Lexikon der gesamten Technik

ZAHLEN

Zahlen: übersetzung

Zahlen, Mengen von Einheiten ein und derselben Art. Die Lehre von den Zahlen (Zahlentheorie) beherrscht gegenwärtig fall die gesamte reine Mathematik und drückt verschiedenen Zweigen derselben (z.B. der Algebra, Funktionentheorie, Geometrie) ihr besonderes Gepräge auf.

Zu den zunächst gegebenen positiven ganzen Zahlen treten durch Subtraktion die negativen (die Grenze beider bildet die Null); durch Division die gebrochenen Zahlen. Zwischen diese rationalen Zahlen schieben sich, die Zwischenräume stetig erfüllend, die irrationalen Zahlen ein. Diese lind teils algebraisch (d.h. Wurzeln von Gleichungen mit rationalen Koeffizienten), z.B. 1 + √2, teils transzendent, z.B.π, e.Diesen einfachen Zahlen stehen endlich die aus mehreren Haupteinheiten zusammengesetzten gegenüber, unter welchen die gewöhnlichen komplexen Zahlen von der Forma+b√(–1) die wichtigsten sind.

Die Zahlentheorie beschäftigt sich zunächst mit den ganzen Zahlen, insbesondere mit der Teilbarkeit derselben. Eine Zahl, welche außer der Einheit und sich selbst keinen Teiler hat, heißt (absolute) Primzahl, z.B. 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 ...; Zahlen, welche keinen gemeinsamen Teiler haben, heißen relative Primzahlen, z.B. 35 und 48. Eine Zahl, die keine Primzahl ist, kann nur auf eine Art als Produkt von Potenzen von Primzahlen dargestellt werden, z.B.360 = 23· 32· 5. Es gibt unendlich viele Primzahlen. Ob eine Zahlneine Primzahl ist, kann nur durch Versuche, d.h. durch Division mit allen Primzahlen, die kleiner als √nsind, entschieden werden. Die Zahl der relativen Primzahlen zun,welche positiv und nicht größer alsnsind, istφ(n)=n(1 – 1/p1) (1 – 1/p2)..., wennn=p1αp2β...die Zerlegung vonnin seine Primfaktoren ist. Eine Zahl heißt vollkommen, wenn sie gleich der Summe ihrer sämtlichen Teiler (sie selbst natürlich ausgenommen) ist, z.B. 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14. Zwei Zahlen heißen befreundet (amikabel), wenn jede gleich der Summe sämtlicher Teiler der andern (die Zahlen selbst ausgenommen) ist, z.B. 220 und 284. Es ist nämlich 220 = 1 + 2 + 4 + 71 + 142; 284 = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110. Zwei Zahlen,aundb,welche bei Division mitmdenselben Rest geben, heißen kongruent in bezug auf den Modulm.Man schreibt diesa≡b(modm) und nennt diese Formel eine Kongruenz. Z.B. ist 22 ≡ 40 (mod 9). Fermatscher Satz: Istpeine Primzahl,adurch dieselbe nicht teilbar, so istap–1≡ 1 (modp), z.B. 26= 64≡1 (mod 7). Wilsonscher Satz: Istpeine Primzahl, so ist 1 2 3 ... (p– 1) ≡ (p– 1) modp,z.B. 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 = 720 ≡ 6 (mod 7). Eine Zahlnwird in bezug auf den Modulmals quadratischer Rest oder Nichtrest bezeichnet, je nachdem die Kongruenzx2≡n(modm) lösbar ist oder nicht, d.h. je nachdem es eine ganze Zahlxgibt, die dieser Kongruenz genügt. Die Zahl –1 ist quadratischer Rest von jeder Primzahl von der Form 4R+ 1 und Nichtrest von jeder Primzahl 4R+ 3. Reziprozitätsgesetz vonLegendre: Hat wenigstens eine der beiden Primzahlenpundqdie Form 4R+ 1, so sind entweder beide quadratische Reste (z.B. 5 und 31) oder Nichtreste (z.B. 5 und 7) voneinander. Haben aber beide die Form 4R+ 3, so ist eine Rest, die andre Nichtrest der andern (z.B. 11 ist Rest von 7, 7 Nichtrest von 11).

Weitere Teile der (höheren) Zahlentheorie sind die Lehre von den homogenen Formen, insbesondere von den binären quadratischen Formena x2+ 2b x y+c y2, wobeia, b, cganze Zahlen sind. Mit diesen Untersuchungen hängt die ganzzahlige Lösung der unbestimmten sogenannten Pellschen Gleichungx2–D y2= 1 zusammen. Hieran schließt sich die Lehre von den höheren Potenzresten und den höheren Kongruenzen, von den Kreisteilungsgleichungen, von den sogenannten algebraischen Zahlkörpern (d.h. dem Inbegriff aller Zahlen, welche rationale Funktionen gegebener algebraischer Zahlen sind), von den gewöhnlichen und höheren komplexen Zahlen, endlich von den sogenannten Idealen, d.h. solchen Systemen algebraischer Zahlenα1α2..., bei welchen alle linearen Kombinationen derselbenλ1α1+λ2α2+ ... (λ1λ2... ganze Zahlen) wieder dem System angehören.


