ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ РАССЕЯНИЯ МЕТОД
- метод исследования нек-рыхнелинейных уравнений математическойфизики.Введён К. Гарднером (С. S. Gardner), Дж. Грином (J. М. Greene),М. Крускалом (М. D. Kruskal) и Р. Миурой (R. М. Miura) в 1967, хотя отд. Беклунда преобразование). Основанна представлении исследуемого нелинейного ур-ния в виде условия совместностидля системы линейных ур-ний. Первонач. вариант метода, использующий теориюрассеяния для дифференц. операторов (отсюда назв. метода), был применёнкКортевега - де Фриса уравнению
к-рое является условием совместности переопределённойлинейной системы ур-ний
и эквивалентно операторному соотношению(представлению Лакса)
Ур-ние (2) - стационарное одномерноеШрёдингерауравнениес потенциаломи(х, t),зависящим от времениtкакот параметра [предполагаем, чтои(х, t)достаточно быстро убываетпри ].
Основные понятия. Волновые ф-ции соответствующие непрерывному спектру оператора определим асимптотич. выражениями
Из представления (4) следуют соотношения
Ф-ция имеет смысл амплитуды рассеяния назад, ф-ция - амплитуды рассеяния вперёд.Ф-ция аналитична и имеет на верх. мнимой полуоси конечное число нулей определяющих дискретный спектр оператора Шрёдингера Положение нулей не зависит от времени. Собств. ф-ции дискретного спектра определим нормировкой при тогда прих--> -Из ф-л (5) следует, что
Рассмотрим интегральное уравнение Гельфанда- Левитана - Марченко для ф-цииК (х,z), позволяющей решить обратнуюзадачу рассеяния:
здесь
При помощи ф-лыи(х)=2dK(x,x)/dxможно восстановить потенциал в ур-нии Шрёдингера (2) по наборут. н. данных рассеяния, т. е. величинсп.При физически очевидных предположенияхМ2nэта задача однозначно разрешима.
Вместо данных рассеяния можно говоритьо функции
О. з. р. м. основан на соотношениях (5),(6), определяющих зависимость данных рассеяния от времени и позволяющихрешать задачу Коши для ур-ния (1) по схеме
На I этапе решается прямая задача рассеяния, При ур-ние (7) сводится к системеNлинейных алгебраич. ур-ний и егорешение выражается в элементарных ф-циях. Это решение описывает взаимодействие.уединённых волн (солитонов)и наз.N-солитонным. Прилюбомtпрофили.N-солитонных решений представляют собойпо отношению к ур-нию Шрёдингера безотражат. потенциалы (потенциалы Баргмана),на к-рых не происходит отражения назад.
Описанный вариант О. з. р. м. можно рассматриватькак нелинейный аналог метода разделения переменных при решении задачи Кошидля линейных эволюц. ур-ний (напр.,диффузии уравнения).Этот вариантметода можно использовать также для решений ур-ния Кортевега - де Фриса, п запрещённых зон (см., напр.,Бриллюэна зона).Простейший из них (однозонный потенциал) выражаетсячерез эллиптические функции и описывает частное решение ур-ния (1) - стационарнуюпериодич. волну. Общее решение (n-зонный потенциал) описывает взаимодействиептаких волн. Сn-зонными потенциалами связаны -функцииЯкоби, при помощи к-рых можно записать и решения линейной системы (2),(3) - функции Блоха.
Применение метода. Описанная схема применимак разл. нелинейным дифференц. и интегро-дифференц. ур-ниям, представимымв виде
Здесь - произвольная рациональная ф-ция переменной а - т.
[для ур-ния Кортевега - де Фриса ]. В частном случае ур-ния (8) (т. н. высшие ур-ния Кортевега - де Фриса) являются дифференциальнымии имеют порядок (2т+ 1). Ур-ния (8) являются условиями совместностилинейной системы ур-ний, к-рая отличается от системы (2), (3) видом оператора .Если - полином по переменной то -дифференц. оператор.
Все ур-ния (8) имеютn-солитонныеи конечнозонные решения. Каждое из ур-ний (8) имеет бесконечное число интеграловдвижения. В качестве интеграла можно взять любой функционал от сохраняющейсяф-ции Интегралы вида
можно выразить через ф-циюии еёпроизводные пох,напр.:
Все ур-ния (8) являютсягамильтоновымисистемами.Однако гамильтонова структура задаётся для них неоднозначно. между функционалами от ф-циии.Кроме обычной скобки Пуассона
можно ввести след, скобку Пуассона
Здесь - произвольная рациональная ф-ция переменной
Любая из скобок Пуассона между любымидвумя интегралами движения равна 0. Этот факт тесно связан со свойствомполной интегрируемости: нелинейное ур-ние в частных производных (8) распадаетсяна бесконечную систему обыкновенных дифференц. ур-ний.
Дальнейшее расширение класса ур-ний, кк-рым применим О. з. р. м., связано с др. выбором оператора В качестве можно взять оператор 3-го или более высокого порядка. С каждым оператором связаны свой рекурсионный оператор и своя бесконечная серия ур-ний вида(8). Лишь нек-рые из этих ур-ний имеют физ. применения. Так, оператор 3-гопорядка позволяет исследовать возникающее в теории нелинейных волн ур-ниеБуссинеска
utt+uxx+ихххх+ (u2)хх=0.
В качестве оператора можновзять разностные операторы, что позволяет применить О. з. р. м. к дифференциально-разностнымур-ниям, среди к-рых особенно интересны ур-ние Вольтерры
встречающееся в матем. биофизике и теорииплазменной турбулентности, а также ур-ние для цепочки. Тода
описывающее нелинейную модель одномерногокристалла. Оператор может быть сингулярным интегральным оператором, такие операторы возникаютв краевых задачах теории аналитич. ф-ций. Их можно использовать для изучениянелинейных ур-ний, возникающих в теории внутр. волн. Оператор может быть матричным. Так, для применения О. з. р. м. кШрёдингера уравнениюнелинейномунужно подставить в ур-ние (2) вместо оператора одномерный оператор Дирака (см.Дирака уравнение).При изученииважной для нелинейной оптики задачи о резонансном взаимодействии системытрёх волн с помощью О. з. р. м. в качестве следует использовать обобщение оператора Дирака.
Обобщения метода. Описанная схема О. з. может описываться рациональными или эллиптич. ф-циями и даже дифференц. Условия совместности линейной системы образуют разнообразный набор нелинейныхур-ний, имеющих, вообще говоря, переменные коэффициенты. Многие из этихур-ний находят применение в физике, напр. в нелинейной оптике, теории ферромагнетизмаи общей теории относительности. Для отыскания солитонных решений этих ур-нийразвиты простые методы, основанные на свойствах аналитич. ф-ций.
Существует неск. вариантов обобщения О. Кадомцева-Петвиашвили уравнениеи ур-ниедуальности дляЯнга - Миллса полей.Теория таких ур-ний не завершена.
Развитие О. з. р. м. позволило по-новомувзглянуть на теорию конечномерных интегрируемых систем. В О. з. р. м. можновключить почти все известные системы такого рода. О. з. р. м. стимулировалисследования в разл. областях математики (спектральная теория дифференц.Лит.:Теория солитонов. Метод обратнойзадачи, М., 1980; Лэм Дж., Введение в теорию солитонов, пер. с англ., М.,1983; Абловиц М., Сигур X., Солитоны и метод обратной задачи, пер. с англ.,М., 1987.
В.Е. Захаров.
Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия.Главный редактор А. М. Прохоров.1988.