Математическая энциклопедия

ЗАМКНУТАЯ СИСТЕМА

элементов, замкнутая система функций,- система элементов jnнекоторого линейного нормированного пространства Нтакая, что любой элемент можно сколь угодно точно приблизить в метрике пространства Нконечной линейной комбинацией элементов из этой системы, т. е. для всякого e>0 найдутся такие числа с0, с1...,сп,что выполняется неравенство

Напр., система степеней {хп}, n=0, 1, 2, ..., замкнута в пространствеLp[a, b, dm(x)].функций, суммируемых в степени на конечном отрезке [а, b]с интегральным весом m(x), причем неравенство (1) в этом случае имеет вид

гдеQn(x)- многочлен степенип.Обычно рассматривается случай, когда {jn} - ортонормированная последовательность элементов в гильбертовом пространствеН.*Тогда условие замкнутости (1) эквивалентно выполнению для всех элементов равенств

где {ап}- коэффициенты Фурье элемента f по системе{jn}.В случае тригонометрич. системы функций условие (3) наз. равенством Парсеваля; оно имеет вид

Это равенство рассматривали М. Парсеваль (М. Раrseval, 1806), Ш. Балле Пуссен (Ch. La Vallee Poussin, 1890), А. Гурвиц (A.Hurwitz, 1901-03); строгое его доказательство дал (в случае, когда f(x)ограничена) А. М. Ляпунов (1896).

Общий случай условия замкнутости (3) впервые подробно исследовал В. А. Стеклов (1898) в связи с решением нек-рых задач математич. физики. Введя термин "замкнутость", В. А. Стеклов рассмотрел с этой точки зрения различные конкретные системы ортогональных функций, и в частности фундаментальные решения уравнения Штурма - Лиувилля (см.Штурма-Лиувилля задача).Поэтому равенство (3) часто наз. условием замкнутости Парсеваля - Стеклова.

Понятие замкнутости широко применяется в теорииортогональных многочленов.Если отрезок ортогональности конечен, то система ортогональных многочленов замкнута при любом весе. В случае бесконечного интервала ортогональности В. А. Стеклов установил ряд условий на весовую функцию, достаточных для замкнутости соответствующей системы ортогональных многочленов: в частности, он доказал замкнутость систем многочленов Эрмита и Лагерра. Одно из достаточных условий Стеклова в случав интервала заключается в том, что существует такая последовательность положительных чисел{ап),для к-рой выполняются соотношения

где h(x)- дифференциальный вес на интервале (т. е. dm(x)= h(x)dx).Для всего интервала достаточное условие состоит в том, чтобы дифференциальный вес h(х)был почти всюду положителен п удовлетворял неравенству

Это условие в нек-ром смысле близко к необходимому, ибо, как показал еще В. А. Стеклов, система многочленов незамкнута в случае весовой функции вида

Полное решение вопроса об условиях замкнутости системы многочленов в пространствеL2[a, b, dm(x)]в случае бесконечного интервала дал М. Рис (М. Riesz, 1922). Он доказал, что для замкнутости системы многочленов в L2[a, b, dm(x)]необходимо и достаточно, чтобы либо соответствующаямоментов проблемабыла определенной, либо в случае неопределенности функция m(х)была так наз. N-экстремальным решением проблемы моментов.

С понятием замкнутости тесно связано понятие полноты системы функций, к-рое заключается в том, что из равенства нулю линейного ограниченного функционала f на всех элементах системы {jп}следует условие f=0. В гильбертовом пространстве эти два понятия эквивалентны. Полнота системы {jп(х)}в пространствеLpэквивалентна замкнутости этой же системы вLq,где

В комплексной области подробно изучены аналоги неравенств типа (1) или (2) для систем многочленов и более общих систем функций (см.Ортогональные многочленыв комплексной области).

Лит.:[1]Качмаж С, Штейнгауз Г., Теория ортогональных рядов, пер. снем.,М., 1958; [2] Геронимус Я.

