Математическая энциклопедия

ГАРМОНИЧЕСКАЯ МЕРА

понятие теориигармонических функций,возникшее в связи с проблемами оценки модуля аналитич. функции внутри области, когда известны те или иные оценки модуля на границе области (см. [1], [2]). ПустьD -ограниченное открытое множество евклидова пространства - граница - конечная действительная непрерывная функция на Г. Каждой такой функции f соответствует единственная гармония, функция наD,являющаяся для f обобщенным решениемДирихле задачи.Если считать точку фиксированной, то функционалНf(x).определяет на компактном множестве Г положительную борелевскую меру к-рая и называется гармонической мерой в точкех.Для всякой непрерывной на Г функции f справедлива формула представления обобщенного решения задачи Дирихле


полученная Ш.-Ж. Валле Пуссеном [3]выметания методом.Более того, если Е- произвольное борелевское множество на Г, то Г. м. Множества Ев точке хравна значению в хобобщенного решения задачи Дирихле для характеристпч.функции , , множестваЕ.

Основные свойства Г. м: - гармонич. функция точки хна D;


еслиD -область и хвтя бы в одной точке хОD,то

В последнем случае Еназ. множеством нулевой Г. м. Если компактное множество имеет нулевую Г. м. относительно какой-либо одной области D, , то есть то оно имеет нулевую Г. м. относительно любой другой области то есть Кесть множество нулевой абсолютной Г. м. Множество Кимеет нулевую абсолютную Г. емкость.

С точки зрения приложений к теории функций комплексного переменного особенно важное значение имеет зависимость Г. м. от областиD,выражаемаягармонической меры, принципом,сущность к-рого состоит в том, что при отображениях областиD,осуществляемых однозначными аналитич. функциями , хО D, Г. м. не убывает. В частности, при взаимно однозначном конформном отображении Г. м. не изменяется.

Явное вычисление Г. м. удается провести лишь для простейших областей D(прежде всего, для круга и шара, полуплоскости, полупространства; см.Пуассона интеграл).Поэтому важное значение имеют различные методы оценки (см. [4]-[7]) Г. м., базирующиеся в основном нарасширения области принципе.В простейшей форме при n=2 он состоит в следующем: пусть конечносвязная область Dограничена конечным числом жордановых кривых - дуги, лежащие, на Г. Тогда, если область Dрасширяется каким-либо образом через дополнительную часть границы, то Г. м. может только увеличиться.

Лит.:[1] Carleman Т., "Ark. mat.", J921, Bd 15, № 10, p. 1-7; [2] Nevanlinna F., Nevanlinna R., "Acta Soc. scent, fennica", 1922, n. 50, № 5; [3] de la Vallee Poussin Ch.-J., "Ann. Inst. H. Poincarg", 1932, v. 2, p. 169-232; [4] Неванлинна Р., Однозначные аналитические функции, пер. с нем., М.- Л., 1941; [5] Голувин Г. М., Геометрическая теория функций комплексного переменного, 2 изд., М., 1966; [6] Брело М., Основы классической теории потенциала, пер. с франц., М., 1964; [7] Наlistе К., "Ark. mat.", 1965, Bd 6, № 1, p. 1-31.Е. Д. Соломенцев.


  1. гармоническая мера—harmonic measure...Русско-английский политехнический словарь
  2. гармоническая мера—harmonic measure...Русско-английский технический словарь
  3. гармоническая мера—гармонйна мра...Русско-украинский политехнический словарь