Математическая энциклопедия

ГАММАФУНКЦИЯ,

Г-функция,- трансцендентная функция , распространяющая значения факториала на случай любого комплексного Г.-ф. введена Л. Эйлером [(L. Euler), 1729, письмо к X. Гольдбаху (Ch. Goldbach)] при помощи бесконечного произведения


иа к-рого Л. Эйлер получил интегральное представление (эйлеров интегралвторого рода)


верное для . Многозначность функции устраняется формулой с действительным Inх.Обозначение Г(z) и назв. Г.-ф. были предложены А. М. Лежандром (А. М. Legendre, 1814).

Если и то Г.-ф. может быть представлена интегралом Коши- Зальшюца:


На всей плоскости z с выброшенными точками z=0, - 1, -2, ... для Г.-ф. справедливо интегральное представление Ганкеля:


где причем In sесть ветвь логарифма, для к-рой ; контур Сизображен на рис.1. Из представления Ганкеля видно, что -мероморфная функция.В точках она имеет простые полюсы с вычетами !


Основные соотношения и свойства Г.-ф.

1) Функциональное уравнение Эйлера:


или


если - целое, при этом считают .

2) Формула дополнения Эйлера:


В частности,


если n>0- целое, то

у -действительное.

3) Фор мула умножения Гаусса:


При m=2 это есть формула удвоения Лежандра.

4) При или имеет место асим-птотич. разложение вряд Стирлинга:


где -Бернулли числа.Из чего следует равенство


В частности


Более точной является формула Сонина [6]:


5) В действительной области для и принимает знак на участках (см. рис. 2). Для всех действительных хсправедливо неравенство т. е. все ветви как , так и - выпуклые функции. Свойство логарифмич. выпуклости определяет Г.-ф. среди всех решений функционального уравнения с точностью до постоянного множителя.


Для положительных хГ.-ф. имеет единственный минимум прих=1,4616321 ..., равный 0,885603... . Локальные минимумы функции при образуют последовательность, стремящуюся к нулю.


6) В комплексной области, при , Г.-ф. быстро убывает при


7) Функция 1/Г (z) (см. рис. 3) является целой функцией 1-го порядка максимального типа, причем асимптотически при


где


Она представима бесконечным произведением Вейерштрасса:


абсолютно и равномерно сходящимся на любом компактном множестве комплексной плоскости (здесьС -Эйлера постоянная).Справедливо интегральное представление Ганкеля:


где контур изображен на рис. 4.


Интегральные представления для степеней Г.-ф. были получены Г. Ф. Вороным [7].

В приложениях большую роль играют так наз. полигамма-функции, являющиеся k-ми производными от . Функция ( -функция Гаусса)


мероморфна, имеет простые полюсы в точках z= 0, - 1, -2, ... и удовлетворяет функциональному уравнению


Из представления при следует формула


где


эта формула полезна для вычисления в окрестности точки z=1.

О других полигамма-функциях см. [2].Неполная гамма-функцияопределяется равенством


Функции суть трансцендентные функции, не удовлетворяющие никакому линейному дифференциальному уравнению с рациональными коэффициентами (теорема Гёльдера).

Исключительная роль Г.-ф. в математич. анализе определяется тем, что при помощи Г.-ф. выражается большое количество определенных интегралов, бесконечных произведений и сумм рядов (см., напр.,Бета-функция).Кроме того, Г.-ф. находит широкие применения в теории специальных функций (гипергеометрической функции,для которой Г.-ф. является предельным случаем,цилиндрических функцийи др.), в аналитич. теории чисел и т. д.

Лит.:[1] Уиттекер Э. Т., Ватсон Д ж. Н., Курс современного анализа, пер. с англ., т. 2, 2 изд., М., 1963; [2] Бейтмен Г., Эрдейи А., Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра, пер. с англ., М., 1965; [3] Бурбаки Н., Функции действительного переменного. Элементарная теория, пер. с франц., М., 1965; [4] Математический анализ. Функции, пределы, ряды, цепные дроби, (Справочная математическая библиотека), М., 1961; [5] Nielsen N., Handbuch der Theorie der Gamma-funktion, Lpz., 1906; [6] Сонин Н. Я., Исследования о цилиндрических функциях и специальных полиномах, М., 1954;

[7] Вороной Г. Ф., Собр. соч., т. 2, К., 1952, с. 53-62: [8] Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф., Специальные функции. Формулы, графики, таблицы, пер. е нем., 2 изд., М., 1968; [9] Анго А., Математика для электро- и радиоинженеров, пер с франц., 2 изд., М., 1967.Л.


