен сопряженный операторА *: тоА*- З. о. Если, кроме того,Da*= YиX, Yрефлексивны, то А- замыкаемый оператор иА * *является замыканиемА.

3. о. Ас помощью введения новой нормы в области его определения можно сделать ограниченным. Пусть

ТогдаDAс новой нормой будет банаховым пространством иА,как оператор из (DА|| Х ||0) в У, будет ограниченным.

Лит.:[1] Иосида К., Функциональный анализ, пер. с англ., М., 1967; [2] Като Т., Теория возмущений линейных операторов, пер. с англ., М., 1972.

В. И. Соболев


  1. замкнутый оператор—замкнений оператор...Русско-украинский политехнический словарь