КВАНТОР

КВАНТОР: — логический оператор, с помощью которого высказывание о к.-л. отдельном объекте преобразуется в высказывание о совокупности (множестве) таких объектов.
В логике используется два основных К.: К. общности, «V», и К. существования, «Э». В естественном языке отдаленными смысловыми аналогами К. общности являются слова «все», «любой», «каждый»; смысловыми аналогами К. существования — слова «некоторые», «существует». С помощью данных К. любое атрибутивное высказывание вида Р(х) о том, что объекту х присуще свойство Р, может быть преобразовано в соответствующее кванторное высказывание вида VхР(х) и вида ЗхР(х). Содержательно сама кванторная формула «VxP(x)» читается как «для всех х имеет место Р(х)», а формула «ЭхР(х)» — как «для некоторых х имеет место Р(х)». Высказывание вида VxP(x) истинно, если любой х обладает свойством Р; и ложно, если хотя бы один х не обладает свойством Р. Аналогичным образом, высказывание вида ЗхР(х) истинно, если хотя бы один х обладает свойством Р; и ложно, если ни один х не обладает свойством Р.
На основе элементарных кванторных формул «VxP(x)», «ЭхР(х)» могут быть построены др., более сложные кванторные формулы. Логические взаимосвязи между такими формулами изучаются в логике предикатов. В частности, формула «ЗхР(х)» логически эквивалентна формуле «) VxКВАНТОР| P(x)», а формула «VхР(х)» эквивалентна формуле «) Эх) Р(х)», где «)» — знак отрицания.
В неявной форме К. использовались уже Аристотелем, однако в строгом содержательном и формальном смысле они впервые были введены в логику Г.Фреге.

КВАНТОР: (отлат.quantum — сколько), оператор логики предикатов, применение крого к формулам, содержащим лишь одну свободную переменную, даёт предложение(высказывание). Различают К. общности, обозначаемый символом(отангл.all — все), и К. существования(от exist — существовать): хР(х)интерпретируется(см.Интерпретация)как «для всех х имеет место свойство Р», а хР(х)— как «существует х такой, что имеет место свойство ?(х)». Если предметная область(универсум)конечна, то хР(х)равносильно конъюнкции всех формул Р(а), где а — элемент предметной области. Аналогично, хР(х)равносильно дизъюнкции всех формул вида ?(а). Если же предметная область бесконечна, то xP(x)и хР(х)могут быть истолкованы соответственно как бесконечные конъюнкция и дизъюнкция. Введение К. в логике многоместных предикатов(т. е.неодноместных)обусловливает неразрешимость исчисления предикатов. Различные соотношения между К. общности и существования и логическими связками логики высказываний формализуются в исчислении предикатов.
см. к ст. Логика предикатов.

КВАНТОР: (от лат. quantum - сколько) - логич. оператор, применяемый к логич. выражениям и дающий количеств. характеристику области предметов (а иногда и области предикатов), к к-рой относится получаемое в результате применения К. выражение. В то время как логич. средств логики высказываний недостаточно для выражения форм всеобщих, частных и единичных суждений, в логике предикатов, получаемой посредством расширения логики высказываний за счет введения К., такие суждения выразимы. Так, напр., четыре осн. формы суждений традиц. логики "Все А суть В", "Ни одно А не есть В", "Нек-рые А суть В" и "Нек-рые А не суть В" могут быть записаны (если отвлечься от предполагаемого аристотелевой логикой требования непустоты А в общих суждениях) при помощи поясняемой ниже символики следующим образом: ∀(х) (А (х) ⊃ В (х)), ∀(х) (А (х) ⊃ В(x)), ∃(х) (А (х) & В (х)) и ∃ (х) (А (х) & B (x)). Введение К. дает возможность записывать на формализованном логич. языке выражения естеств. языка, содержащие количест. характеристики к.-л. предметных или предикатных областей. В естеств. языках носителями таких характеристик являются т. н. кванторные слова, к числу к-рых относятся, в частности, количеств. числительные, местоимения "все", "каждый", "нек-рый", глагол "существует", прилагательные "любой", "всякий", "единственный", наречия "бесконечно много" и т.п. Оказывается, что для выражения всех упомянутых кванторных слов в формализ. языках и логич. исчислениях достаточно двух наиболее употребит. К.: К. общности (или в с е о б щ н о с т и), обозначаемого обычно символом ∀(перевернутая буква А – начальная буква англ. слова "all", нем. "alle" и др.), и К. с у щ е с т в о в а н и я, обозначаемого обычно символом ∃ (перевернутая буква E – начальная буква англ. слова "exist", нем. "existieren" и др.); за знаками ∀ и ∃ в обозначении К. следует буква нек-рого алфавита, называемая кванторной переменной, к-рую рассматривают обычно как часть обозначения К.: ∀х, ∀у, ∀F, ∃х, ∃α и т.п. Для К. общности употребляют также обозначения:
