Энциклопедия эпистемологии и философии науки

ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ

ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ, пропозициональная логика— раздел символической логики, изучающий
сложные высказывания, образованные из простых, и их взаимоотношения. В отличие от логики предикатов, простые высказывания при этом выступают как целые образования, и их внутренняя структура не рассматривается, а учитывается лишь то, с помощью каких союзов и в каком порядке простые высказывания сочленяются в сложные. Под высказыванием понимается то, что выражается повествовательным предложением.
В естественном языке существует много способов образования сложных высказываний из простых. Мы выберем пять общеизвестных грамматических связок (союзов): «не», «и», «или», «если..., то» и «если и только если». Процесс символизации естественного языка средствами Л. в. состоит в следующем. Элементарные высказывания замещаются пропозициональными переменнымир, q,r,... с индексами или без них; указанные выше грамматические связки называются пропозициональными (логическими) связками и соответственно получили следующие обозначения и названия: -• (отрицание), л или & (конъюнкция), v (дизъюнкция), г> (импликация) и=(эквиваленция); и, наконец, используются скобки (,), для того чтобы можно было по-разному группировать высказывания и этим определять порядок выполнения операций. Отрицание является одноместной связкой, а остальные четыре — двухместные связки. Выражением языка Л. в. будем называть любую последовательность указанных выше символов. Некоторые из этих выражений являются правильно построенными. Такие выражения называются формулами, определение которых задается следующими Правилами, где буквы А,В...используются как метапеременные: 1) всякая пропозициональная переменная есть формула; 2) если А и В — формулы, то -тА,А л В, AVB,AZDB, A = Bтоже формулы; 3) никакие др. выражения не являются формулами. Таким образом, правила задают эффективный способ распознавания, является ли выражение Л. в. формулой.
Теперь сделаем два основных допущения, на которых основывается семантика классической Л. в. I. Каждое простое высказывание является или только истинным, или только ложным (принцип двузначности). «Истина» и «ложь» называются истинностными значениями высказывания и обозначаются соответственноИ и Л,или 1 и 0. II. Истинностное значение сложного высказывания определяется только истинностными значениями составляющих его простых высказываний (принцип экстенсиональности). Это Означает, что пропозициональные связки являются знаками истинностных функций. Возникает вопрос: какие истинностные функции соответствуют нашим связкам?
Удобным способом задания истинностных функций является табличный, где слева указываются все возможные приписывания значений аргументам (пропозициональным переменным), а справа — значения самой функции.
Опишем этот способ словесно. Если высказывание р истинно, то высказывание-<рложно; и наоборот: если->ристинно, тор ложно. Высказываниерлqистинно тогда и только тогда (т.т.т.), когда истинны оба высказыванияриq.Высказываниерvqложно т.т.т., когда ложны оба высказыванияриq.Высказываниерz>qложно, еслиристинно, aqложно; В остальных случаях высказываниерзqистинно. Высказываниер = qистинно т.т.т., когда оба высказыванияриqпринимают одинаковые значения.
Каждая формула определяет некоторую истинностную функцию, которая графически может быть представлена истинностной таблицей. При этом формула может быть такой, что на каждой строке она принимает только значение, равное И, или только значение, равное Л. В первом случае она называется тавтологией (тождественно истинным высказыванием), а во втором — противоречием (тождественно ложным высказыванием). В формальной логике тавтологии играют важную роль. Они служат для записи ее законов (см.Логический закон),т.к. тавтологии являются всегда истинными высказываниями только в силу своей символической формы, независимо от содержания входящих в них исходных высказываний. Легко установить, что формулы АзА, Аv - > А,-\Ал -iA) являются тавтологиями. Законы, выражаемые этими формулами называются соответственно законом тождества, законом исключенного третьего и законом непротиворечия.
Обратим внимание на исключительно важное свойство истинностных таблиц: они дают нам эффективную процедуру для решения вопроса о том, является ли данная пропозициональная формула тавтологией. Указанная процедура называется разрешающей процедурой, и отсюда следует, что развиваемая здесь Л. в. является разрешимой логикой (см.Разрешения проблема).Приведем некоторые общие факты о тавтологиях, настолько общие, что они называются правилами Л. в.
1. Правило отделения (modus ponens). Если А и A Z)Втавтологии, то В тавтология.
2. Правило подстановки. ЕслиА(р)есть тавтология, тоА(В)тоже тавтология, где В замещает каждое вхождениер,т.е. подстановка в тавтологию приводит к тавтологии. Уже отсюда следует, что имеется бесконечное множество тавтологий.
