Математическая энциклопедия

ГАМИЛЬТОНА ФУНКЦИЯ

гамильтониан,- функция, введенная У. Гамильтоном (W. Hamilton, 1834) для описания движений механических систем; начиная с работ К. Якоби (К. Jacobi, 1837), используется в классическом вариационном исчислении для представленияЭйлера уравненийв канонической

форме. Пусть -Лагранжа функциямеханич. системы или подннтегральная функция в задаче минимизации функционала

.

классического вариационного исчисления, где . Г. ф. представляет собойЛежандрапреобразованиефункции Lпо переменным иначе говоря, где выражено через рсоотношением скалярное произведение векторов их. Спомощью Г. ф. уравнения Эйлера


(в задачах классич. механики называемыеЛагранжа уравнениями).записываются в виде системы уравнений 1-го порядка:


Эти уравнения наз.Гамильтона уравнениями, гамиль-тоновой системой,а также канонической системой. Через Г. ф. пишутся уравнения Гамильтона-Якоби для функции действия (см.Гамильтона - Якоби теория).

Т.ф. в задаче оптимального управления определяется следующим образом.Пусть требуется найти минимум функционала


при дифференциальных связях


при заданных граничных условиях и ограничении на управление . Здесь есть n-мерный вектор фазовых координат, - m-мерный вектор управления,U -замкнутое множество допустимых значений управленияи.Г. вид


где - сопряженные переменные (множители Лагранжа, импульсы), аналогичные введенным выше канонич. переменным . Если есть минимум в поставленной задаче и (тогда можно считать равным -1), то

где


Полученное для Г. ф. выражение имеет ту же структуру, что и в классическом вариационном исчислении. СогласноПонтрягина принципу максимумауравнения Эйлера для задачи оптимального управления с помощью Г. ф. можно записать в виде


Оптимальное управление ипри каждом tдолжно доставлять максимум Г. ф.:


Лит.:[1] Блисс Г. А., Лекции по вариационному исчислению, пер. с англ., М., 1950: [2] Понтрягин Л. С. [и др.]. Математическая теория оптимальных процессов, 2 изд., М., 1969.

И. Б. Вапнярский.


  1. гамильтона функция—Гамльтана функцыя...Русско-белорусский математический словарь
  2. гамильтона функция—по имени ирл. математика У. Р. Гамильтона W. R. Hamilton характеристич. функция механической системы выраженная через канонические переменные обобщнные координаты qi и об...Физическая энциклопедия