П.К.Суетин.


  1. замкнутая система—система фактическая или теоретическая которая ограждена от других систем и действует или мыслится как действующая аутохтонно независимо от воздействий извне. В психопатол...Большая энциклопедия по психиатрии
  2. замкнутая система—closed circuit bounded system...Большой русско-английский словарь биологических терминов
  3. замкнутая система—. с. в механике система тел на крые не действуют внеш. силы т. е. силы прилож. со стороны др. не входящих в рассматриваемую систему тел. . с. в термодинамике система т...Большой энциклопедический политехнический словарь
  4. замкнутая система—то же что изолированная система.i...Естествознание. Энциклопедический словарь
  5. замкнутая система—. Система тел или материальных точек на каждое из которых не действуют внешние силы. . Замкнутая термодинамическая система...Метеорологический словарь
  6. замкнутая система—тйы жйе...Мұнай-газ терминдерінің орысша-қазақша сөздігі
  7. замкнутая система—Система фактическая или теоретическая которая ограждена от других систем и действует или мыслится как действующая без навязываемых извне дополнений или изменений....Оксфордский толковый словарь по психологии
  8. замкнутая система—Система фактическая или теоретическая которая ограждена от других систем и действует или мыслится как действующая без навязываемых извне дополнений или изменений....Оксфордский толковый словарь по психологии
  9. замкнутая система—systme ferm...Политехнический русско-французский словарь
  10. замкнутая система—backtoback system closed loop system...Русско-английский машиностроительный словарь
  11. замкнутая система—closed loop автоматического регулирования или управленияem loop...Русско-английский политехнический словарь
  12. замкнутая система—bounded system closed system...Русско-английский психологический словарь
  13. замкнутая система—closedloop system...Русско-английский словарь по машиностроению
  14. замкнутая система—loop system...Русско-английский словарь по нефти и газу
  15. замкнутая система—closed system...Русско-английский словарь по физике
  16. замкнутая система—напр. автоматического управления closed loop loop...Русско-английский словарь по электронике
  17. замкнутая система—напр. парового отопления вентиляции closed system...Русско-английский строительный словарь
  18. замкнутая система—loop system...Русско-английский химический словарь
  19. замкнутая система—sistema de ciclo cerrado sistema de circuito cerrado...Русско-испанский автотранспортный словарь
  20. замкнутая система—sistema cerrado прогр....Русско-испанский экономический словарь
  21. замкнутая система—sistema chiuso circuito m chiuso...Русско-итальянский политехнический словарь
  22. замкнутая система—sistema chiuso...Русско-итальянский экономический словарь
  23. замкнутая система—abgeschlossenes System...Русско-немецкий политехнический словарь
  24. замкнутая система—abgeschlossenes System geschlossenes System...Русско-немецкий словарь по химии и химической технологии
  25. замкнутая система—abgeschlossenes System geschlossenes System...Русско-немецкий химический словарь
  26. замкнутая система—geschlossenes System...Русско-немецкий экономический словарь
  27. замкнутая система—kapal sistem...Русско-турецкий словарь по строительству и архитектуре
  28. замкнутая система—замкнена система...Русско-украинский политехнический словарь
  29. замкнутая система—systme clos systme ferm...Русско-французский словарь по химии
  30. замкнутая система—uzaven soustava uzaven systm...Русско-чешский словарь
  31. замкнутая система—то же что изолированная система.i Физическая энциклопедия. В ти томах. М. Советская энциклопедия.Главный редактор А. М. Прохоров....Физическая энциклопедия
  32. замкнутая система—ЗАМКНУТАЯ СИСТЕМА см. Система экологическая замкнутаяi. dd Экологический энциклопедический словарь. Кишинев Главная редакция Молдавской советской энциклопедии.И.И. Дедю...Экологический словарь
  33. замкнутая система—В химии вещество или совокупность веществ претерпевающее какоелибо изменение без взаимодействия с окружающей средой....Энциклопедия Большой научной библиотеки