Математическая энциклопедия

ЗАМКНУТАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ

- замкнутая гладкая кривая наримановом многообразии М,к-рая являетсягеодезической линией.Более общее понятие - геодезическая петля, т. е. геодезическая y(t)(), проходящая приt=aиt=bчерез одну

и ту же точку р;рассматриваемая как замкнутая линия, она может иметь "излом" в точкер.Геодезич. петля является 3. г. только в том случае, когда такого излома нет, т. е. когда y(t)приt=aи приt=bимеет одну и ту же касательную. Замкнутые траекториигеодезического потокав пространствеТМкасательных векторов к Мпроектируются в 3. г. при естественной проекции Кривая, получающаяся, когда одна и та же 3. г. обходится несколько раз, наз. кратной 3. г. Если 3. г. не является кратной, то она наз. простой 3. г.

Определение 3. г. и геодезич. петли дословно переносится на тот случай, когда Мснабженофинслеровой метрикойилиаффинной связнрстъю.Если же М- метрич. пространство (в этом случае геодезич. линия определяется как локально кратчайшая линия), то определение геодезич. петли сохраняется дословно, тогда как определение 3. г. нужно несколько изменить, поскольку нельзя говорить о гладкости или изломе. Геодезич. петля g(t).(), где у(а)= у(b)=ри g не постоянна ни на каком отрезке, будет 3. г., если при достаточно малом e>0 линия

(состоящая из двух дуг линии g:.первая дуга соединяет g(b-e) с g(b)=р,вторая соединяетр=g{а).с g(a+e)) является кратчайшей линией между своими концами g(b-e).и g(а+e).

Исследования 3.г. проводились главным образом для 3. г. на замкнутых римановых многообразиях; имеется также ряд результатов для финслеровых многообразий; нек-рые результаты получены и в более общем случае метрич. пространств с нек-рыми специальными свойствами (так наз. G-пространства Буземана, см.Геодезических геометрия)[1]. Эти исследования были начаты Ж. Адамаром [2], А. Пуанкаре (Н. Poincare [3]) и Дж. Биркгофом [4].

Ж. Адамар положил начало исследованиям геодезич. линий (не обязательно замкнутых) на многообразиях отрицательной кривизны. Основные современные результаты относятся к случаю замкнутых многообразийМ,кривизна к-рых отрицательна по всем двумерным направлениям во всех точках. Относительно 3. г. на таком Мдоказано, что замкнутые траектории геодезич. потока всюду плотны вТМ(см. [5]) (аналогичное явление наблюдается и в ряде примеров с положительной кривизной, но не всегда [6]); имеется оценка роста числа 3. г., длина к-рых не превосходитl,с увеличением l(см. [7]). Ж. Адамар аппроксимировал длинные отрезки незамкнутых геодезических с помощью 3. г., что можно считать началомсимволической динамики.

К Ж. Адамару восходит также теорема, дающая нек-рую информацию о 3. г. на замкнутом многообразии М(уже без каких-либо предположений о кривизне) в терминах свойствфундаментальной группыp1(М).Ориентированная замкнутая кривая gопределяет некоторый класс сопряженных элементов [g]группы p1(М);все такие кривые, отвечающие одному классу, получаются друг из друга посредством свободнойгомотопии.Оказывается, что для каждого класса Ксопряженных элементов p1(М),кроме класса, состоящего из единицы этой группы, среди всех замкнутых кривых gс [g]= Ксуществуют кратчайшие, и они являются 3. г. Эта теорема (справедливая не только для римановых или финслеровых метрик, но и в общем случае G-пpoстранств Буземана) является простейшим и исторически первым результатомвариационного исчисления в целом.Однако возникновение последнего как самостоятельного направления связано с более сложным применением вариационных методов к исследованию 3. г. на многообразиях, гомеоморфных сфере, для к-рых (как и вообще для односвязных многообразий) предыдущая теорема бессодержательна.

Вопрос о 3. г. на таких многообразиях поставил А. Пуанкаре (точнее, у него речь шла об овалоиде, т. е. двумерной замкнутой выпуклой поверхности). Он предположил, что в "общем" случае на овалоиде имеются три 3. г. без самопересечений, причем две из них устойчивы в линейном приближении, а одна неустойчива. Такая связь вопроса о существовании 3. г. и оценке их числа с вопросом об их свойствах устойчивости составляет существенную особенность эвристических рассуждений А. Пуанкаре, связанных преимущественно с теорией динамич. систем. Эти рассуждения могут быть проведены вполне строго, однако только для метрик, достаточно близких к "стандартной" (обычной метрике на сфере x2+y2+z2=l в евклидовом пространстве, см. [8]). Для метрик, далеких от стандартной, предполагавшиеся А. Пуанкаре свойства устойчивости 3. г. могут не иметь места [9].

Открытие вариационного подхода к вопросу о 3. г. на односвязных многообразиях принадлежит Дж. Биркгофу [4]. Он доказал, что на многообразии, гомеоморфном сфере, существует хотя бы одна 3. г.; в частности, предположение о существовании на двумерной сфере трех 3. г. без самопересечений было доказано Л. А. Люстерником и Л. Г. Шнирельманом (см.[10]).

Имеются работы о свойствах 3. г. для "типичных" римановых (или финслеровых) метрик (т. е. образующих множество второй категории в пространстве всех метрик данного класса гладкости) (см. [11] - [13]).

Стандартная метрика на сфере обладает тем свойством, что все ее геодезические замкнуты и имеют одинаковую длину; на сфере имеются и другие метрики с тем же свойством [14]. Исследовался также вопрос о топологич. свойствах многообразия и о метрике на нем, если последняя обладает указанным свойством или каким-нибудь вариантом такового.

Подробное изложение теории 3. г. см. в [15].

Лит.:[1] Буземан Г., Геометрия геодезических, пер. с англ., М., 1962; [2] Hadamard J., "J. math pure appl.", 1898, t. 4, p. 27-75; [3] Пуанкаре А., Избр. труды, М., 1972, т. 2, с. 735-74; [4] Вirkhоff G. D., "Trans. Amer. Math. Soc", 1917, v. 18, p. 199-300; [5] Аносов Д. В., Геодезические потони на замкнутых римановых многообразиях отрицательной кривизны, М., 1967; [6) We instein А., "С. г. Acad. sci.", 1970, t. 271, А504; [7] Синай Я. Г., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1966, т. 30, в. 6, с. 1275-96; [8] Грюнталь А. И., "Успехи матем. наук", 1977, т. 32, в. 4, с. 244-45; [9] его же, там же, в. 5, с. 166; [10] Люстерник Л. А., Шнирельман Л. Г., там же, 1947, т. 2, в. 1, с. 166- 217; [11] Abraham R., в кн.: "Global Analysis, N. Y., 1970 (Proc. Symp. Pure Math., v. 14), p. 1-3; [12] К1ingenberg W., Так ens F.,"Math. Ann.", 1972, Bd 197, № 4, S. 323-34; [13] Klingenberg W., "J. differential geometry", 1976, v. 11, p. 299 - 308; [14] Zoll O., "Math. Ann.", 1903, Bd 57, S. 108-33; [15] Klingenberg W., Lectures on closed geodesies, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, № 230, В.-Hdlb.-N. Y., 1978.

Д. В. Аносов.


  1. замкнутая геодезическая—closed geodesic...Русско-английский словарь по физике