для К. существования:
Знак К. ставится перед выражением, к к-рому применяется К. (операцию применения К. часто называют квантификацией); это выражение заключается в скобки (к-рые часто опускают, если это не приводит к двусмысленности). Содержащее К. общности выражение ∀x (А (х)) читается как "Для всех x верно, что А (х)", или "Для каждого x верно А (х)"; содержащее К. существования выражение ∃х (А(х)) читается как "Существует x такой, что А (х)", или "Для нек-рого x верно А(х)". В обоих этих случаях не предполагается, вообще говоря, что выражение A (х) в действительности зависит от переменной x (оно может и вообще не содержать никаких переменных, т.е. может обозначать нек-рое высказывание; в этом случае квантификация не меняет смысла этого высказывания). Однако осн. назначение К. - образование высказываний из выражения, зависящего от кванторной переменной, или хотя бы уменьшение числа переменных, от к-рых это выражение, будучи незамкнутой (открытой) формулой (см. Замкнутая формула), зависит. Напр., выражение (y>0&z>0&x=у-z) содержит три переменные (х, y и z) и становится высказыванием (истинным или ложным) при к.-л. опред. замещении этих переменных именами нек-рых предметов из области их значений. Выражение ∃ z(y>0&z>0&x = y-z) зависит уже лишь от двух переменных (х и у), a ∃y∃z (y>0&z>0& &х = у –z) - от одной х. Последняя формула выражает, т.о., нек-рое свойство (одноместный предикат). Наконец, формула ∃х∃у∃z (y>0&z>0&x=y–z) выражает вполне опред. высказывание.
Др. примеры формул, содержащих К.: 1) ∀х(х>0); 2) ∃х(х>0); 3) ∀х (2+2=5); 4) ∃x (2+2=4); 5) ∀х (х = х)& (х+2=у); 6) ∀х∃у (∀z (x = z⊃x ≠ 0) & (x<5⊃x<6)). Формула 6) не содержит переменной у, формулы 3) и 4) вообще не содержат переменных. Часть формулы, на к-рую распространяется действие к.-л. К., наз. областью действия этого К. Так, в формуле 6) областями действия К. ∀х и ∃y являются стоящие справа от них части формулы, а область действия К. ∀z - формула (x = z⊃x ≠ 0). Вхождение к.-л. переменной в знак К. или в область действия К., содержащего эту переменную, наз. связанным вхождением переменной в формулу. В остальных случаях вхождение переменной наз. с в о б о д н ы м. Одна и та же переменная может входить в к.-л. формулу в одном месте в связанном виде, а в др. месте – в свободном. Такова, напр., формула 5): первые три (считая слева) вхождения в нее переменной x – связанные, последнее же – свободное. Иногда говорят, что переменная связана в данной формуле, если все ее вхождения в эту формулу – связанные. В математике и логике всякое выражение, содержащее свободную переменную, может рассматриваться (при неформальном подходе) как ее функция в том обычном смысле этого слова, что оно (выражение) зависит от различных значений этой переменной; придавая этой переменной различные значения (т. е. замещая все ее свободные вхождения именем к.-л. предмета, принадлежащего к области значений этой переменной), мы получаем различные (вообще говоря) значения данного выражения, зависящие от значения переменной, т.е. от подставленной вместо нее константы. Что же касается связанных переменных, то заключающие их выражения в действительности от них не зависят. Напр., выражение ∃х(х = 2у), зависящее от у (входящего в него свободно), эквивалентно выражениям ∃z(z = 2y), ∃u(u = 2у) и т.п. Эта независимость логич. выражений от входящих в них связанных переменных находит отражение в т. н. правиле переименования с в я з а н н ы х п е р е м е н н ы х, постулируемом или выводимом в разл. логич. исчислениях (см. Переменная, Предикатов исчисление).
