Математическая энциклопедия

АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ

- уравнение вида где -многочлен n-й степени от одного или нескольких переменных . А. у. с одним неизвестным наз. уравнение вида:


Здесьп -целое неотрицательное число, наз. коэффициентами уравнения и являются данными, хназ. неизвестным и является искомым. Коэффициенты А. у. (1) предполагаются не все равными нулю. Если то наз. степенью уравнения.

Значения неизвестногох,к-рые удовлетворяют уравнению (1), т. е. при подстановке вместо хобращают уравнение в тождество, наз. корнями уравнения (1), а также корнями многочлена

fn(x)= a0xn+ a1xn-1+...+an.(2)

Корни многочлена связаны с его коэффициентами по формулам Виета (см.Виета теорема).Решить уравнение - значит найти все его корни, лежащие в рассматриваемой области значений неизвестного.

Для приложений наиболее важен случай, когда коэффициенты и корни уравнения - числа той или иной природы (напр., рациональные, действительные или комплексные). Рассматривается также и случай, когда коэффициенты и корни - элементы произвольногополя.Если данное число (или элемент поля)с -корень многочленаfn(х),то согласноБезу теореме fn(х).делится нах- сбез остатка.Деление можно выполнять по Горнерасхеме.

Число (или элемент поля) с наз. k-к ратным корнем многочлена f(x)(k -натуральное число), если f(x).делится на (х- с)k, но не делится на (x-с)k+1. Корни кратности 1 наз. простыми корнями многочлена.

Каждый многочлен f(x).степени n>0 с коэффициентами из поля Римеет в поле Рне более пкорней, считая каждый корень столько раз, какова его кратность (и, значит, не более празличных корней).

Валгебраически замкнутом полекаждый многочлен степени пимеет ровно пкорней (считая их кратность). В частности, это справедливо для поля комплексных чисел.

Уравнение (1) степени пс коэффициентами из поля Рназ. неприводимым над полемР,если многочлен (2) неприводим над этим полем, т. е. не может быть представлен в виде произведения других многочленов над полемР,степени к-рых меньшеп.В противном случае многочлен и соответствующее уравнение наз. приводимыми. Многочлены нулевой степени и сам нуль не причисляются ни к приводимым, ни к неприводимым. Свойство данного многочлена быть приводимым или неприводимым над полем Рзависит от рассматриваемого поля. Так, многочлен х2-2 неприводим над полем рациональных чисел, т. к. иначе он имел бы рациональные корни, но приводим над полем действительных чисел:х2-2=(х+Ц2)(х-Ц2) . Аналогично, многочленх2+1 неприводим над полем действительных чисел, но приводим над полем комплексных чисел. Вообще, над полем комплексных чисел неприводимы только многочлены 1-й степени, и всякий многочлен может быть разложен на линейные множители. Над полем действительных чисел неприводимы только многочлены 1-й степени и многочлены 2-й степени, не имеющие действительных корней (и всякий многочлен разлагается в произведение линейных и неприводимых квадратных многочленов). Над полем рациональных чисел существуют неприводимые многочлены любых степеней, таковы, напр., многочлены вида Неприводимость многочлена над полем рациональных чисел устанавливается критерием Эйзенштейна: если для многочлена (2) степени с целыми коэффициентами существует простое число р такое, что старший коэффициент не делится нар,все остальные коэффициенты делятся на , а свободный член не делится на то этот многочлен не-нриводим над полем рациональных чисел.

ПустьР -произвольное поле. Для любого многочлена степени неприводимого над полемР,существует такоерасширениеполя Р, в к-ром содержится хотя бы один корень многочлена более того, существует поле разложения многочлена т. е. расширение поляР,в к-ром этот многочлен может быть разложен на линейные множители. Любое поле имеет алгебраически замкнутое расширение.

Разрешимость алгебраических уравнений в радикалах. Всякое А. у. степени, не превосходящей 4, решается в радикалах. Решение задач, приводящихся к частным видам уравнении 2-й и 3-й степеней, можно найти еще в древнем Вавилоне (2000 лет до н. э.) (см.Квадратное уравнение, Кубическое уравнение).Первое изложение теории решения квадратных уравнений дано в книге Диофанта «Арифметика» (3 в. н. э.). Решение в радикалах уравнений 3-Й л 4-Й степенен с буквенными коэффициентами было получено итальянскими математиками в 16 в. (см.Кардано формула, Феррари метод).В течение почти 300 лет после этого делались безуспешные попытки решить в радикалах уравнение с буквенными коэффициентами 5-й и более высоких степеней. Наконец, в 1826 Н. Абель (N. Abel) доказал, что такое решение невозможно.

Современная формулировка теоремы Абеля: пусть (1) Ч уравнение степени с буквенными коэффициентами Ч любое поле и РЧ поле рациональных функций от с коэффициентами изК;тогда корни уравнения (1) (лежащие в нек-ром расширении поляР)нельзя выразить через коэффициенты этого уравнения при помощи конечного числа действий сложения, вычитания, умножения, деления (имеющих смысл в полеР)и знаков корня (имеющих смысл в расширении поляР).Иными словами, общее уравнение степени n>4 неразрешимо в радикалах (см. [3], с. 226).