Literatur. Von den angeführten Werken eignen sich [2], [6], [14] und vor allem [24] besonders zur Einführung; [12] ist streng wissenschaftlich gehalten; [18]–[21] sind Tabellenwerke; [1] Schwarz, Elemente der Zahlentheorie, Halle 1855. – [2] Wertheim, Elemente der Zahlentheorie, Leipzig 1887. – [3] Tchebycheff, Theorie der Kongruenzen, deutsch von Schapira, Berlin 1889. – [4] Lucas, Théorie des nombres, Paris 1891. – [5] Weber, Elliptische Funktionen und algebraische Zahlen, Braunschweig 1891. – [6] Bachmann, Zahlentheorie, Bd. 1, Die Elemente der Zahlentheorie, Leipzig 1892, Bd. 2, Die analytische Zahlentheorie, Leipzig 1894, Bd. 3, Die Lehre von der Kreisteilung, Leipzig 1872, Bd. 4, Die Arithmetik der quadratischen Formen I, Leipzig 1898. – [7] Scheffler, H., Beiträge zur Zahlentheorie, insbesondere zur Kreis- und Kugelteilung, Leipzig 1892, – [8] Ders., Die quadratische Zerfällung der Primzahlen, Leipzig 1892. – [9] Speckmann, Beiträge zur Zahlentheorie, Oldenburg 1893. – [10] Dedekind, Was sind und was sollen die Zahlen? 3. Aufl., Braunschweig 1893. – [11] Legendre, Zahlentheorie, deutsch von Maser, 3. Aufl., Bd. 1 u. 2, Leipzig 1893. – [12] Lejeune-Dirichlet, Vorlesungen über Zahlentheorie, 4. Aufl., herausgegeben von Dedekind, Braunschweig 1894. – [13] Tannery, J., Introduction à l'étude de la théorie des nombres et de l'algèbre supérieure, Paris 1895. – [14] Stieltjes, Essai sur la théorie des nombres, Paris 1895. – [15] Minkowski, Geometrie der Zahlen, Bd. 1, Leipzig 1895. – [16] Hilbert, Die Theorie der algebraischen Zahlkörper, Jahresbericht der deutschen Mathematikervereinigung, Bd. 4, Berlin 1897. – [17] Kronecker, Vorlesungen über [958] Mathematik, Bd. 3, Vorlesungen über Zahlentheorie, herausgegeben von Hensel, Leipzig 1901. – [18] Burckhardt, Tables des diviseurs pour tous les nombres du 1., 2. et 3. million, Paris 1817. – [19] Glaisher, J., Factor table for the 4., 5. and 6. million, London 1879–83. – [20] Dase, Faktorentafeln für alle Zahlen der 7., 8. und 9. Million mit den darin vorkommenden Primzahlen I–III, Hamburg 1862–65. – [21] Reuschle, C.G., Tafeln komplexer Primzahlen, welche aus Wurzeln der Einheit gebildet sind, Berlin 1875. – [22] Bachmann, Niedere Zahlentheorie I, Leipzig 1902. – [23] Klein, Vorlesungen über Zahlentheorie I–II, Leipzig 1895–97. – [24] Wertheim, Anfangsgründe der Zahlentheorie, Braunschweig 1902. – [25] Bachmann, Grundlehren der neueren Zahlentheorie, Leipzig 1907. – [26] Sommer, J., Vorlesungen über Zahlentheorie, Leipzig 1907.

Wölffing.


  1. zahlen—zahlen translation zahlen v pay make payment...Deutsch-Englisch Worterbuch gesetz
  2. zahlen—zahlen bersetzung s. bezahlen....Kleines deutsch-lateinisches Handworterbuch
  3. zählen—zhlen bersetzung numerarei die Zahlen aufsagen numerum inirei eine Zhlung vornehmen. valerei gelten z.B. pro duobusi od. pro duabus.i etwas zhlen alqd numerarei im all...Kleines deutsch-lateinisches Handworterbuch
  4. zählen—zhlen bersetzung abzhlen wichtig sein von Belang sein bauen auf vertrauen sich verlassen auf zahlenstrong [tsaln] . ampLTtr.u hat a einen Geldbetrag als Gegenleistung g...Universal-Lexicon
  5. zahlen—zahlen bersetzunglhnen umgangssprachlich Geld in die Hand nehmen umgangssprachlich blechen umgangssprachlich hinblttern umgangssprachlich bezahlen abdrcken umgangssprachl...Universal-Lexicon
  6. zählen—.strong vt считать подсчитывать высчитывать отсчитывать die Stimmzettel zhlen производить подсчт бюллетеней голосов на выборахwir zhlen идт годdie Stunden zhlen с ...Большой немецко-русский и русско-немецкий словарь
  7. zahlen—.strong vt fr Aem платить уплачивать за чтол.em оплачивать выплачивать eine Rechnung zahlen уплатить по счтуeinen hohen Preis fr etw. A zahlen уплатить за чтол. большую...Большой немецко-русский и русско-немецкий словарь
  8. zählen—zhlen Istrong vt .strong считаstrongть sestrongine Tastrongge sind gez егоstrong дни сочтены bei ihm kann man die Ristrongppen z разг. у негоstrong все рstrongбра видны...Большой немецко-русский словарь
  9. zahlen—zahlenstrong vt платиstrongть bistrongtte zahlenu! рассчитаstrongйтесь со мной пожаstrongлуйста! прошуstrong счт! в ресторанеem in Rastrongten zahlenu платиstrongть в р...Большой немецко-русский словарь
  10. zählen—nсчет подсчет...Немецко-русский математический словарь
  11. zählen—считать...Немецко-русский математический словарь
  12. zahlen—fu pl...Немецко-русский математический словарь
  13. zählen—n счт подсчт счисление...Немецко-русский политехнический словарь
  14. zahlen—f plu teilerfremde Zahlen...Немецко-русский политехнический словарь