Изложенное выше истолкование смысла К. относилось к с о д е р ж а т е л ь н ы м логич. теориям. Что же касается исчислений в собств. смысле (т.н. формальных систем), то в них вообще не имеет смысла говорить о "значении" того или иного К., являющегося здесь просто нек-рым символом исчисления. Вопрос о значении (смысле) К. относится целиком к области интерпретации исчисления. В применении к К. можно говорить по крайней мере о трех интерпретациях: классической, интуиционистской и конструктивной, соответствующих различным концепциям существования и всеобщности в логике и математике (см. Интуиционизм, Конструктивная логика). Как в классич., так и в интуиционистском (конструктивном) исчислении предикатов способы вывода в случаях, когда исходные или доказываемые формулы содержат К., описываются одними и теми же т. н. постулатами квантификации, напр. постулатами Бернайса.
К. общности и существования не исчерпываются употребительные в логике виды К. Обширный класс К. представляют собой т. н. ограниченные К. вида ∀хP(x)А(х) или ∃xQ(x)A(x), в к-рых область изменения кванторной переменной x "ограничена" нек-рым спец. предикатом Р(х) (или Q(x)). Ограниченные К. сводятся к К. общности и существования при помощи след. эквивалентностей: ∀xP(x)A(x) КВАНТОР∀x(P(x) ⊃A(x)) и ∃xQ(x)A(x) КВАНТОР ∃x(Q(x)&A(x)). Часто употребляемый К. единственности ∃!хА(х) ("существует единственное x такое, что А(х)") также выражается через К. общности и существования, напр. так: xA(x) КВАНТОР ∃xA(x)& ∀y∀z(A(y)&A(z)⊃y=z).
Употребительны и др. виды К., не покрываемые понятием ограниченного К. Таковы "числовые" К. вида ∃хnА(х) ("существует в точности n различных x таких, что А(х)"), употребляемый в интуиционистской логике К. "квазисуществования" ∃ хА(х), или ("неверно, что не существует такого х, что А(х)"); с т. зр. классич. логики К. "квазисуществования" ничем не отличается от К. существования, в интуиционистской же логике предложение ∃xA(x), ничего не говорящее о существовании алгоритма для нахождения такого х, что А(х), действительно утверждает лишь "квази"существование такого x и К. бесконечности ∃x∞A(x) ("существует бесконечно много таких х, что А(х)"). Выражения, содержащие К. бесконечности и числовые К., также могут быть записаны при помощи К. общности и существования. В расширенном исчислении предикатов К. берутся не только по предметным, но и по предикатным переменным, т.е. рассматриваются формулы вида ∃F∀xF(x), ∀Ф∃у(Ф(y)) и т.п.
Лит.:Гильберт Д. и Аккерман В., Основы теоретической логики, пер. с англ., М., 1947, с. 81-108; Тарский А., Введение в логику и методологию дедуктивных наук, пер. с англ., М., 1948, о. 36-42, 100-102, 120-23; Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957, с. 72-80, 130-38; Чёрч Α., Введение в математическую логику, пер. с англ., т. 1, с. 42–48; Кузнецов А. В., Логические контуры алгоритма, перевода со стандартизованного русского языка на информационно-логический, в сб.: Тезисы докладов на конференции по обработке информации, машинному переводу и автоматическому чтению текста, М., 1961; Mostowski A., On a generalization of quantifiers, "Fundam. math.", 1957, t. 44, No 1, p. 12–36; Hailperin T., A theory of restricted quantification, I–II, "J. Symb. Logic", 1957, v. 22, No 1, p. 19–35, No 2, p. 113–29.
Ю. Гастев. Москва.