Теорема Абеля не исключает, однако, того, что каждое А. у. с данными числовыми коэффициентами (или коэффициентами из данного поля) решается в радикалах. Уравнения любой степени пнек-рых частных видов решаются в радикалах (напр.,двучленные уравнения).Полное решение вопроса о том, при каких условиях А. у. разрешимо в радикалах, было получено ок. 1830 Э. Галуа (Е. Galois).

Основная теоремаГалуа теориио разрешимости А. у. в радикалах формулируется следующим образом: пусть Ч многочлен с коэффициентами из поля K, неприводимый над K; тогда: 1) если хотя бы один корень уравнения выражается в радикалах через коэффициенты этого уравнения, причем показатели радикалов не делятся на характеристику ноля K, то группа Галуа этого уравнения над полем Кразрешима; 2) обратно, если группа Галуа уравненияf(x) = Qнад полем Кразрешима, причем характеристика поля K или равна нулю, или больше всех порядков композиционных факторов этой группы, то все корни уравнения представляются в радикалах через его коэффициенты, причем все показатели встречающихся радикалов Ч простые числа, а соответствующие этим радикалам двучленные уравнения неприводимы над полями, к к-рым эти радикалы присоединяются.

Э. Галуа доказал эту теорему для случая, когдаК Чполе рациональных чисел; при этом все условия на характеристику поля K, содержащиеся в формулировке теоремы, становятся ненужными.

Теорема Абеля является следствием теоремы Галуа, так как группа Галуа уравнения степени пс буквенными коэффициентами над полем Ррациональных функции от коэффициентов уравнения с коэффициентами из любого поля КЧ симметрич. группа и при неразрешима. Для любого существуют уравнения степени пс рациональными (и даже целыми) коэффициентами, неразрешимые в радикалах. Примером такого уравнения для может служить уравнение , где рЧ простое число. В теории Галуа применяется метод сведения решения данного А. у. к цепочке более простых уравнений, наз.резольвентамиданного уравнения.

Разрешимость уравнений в радикалах тесно связана с вопросом о геометрич. построениях с помощью циркуля и линейки, в частности задача о делении окружности наnравных частей (см.Деления круга многочлен, Первообразный корень).

Алгебраические уравнения с одним неизвестным с числовыми коэффициентами. Для отыскания корней А. у. с коэффициентами из поля действительных или комплексных чисел степени выше 2-й, как правило, используются методы приближенных вычислений (напр.,Парабол метод).При этом удобно сначала освободиться от кратных корней. Число с является k-кратным корнем многочлена тогда и только тогда, когда многочлен и его производные до порядкаkЧ1 включительно обращаются в нуль при . Если разделить на наибольший общий делитель этого многочлена и его производной, то получится многочлен, имеющий те же корни, что и многочлен , но только первой кратности. Можно даже построить многочлены, имеющие в качестве простых корней все корни многочлена одинаковой кратности. Многочлен имеет кратные корни тогда и только тогда, когда егодискриминантравен нулю.

Часто возникают задачи определения границ и числа корней. За верхнюю границу модулей всех корней (как действительных, так и комплексных) А. у. (1) с любыми комплексными коэффициентами можно взять число

В случае действительных коэффициентов более точную границу обычно даетНьютона метод.К определению верхней границы положительных корней сводится определение нижней границы положительных, а также верхней и нижней границ отрицательных корней.

Для определения числа действительных корней проще всего применитьДекарта теорему.Если известно, что все корни данного многочлена действительны (как, напр., для характеристич. многочлена действительной симметрич. матрицы), то теорема Декарта дает точное число корней. Рассматривая многочлен , можно с помощью этой же теоремы найти число отрицательных корней . Точное число действительных корней, лежащих на данном интервале (в частности, число всех действительных корней) многочлена с действительными коэффициентами, не имеющего кратных корней, можно найти поШтурма правилу.Теорема Декарта является частным случаемБюданаЧФурье теоремы,дающей оценку сверху числа действительных корней многочлена с действительными коэффициентами, заключенных в нек-ром фиксированном интервале.

Иногда интересуются разысканием корней специального вида, так, напр., критерий Гурвица дает необходимое и достаточное условие для того, чтобы все корни уравнения (с комплексными коэффициентами) имели отрицательные действительные части (см.РаусаЧГурвица критерий).

Для многочлена с рациональными коэффициентами существует метод вычисления всех его рациональных корней. Многочлен с рациональными коэффициентами имеет те же корни, что и многочлен с целыми коэффициентами, получающийся из умножением на общее кратное всех знаменателей коэффициентов Рациональными корнями многочлена с целыми коэффициентами могут быть только те несократимые дроби вида , у к-рых рЧ делитель числа , а Ч делитель числа (и даже только те из этих дробей, для к-рых при любом целом число делится на ).

