Физическая энциклопедия

ОБОБЩЁННАЯ ФУНКЦИЯ

- матем. понятие, О. ф. были введены впервые в кон. 20-хгг. 20 в. П. Дираком (P.A.M. Dirac) в его исследованиях по квантовой механике. Основные определения. Формально О. ф.fопределяют как линейный непрерывный функционал над тем или иным векторнымпространством достаточно "хороших" (основных) ф-ций Важным примером основного пространства является пространствоD(O)бесконечнодифференцируемых финитных в открытом множестве ф-ций Наим.замкнутое множество, вне к-рого наз. носителем Последовательность сходится к ф-ции вD(О),если носители ф-ций содержатсяв нек-ром ограниченном замкнутом подмножествеОи любая производнаяф-ций сходитсяпри равномерно похк соответствующей производной ф-ции
Примером основной ф-ции из служит "шапочка"

СоответствующееD(O)пространствоО. ф. обозначаютD'(O);Сходимостьпоследовательности О. ф. изD'(0)определяют как слабую сходимостьфункционалов вD'(О),т. е.fk- > 0,вD'(O)означает, что для всех
Для того чтобы линейный фунционалfнаD(O)был О. ф. в О, т. е.необходимо и достаточно, чтобы для любого открытого множества существовали числаКиттакие, что

где означает верх. грань модуля и её производных порядка

Если в неравенстве (1) целое число.независит отО', то О. ф.fимеет конечный порядок; наименьшеетакоетназ. порядкомfвО.Т. о., в силу (1) всякаяО. ф.fизD'(O)имеет конечный порядок в любомО.

ПространствоD'(O) -полное: еслипоследовательность О. ф.fk,k =1, 2, ..., изD'(O)такова, числовая последовательность сходится, то функционал принадлежитD'(O).
Простейшими примерами О. ф. являются функционалы, О ф-циями:

О. ф., определяемые локально интегрируемымивОф-циямпf(x)по ф-ле (2), наз. регулярными О. ф. вО;остальныеО. ф. наз. сингулярными.
Примером сингулярной О. ф. в служитдельта-функцияДирака,Она описывает плотность массы 1, сосредоточенной в точкех =0.При этом "шапочка"аппроксимирует -функцию,вD'.Пусть и -"шапочка". Тогда ф-ция наз.регуляризациейО. ф.fи вD'(О).Более того, всякаяfизD'(O)есть слабый пределф-ций изD(O).Последнее свойство иногда берут в качестве исходногодля определения О. ф., что вместе с теоремой о полноте пространства О. О. ф., вообще говоря, не имеют значенийв отд. точках. Тем не менее можно говорить о совпадении О. ф. с локальноинтегрируемой ф-цией на открытом множестве: О. ф..изD'(O)совпадаетвО'Ослокальноинтегрируемой вО'ф-циейf0(х), если еёсужение наО'естьf0, т. е. в соответствии с(2)

для всех при этом считаетсяf=f0(x),В частности, приf00 получается определение того, что О. ф.fобращается в нуль вО'.МножествоточекО,ни в какой окрестности к-рых О. ф.fне обращаетсяв нуль, наз. носителем О. ф.fи обозначается suppf. Еслиsupp то О. О.
Справедлива теорема о кусочном склеиванииО. ф.: пусть в окрестностиUyОкаждойточкиузадана О. ф.fyизD'(Uy),причёмэлементыfусогласованы, т. е.fy1= fy2втогда существует О. ф.fизD'(О),совпадающая сfyвUупривсеху 0.
Напр., для -функцииДирака: supp={0}. О. ф.определяемая равенством

наз.главным значением интегралаотф-ции 1/х;suppО. ф.сингулярна в однако на открытом множествех0она регулярна и совпадает с1/х.