Синонимы:

оператор

квантор—от лат. quantum сколько логическая операция дающая количественную характеристику области предметов к которой относится выражение получаемое в результате е применения. В ...Большая Советская энциклопедия II
квантор—сущ. муж. рода...Большой русско-украинский словарь
квантор—мен. чол. роду...Большой украинско-русский словарь
квантор—а ч.i лог.i Логчний оператор який переводить одну висловлювальну форму в ншу. Квантор снуванняi....Великий тлумачний словник (ВТС) сучасної української мови
квантор—общее название для логических операций крые по предикату Рхстроят высказывание характеризующее область истинности предиката Рх.i В математич. логике наиболее употребитель...Математическая энциклопедия
квантор—корень КВАНТОР нулевое окончаниеОснова слова КВАНТОРВычисленный способ образования слова Бессуфиксальный или другой КВАНТОР Слово Квантор содержит следующие морфемы или...Морфемный разбор слова по составу
квантор—Начальная форма Квантор винительный падеж единственное число мужской род неодушевленное...Морфологический разбор существительных
квантор—от лат. quantum сколько символ используемый для обозначения некоторых операций математической логики одновременно логическая операция дающая количественную характеристи...Начала современного естествознания
квантор—квантор квантор а...Орфографический словарь
квантор—u мu мн.u кванторы Р.u кванторов оператор...Орфографический словарь русского языка
квантор—квантор менник чоловчого роду...Орфографічний словник української мови
квантор—квантор...Орысша-қазақша «Математика» терминологиялық сөздік
квантор—math...Политехнический русско-французский словарь
квантор—Орфографическая запись слова квантор Ударение в слове квантор Деление слова на слоги перенос слова квантор Фонетическая транскрипция слова квантор [гвантар] Характеристи...Полный фонетический разбор слов
квантор—квантор...Російсько-український словник логіки
квантор—квантор аСинонимы оператор...Русский орфографический словарь
квантор—quantifier квантор м.u мат.uquantifierнавешивать кванторы quantifyквантор общности generality [universal] quantifierограниченный квантор bounded quantifierквантор сущ...Русско-английский политехнический словарь
квантор—m.quantor quantifierСинонимы оператор...Русско-английский словарь математических терминов
квантор—applicative quantifier...Русско-английский словарь по электронике
квантор—quantifier quantor квантор общности квантор существования навешивать квантор ограниченный кванторСинонимы оператор...Русско-английский технический словарь
квантор—квантар...Русско-белорусский математический словарь
квантор—м. матем. quantificatore m квантор общности квантор существования...Русско-итальянский политехнический словарь
квантор—квантор...Русско-казахский терминологический словарь «Философия и политология»
квантор—Синонимы оператор...Русско-китайский словарь
квантор—Quantifikation Quantor...Русско-немецкий политехнический словарь
квантор—вчт матем. квантор квантор всеобщности квантор существования ограниченный квантор Синонимы оператор...Русско-украинский политехнический словарь
квантор—kvantifiktor...Русско-чешский словарь
квантор—Kvantor...Русско-эстонский словарь
квантор—квантор а р. мн.em овСинонимы оператор...Русское словесное ударение
квантор—квантор лат.em quantum сколько символ математической логики логическая операция дающая количественную характеристику области предметов к которым относится выражение получ...Словарь иностранных слов русского языка
квантор—квантор сущ. колво синонимов оператор Словарь синонимов ASIS.В.Н. Тришин. . Синонимы оператор...Словарь синонимов II
квантор—квантор ч. лат. скльки логчний оператор який переводить одну висловлювальну форму в ншу....Словник іншомовних слів
квантор—квантор вд лат. quantum скльки логчний оператор який переводить одну висловлювальну форму в ншу....Словник іншомовних слів Мельничука
квантор—КВАНТОР а ч. лог. Загальна назва для логчних операцй що обмежують длянку стинност якогонебудь предиката створюють висловлення.Розрзняють квантор загальност та квантор сн...Словник української мови у 20 томах
квантор—квантор [...Толковый словарь иностранных слов
квантор—а ч. лог. Логчний оператор який переводить одну висловлювальну форму в ншу. Квантор снуванняem....Толковый словарь украинского языка
квантор—Ударение в слове кванторУдарение падает на букву аБезударные гласные в слове квантор...Ударение и правописание
квантор—вчт матем. квантор...Украинско-русский политехнический словарь
квантор—лог....Українсько-англійський словник
квантор—Rzeczownik квантор m kwantyfikator m...Универсальный русско-польский словарь
квантор—Логчне поняття яке означа звороти для кожного хem к. загальний для певного хem к. снування логчними вдповдниками слв кожнийem певний...Універсальний словник-енциклопедія
квантор—Рнк Рвота Рао Рант Рано Рак Равно Отвар Отар Орт Орнат Орн Орка Орк Октан Октав Окат Ока Нтр Нто Нтв Нрав Нотка Нота Норка Нора Нок Натр Нато Наркот Нарко Нарк Накр Ктор ...Электронный словарь анаграмм русского языка