Если , то все рациональные корни многочлена (если они у него вообще есть) Ч целые числа, являющиеся делителями свободного члена, и могут быть найдены перебором.

Системы алгебраических уравнений. О системах А. у. 1-й степени см.Линейное уравнение.

Систему двух А. у. любых степеней с двумя неизвестнымих и уможно записать в виде:

где Ч многочлены от одного неизвестногох.

Если хпридать нек-рое числовое значение, получится система двух уравнений от одного неизвестного ус постоянными коэффициентами .Результантомэтой системы будет следующий определитель:

Справедливо утверждение: число тогда и только тогда является корнем результанта , когда или многочлены и имеют общий корень , или оба старших коэффициента и равны нулю.

Таким образом, для решения системы (3) надо найти все корни результанта , подставить каждый из этих корней в систему (3) и найти общие корни этих двух уравнений с одним неизвестныму.Кроме того, надо найти общие корни двух многочленов и и также подставить их в систему (3) и проверить, не имеют ли полученные уравнения с одним неизвестным уобщих корней. Иными словами, решение системы двух А. у. с двумя неизвестными сводится к решению одного уравнения с одним неизвестным и вычислению общих корней двух уравнений с одним неизвестным (общие корни двух или нескольких многочленов с одним неизвестным являются корнями их наибольшего общего делителя).

Аналогично рассмотренному случаю решается система любого числа А. у. с любым числом неизвестных. Эта задача приводит к громоздким вычислениям. Она связана с так наз.исключения теорией.

Лит.:[1] Курош А. Г., Курс высшей алгебры, 10 изд., М., 1971; [2] Сушкевич А. К., Основы высшей алгебры, 4 изд., М. алгебра, пер. с нем., ч. 1Ч2, 2 изд., М.

И. В. Проскуряков.


  1. алгебраическое уравнение—уравнение получающееся при приравнивании двух алгебраических выражений См. Алгебраическое выражение. emА. у. с одним неизвестным называется дробным если неизвестное входи...Большая Советская энциклопедия II
  2. алгебраическое уравнение—уравнение получающееся при приравнивании двухалгебраических выражений. Напр. xxyy x. Алгебраическое уравнение содним неизвестным может быть преобразовано к виду aо ax ....Большой энциклопедический словарь II
  3. алгебраическое уравнение—АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ уравнение получающееся при приравнивании двух алгебраических выражений. Напр. xxyy x. Алгебраическое уравнение с одним неизвестным может быть пре...Большой энциклопедический словарь III
  4. алгебраическое уравнение—АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ уравнение уравнение получающееся при приравнивании двух алгебраических выражений. Напр. xxyy x. Алгебраическое уравнение с одним неизвестным может быть пр...Большой Энциклопедический словарь V
  5. алгебраическое уравнение—урние получающееся при приравнивании двух алгебр. выражений. Напр. хsup ху уsup хi . А. у. с одним неизвестным хi может быть преобразовано к виду аоsub аisubх .iаnsub...Естествознание. Энциклопедический словарь
  6. алгебраическое уравнение—уравнение которое можно преобразовать так что в левой части будет многочлен от неизвестных а в правой нуль. Степень многочлена называется степенью уравнения. Простейшие ...Иллюстрированный энциклопедический словарь
  7. алгебраическое уравнение—АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ уравнение получающееся при приравнивании двух алгебраических выражений. Напр. xxyy x. Алгебраическое уравнение с одним неизвестным может быть пре...Новый большой англо-русский словарь II
  8. алгебраическое уравнение—quation algbrique...Политехнический русско-французский словарь
  9. алгебраическое уравнение—algebraic equation...Русско-английский политехнический словарь
  10. алгебраическое уравнение—algebraic equation...Русско-английский словарь по физике
  11. алгебраическое уравнение—algebraic equation...Русско-английский словарь по электронике
  12. алгебраическое уравнение—algebraic equation...Русско-английский технический словарь
  13. алгебраическое уравнение—алгебрачнае рананне...Русско-белорусский математический словарь
  14. алгебраическое уравнение—ecuacin algebraica...Русско-испанский автотранспортный словарь
  15. алгебраическое уравнение—equazione algebrica...Русско-итальянский политехнический словарь
  16. алгебраическое уравнение—алебричне рвняння...Русско-украинский политехнический словарь
  17. алгебраическое уравнение—algebraick rovnice...Русско-чешский словарь
  18. алгебраическое уравнение—АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ уравнение уравнение которое можно преобразовать так что в левой части будет многочлен от неизвестных а в правой нуль. Степень многочлена называется степен...Современная энциклопедия
  19. алгебраическое уравнение—АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ уравнение получающееся при приравнивании двух алгебраических выражений. Напр. xxyy x. Алгебраическое уравнение с одним неизвестным может быть пре...Современный энциклопедический словарь
  20. алгебраическое уравнение—АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ уравнение получающееся при приравнивании двух алгебраических выражений. Напр. xxyy x. Алгебраическое уравнение с одним неизвестным может быть пр...Энциклопедический словарь естествознания