Поверхностная -функция. ПустьS -кусочно гладкая поверхность и - непрерывная ф-ция наS.О. определяется равенством

При этом внеS,- сингулярная О. ф. Эта О. ф. описывает пространств. плотность масс илизарядов, сосредоточенных на поверхностиS споверхностной плотностью (плотность простого слоя).
Линейные операции над О. ф. вводят какрасширение соответствующих операций над основными ф-циями.
Замена переменных. ПустьfD'(O)их= Ау+ b -линейное преобразованиеОнаOldetA0. О. ф.f(Ay+b)изD'(О')определяют равенством

В частности, если (.=- подобие), то еслиА - I(х=у+b- сдвиг наb),то Ф-ла (3) позволяет определить трансляционно инвариантные, сферически симметричные, Пусть непрерывно дифференцируемая ф-цияаимеет только простые нули х1,x2,... на оси Ф-цию (а(х))определяютравенством

Напр.,

Произведение. ПустьfD'(0)и произведение аf=fа определяют равенством

Оказывается, чтоafD'(0)идля обычных ф-ций произведение аfсовпадает с обычным умножениемф-цийf(x)иа(х).Напр.,
Однако эта операция произведения не допускаетраспространения на любые О. ф. так, чтобы она была ассоциативной и коммутативной. Дифференцирование. ПустьfD'(O).Обобщённуюпроизводную О. ф.f

порядка определяют равенством

Т. к. операция линейна и непрерывна, то функционал определяемый правой частью равенства (4), есть О. ф. изD'(O).
Имеют место след. свойства: операция линейна и непрерывна, любая О. ф. изD'(O)бесконечно дифференцируема(в обобщённом смысле); дифференцирование не зависит от порядка; справедливаф-ла Лейбница для дифференцирования произведения аf, где дифференцирование не увеличивает носителя; всякая О. ф.fизD'(О)вовсяком открытом множествеО'Оестьнек-рая производная от непрерывной ф-ции вО';любое дифференц. Lu=f,fD'(О)спост. коэф. разрешимо вD'(O);любая О. ф.fпорядкаNсносителем в точке 0 единств, образом представима в виде

Напр.,где - ф-ция Хевисайда:<=0;.<0;

ф-ция -описывает плотность зарядов, соответствующую диполю момента, равного +1в точкех= О и ориентированного вдоль положительного направленияосих.

Обобщением является нормальная производная от плотности простого слоя на ориентируемойповерхностиS:

О. ф. -описывает пространств. плотность зарядов, соответствующих распределениюдиполей на поверхностиSс поверхностной плотностью момента и ориентированных вдоль заданного направления нормалиnна.(плотностьдвойного слоя).
Общее решение ур-нияхи =О в классе естьи(х) =k = 0,1, ...,m- 1. Тригонометрич. ряд

сходится вD', и его можно дифференцироватьвD'почленно любое конечное число раз;

Прямое произведение. Пустьf(x)иg(y)-локально интегрируемые ф-ции в пространствах и соответственно. f(x )хg(y) локально интегрируема в она определяет регулярную О. ф.

наз. прямым произведениемfиg.Ф-ла(5) служит основой для определения прямого произведения О. ф.f(x)из иg(y)из Прямое произведение коммутативно и ассоциативно. Напр.,

Свёртка.Еслиf(x)иg(x)локальноинтегрируемы в и ф-ция также локально интегрируема в то свёрткойf*gназ. ф-ция

Эта ф-ция локально интегрируема в и определяет регулярную О. ф.:

Свёртка заведомо существует, если однаиз ф-цийfилиgфинитна. Если свёртка существует, то онакоммутативна:f*g = g * f; справедливы ф-лы дифференцированиясвёртки:

Если учесть, что получим
Свёртка, вообще говоря, не ассоциативна. D'+ О. ф. изD'(),обращающихся в нуль прих< 0, то их свёртка существует и ассоциативна.
О. ф.изD'наз. фундаментальным решением (ф-цией точечного источника)дифференц. оператораL(д)с пост. коэффициентами, если она удовлетворяетур-нию

Зная фундам. решение оператораL(д),можно построить решение ур-нияL(d)u = fдля техfизD', для к-рых свёрткаf*существует, Напр., для ур-ния

п= 2;п = 3

(см. такжеГрина функция).

