ЗАВИСЯЩИЙ ОТ ПАРАМЕТРОВ ИНТЕГРАЛ
- интеграл вида
в к-ром точках=(x1, х2,...,хп)пробегает пространство Rn(в случае, если эта точка пробегает только нек-рую область Dв пространстве Rn, то функцию f(x, у)можно считать равной нулю при а точкау=(y1,у2, ..., ут),образующая совокупность параметрову1, у2, ..., ут,изменяется в пределах нек-рой области GпространстваRm.
Основные вопросы теории таких интегралов - это выяснение условий непрерывности и дифференцируемости функции J(y)по параметраму1, у2, ...,уm.Менее стеснительные условия непрерывности и дифференцируемости J(у)получают при понимании интеграла в смысле Лебега. Справедливы следующие утверждения.
1) Если функция f(x, у)для почти всех непрерывна по ув области и если существует интегрируемая вRnфункция g(x)такая, что для каждого и для почти всех справедливо неравенство то интеграл J(y)является непрерывной функцией ув областиG.
2) Если функция f(x, t),определенная при для почти всех и каждого имеет производную к-рая для почти каждого является непрерывной функцией tна интервале (а, 6), и если существует интегрируемая в Rnфункция g(x)такая, что для каждого и для почти всех справедливо неравенство то из существования при нек-ром интеграла
следует дифференцйруемость по tна интервале (а, b)функции
и возможность вычисления производнойJ'(t)дифференцированием под знаком интеграла:
Из 1)- 2) получают ряд более простых утверждений о непрерывности и дифференцируемости интегралов по параметрам, относящихся к трактовке интеграла в смысле Римана и более частным случаям (см.[2]- [4]).
Несобственные интегралы, зависящие от параметров. Для простейшего несобственного интеграла 1-го рода
вводят понятие равномерной сходимости по параметру tна нек-ром сегменте Этот интеграл наз. равномерно сходящимся по tна сегменте [с, d],если для любого e>0 найдется A(e)>0 такое, что
для всех
Справедливы следующие утверждения:
а)Если функция f(x, t)непрерывна в полуполосе и интеграл (*) сходится равномерно по tна сегменте [с, d],то функция J(t)непрерывна на сегменте
б) Если f(x, t)и производная непрерывны в полуполосе интеграл (1) сходится для нек-рого а интеграл
сходится равномерно относительно t на сегменте [с, d],то функция J(t)дифференцируема на сегменте [с, d]и ее производная может быть найдена по формуле
Аналогичные утверждения справедливы и для несобственного интеграла 2-го рода.
Лит.:[1] Владимиров В. С, Уравнения математической физики, 2 изд., М., 1971; [2] Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, ч. 2, М., 1973; [3] Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, т. 2, М., 1970; [4] Никольский С. М., Курс математического анализа, т. 2, М., 1973; [5] Тихонов А. Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики, 4 изд., М., 1972.
В. А. Ильин.