  1. гаммафункция—ГАММАФУНКЦИЯ [Гфункция Fx] одна из важнейших специальных функций обобщающая понятие факториала для целых положительных n равна Впервые введена Л. Эйлером в . Г.ф. для дей...Большая советская энциклопедия
  2. гаммафункция—[Гфункция Г хem] одна из важнейших специальных функций обобщающая понятие факториала для целых положительных nem равна Г n n em! . n em. Впервые введена Л. Эйлером в ...Большая Советская энциклопедия II
  3. гаммафункция—Гх фция обобщающая понятие факториалаi для случая целого положит. хi равна .ххi IГх....Большой энциклопедический политехнический словарь
  4. гаммафункция—Гфункция Гx одна из важнейших специальных функцийобобщающая понятие факториала на случай любых значений x....Большой энциклопедический словарь II
  5. гаммафункция—ГАММАФУНКЦИЯ Гфункция Гx одна из важнейших специальных функций обобщающая понятие факториала на случай любых значений x....Большой энциклопедический словарь III
  6. гаммафункция—ГАММАФУНКЦИЯ Гфункция Гx одна из важнейших специальных функций обобщающая понятие факториала на случай любых значений x....Большой Энциклопедический словарь V
  7. гаммафункция—Гфункция Гхi одна из важнейших спец. функций обобщающая понятие факториала на случай любых значений х.i Синонимы функция...Естествознание. Энциклопедический словарь
  8. гаммафункция—Начальная форма Гаммафункция единственное число женский род именительный падеж неодушевленное...Морфологический разбор существительных
  9. гаммафункция—гаммафункция гаммафункция и...Орфографический словарь
  10. гаммафункция—fonction factorielle...Политехнический русско-французский словарь
  11. гаммафункция—Орфографическая запись слова гаммафункция Ударение в слове гаммафункция Деление слова на слоги перенос слова гаммафункци Фонетическая транскрипция слова гаммафункция [га...Полный фонетический разбор слов
  12. гаммафункция—гаммафункция иСинонимы функция...Русский орфографический словарь
  13. гаммафункция—gammafunction...Русско-английский морской словарь
  14. гаммафункция—gamma function гаммафункция ж.ugamma function gamma function функция...Русско-английский политехнический словарь
  15. гаммафункция—f. функция...Русско-английский словарь математических терминов
  16. гаммафункция—gammafunction функция...Русско-английский словарь по машиностроению
  17. гаммафункция—ж.gamma function неполная гаммафункция...Русско-английский словарь по физике
  18. гаммафункция—gammafunction функция...Русско-английский технический словарь
  19. гаммафункция—гамафункцыя...Русско-белорусский математический словарь
  20. гаммафункция—Гамафункцыя...Русско-белорусский словарь
  21. гаммафункция—ж. матем. funzione f gamma...Русско-итальянский политехнический словарь
  22. гаммафункция—Синонимы функция...Русско-китайский словарь
  23. гаммафункция—GammaFunktion...Русско-немецкий политехнический словарь
  24. гаммафункция—функция гамафункця функця Синонимы функция...Русско-украинский политехнический словарь
  25. гаммафункция—funkce gamma...Русско-чешский словарь
  26. гаммафункция—гаммафункция гаммафункции функция...Слитно или раздельно? Орфографический словарь-справочник
  27. гаммафункция—гаммафункция гаммафункции ф Синонимы функция...Слитно. Раздельно. Через дефис. Словарь-справочник
  28. гаммафункция—гаммафункция сущ. колво синонимов функция Словарь синонимов ASIS.В.Н. Тришин. . Синонимы функция...Словарь синонимов II
  29. гаммафункция—Ударение в слове гаммафункцияУдарение падает на буквы ауБезударные гласные в слове гаммафункция...Ударение и правописание
  30. гаммафункция—ГАММАФУНКЦИЯ Гфункция Гx одна из важнейших специальных функций обобщающая понятие факториала на случай любых значений x....Энциклопедический словарь естествознания