Преобразование Фурьеопределяютдля класса О. ф.S' = S'()медленного роста. Пространство основных ф-цийS=S()состоитиз ф-ций, убывающих на бесконечности вместе со всеми производными быстреелюбой степени| х |-1.Норма вSзадаётся выражением

Локально интегрируемые в ф-ции медленного роста содержатся вS',определяя по ф-ле (2) регулярныефункционалы наS.Всякая О. ф. изS'есть нек-рая производнаяот непрерывной ф-ции медленного роста и, стало быть, имеет конечный порядокв
Преобразование Фурье.[f]О. f изS'определяется равенством

где классич. преобразование Фурье. Обратная операция кF:

Основные ф-лы дляfS':

если g финитна. Если О. ф.f- периодическаяс периодомТ =(Т1, ...,Тп), TjfS'иеё можно разложить в тригонометрич. ряд

сходящийся кfвS';здесь

Напр.,в частностиF[1]=в частности
Преобразование Лапласа в одномерном случае.ПустьS'+- пересечение множествS'и D'+, тогда множество О. ф. изD'+, таких, что при всеха, обозначаютD'+(a).Еслиfи то причём (f* g)exp( -х)=/ехр( -х)*gexp ( -х),а.
ПустьfD'+(a),тогда преобразование Лапласаfесть

Lf(p) -аналитич.а.Ф-циюf(x)наз. оригиналом, ф-циюLf(p)-изображением, между ними имеется взаимно однозначное соответствиеf(x)Lf(p),Обратное преобразование определяют равенством

Справедливы след. ф-лы:

Напр.,

р-любое,m= 0,1,...

Лит.:Гельфанд И. М., Шилов Г. Е.,Обобщенные функции, в. 1 - 3, М., 1958; Дирак П. А. М., Принципы квантовоймеханики, пер. с англ., 2 изд., М., 1979; Шварц Л., Математические методыдля физических наук, пер. с франц., М., 1965; Владимиров В. С., Уравненияматематической физики, 5 изд., М., 1988; его ж е, Обобщенные функции сматематической физике 2 изд., М., 1979; Антосик П., Микусинский Я. СикорскийР., Теория обобщенных функций. Секвенциальный подход, пер. с англ., М.,1976; Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики, пер. с англ. Т., Общиепринципы квантовой теории поля, М., 1987.

В. С. Владимиров.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия.Главный редактор А. М. Прохоров.1988.


  1. обобщённая функция—матем. понятие обобщающее классич. понятие функции дат возможность выразить в математически корректной форме такие идеализир. понятия как плотность материальной точки инт...Большой энциклопедический политехнический словарь
  2. обобщенная функция—математическое понятие обобщающее классическоепонятие функции дает возможность выразить в математически корректнойформе такие идеализированные понятия как плотность матер...Большой энциклопедический словарь II
  3. обобщенная функция—ОБОБЩЕННАЯ ФУНКЦИЯ математическое понятие обобщающее классическое понятие функции дает возможность выразить в математически корректной форме такие идеализированные поняти...Большой энциклопедический словарь III
  4. обобщенная функция—ОБОБЩЕННАЯ функция математическое понятие обобщающее классическое понятие функции дает возможность выразить в математически корректной форме такие идеализированные понят...Большой Энциклопедический словарь V
  5. обобщённая функция—матем. понятие обобщающее классич. понятие функции дат возможность выразить в математически корректной форме такие идеализир. понятия как плотность материальной точки инт...Естествознание. Энциклопедический словарь
  6. обобщенная функция—математическое понятие обобщающее классич. понятие функции. Потребность в таком обобщении возникает во многих технич. физич. и математич. задачах. Понятие О. ф. дает возм...Математическая энциклопедия
  7. обобщенная функция—generalised function...Русско-английский морской словарь
  8. обобщенная функция—generalized function generalized function...Русско-английский политехнический словарь
  9. обобщенная функция—generalised function generalized function...Русско-английский словарь по машиностроению
  10. обобщённая функция—generalized function...Русско-английский словарь по физике
  11. обобщенная функция—generalized function...Русско-английский словарь по электронике
  12. обобщенная функция—distribution generalized function...Русско-английский технический словарь
  13. обобщенная функция—абагульненая функцыя...Русско-белорусский математический словарь
  14. обобщённая функция—funzione generalizzata...Русско-итальянский политехнический словарь
  15. обобщённая функция—узагальнена функця...Русско-украинский политехнический словарь
  16. обобщенная функция—ОБОБЩЕННАЯ ФУНКЦИЯ математическое понятие обобщающее классическое понятие функции дает возможность выразить в математически корректной форме такие идеализированные поняти...Современный энциклопедический словарь
  17. обобщенная функция—ОБОБЩЕННАЯ ФУНКЦИЯ математическое понятие обобщающее классическое понятие функции дает возможность выразить в математически корректной форме такие идеализированные понят...Энциклопедический словарь естествознания