Отметим некоторые эквивалентности, указывающие на взаимовыразимость одних связок через другие:А л ВH-.(-,Av-iB),AvBH-,(-,AAnB),ADB = -.AvB,(A = B) = (АэВ)л(ВэА). Назовем систему пропозициональных связок М полной, если всякая истинностная функция представима некоторой формулой, в которую входят только связки из системыМ,т.е. посредством такой сиетемы можно выразить все истинностные функции. Тогда системы связок - i, л, v,-\л, - i, v и - >, з являются полными. Это значит, что мы можем строить Л. в., взяв в качестве исходной любую из указанных систем связок. Оказывается, полной может быть система, состоящая только из одной связки |, которая называется «штрих Шеффера»: высказываниеp\qистинно, когда неверно, что р и q оба истинны. Достаточность связки | следует из тавтологий -A = А|А,AvB = (A\A)\ (B\B).
Наряду с понятием тавтологии фундаментальным для Л. в. является понятие логического следования. ЗаписьА|=Вобозначает, что В логически следует изА,а р=Аобозначает, чтоАесть тавтология.
Если определено понятие тавтологии и определено семантическое понятие логического следования, то говорят, что дано семантическое представление Л. в., а сама Л. в. зачастую отождествляется с множеством тавтологий или с самим отношением логического следования. Однако такое представление ставит следующую серьезную проблему: как обозреть все тавтологии, которых бесконечное множество? Для решения этой проблемы переходят к синтаксическому представлению Л. в.
Формальный (символический) язык Л. в. и понятие формулы остаются прежними, и теперь из всего множества тавтологий выбирается некоторое их конечное подмножество, элементы которого называются аксиомами. Напр.: 1. р з(qзр), 2.(р з ( < j з г)) з ((р з q) з(рзг)),3. р з (р vq),4. qз (p v q), 5. ( p з г) з((qэг)э ((p vq)=>r)), 6. (pл < ? ) з р, 7. (pлq)зq,8. (p з q ) з ( ( p з г) з(рз(qл r))), 9.(pз -.< ? ) D ( p -.p), 10. p з ( - n p = > < j), ll.p v-ip.
С помощью уже известных правил, но чисто формально, осуществляется переход от высказывания, или системы высказываний, к высказыванию. Так, заданную Л. в. обозначим посредствомС2и назовем классической Л. в. Именно классическая Л. в. лежит в основе абсолютного большинства научных теорий и в силу ее интерпретации посредством релейно-контактных схем получила самое широкое применение в компьютерных науках.
Логическое исчисление, заданное посредством некоторого множества аксиом и некоторого множества правил вывода, называется гильбертовским исчислением. Доказуемыми формулами (или теоремами) рассматриваемого исчисления называются любые формулы, которые могут быть получены из аксиом исчисления в результате применения (возможно, многократного) указанных правил. Запись |-Аслужит сокращением утверждения «А есть теорема». Если формула А выводима из некоторого множества Г исходных формул (посылок), то тогда запись принимает видГ\-А(см.Вывод логический).
Исходя из синтаксического представления Л. в., последняя зачастую отождествляется с множеством теорем или с отношением выводимости. Несмотря на различие семантического и синтаксического подходов к построению Л. в., оба подхода к построению Л. в., по существу, эквивалентны и, как говорят, являются адекватными. Это значит, что понятия логического следования и понятия вывода равнозначны. Рассмотрим следующую примечательную теорему, которая иногда называется теоремой адекватности: для всякой формулы А,\-Ат.т.т., когда |= А.
Доказательство в одну сторону, а именно: для всех А, если |-А, то р А, носит название теоремы о корректности. Это минимальное условие, которое мы требуем от логического исчисления и которое состоит в том, что представленная нами семантика корректна для выбранной аксиоматизации. Отсюда следует, что С2является непротиворечивым исчислением. Имеет место и обратное утверждение: каждая тавтология доказуема, т.е для всякой формулы А, если |= А, то\- А.Доказательство этой теоремы носит название теоремы о полноте исчисления высказываний относительно предложенной семантики. По существу здесь утверждается, что логических средств, т.е. аксиом и правил вывода, исчисления высказыванийС2вполне достаточно для доказательства всех тавтологий.
Первая аксиоматизация классической логики С2была предпринята Г. Фреге в 1879. Однако в терминах современного символического языка аксиоматизация С2появилась в «Principia Mathematica» А. Уайтхеда и Б. Рассела в 1910—1913. Первая публикация доказательства полноты принадлежит Э. Посту (1921), который исходил из системы Уайтхеда и Рассела и использовал двузначные истинностные таблицы (приведенные выше) для доказательства теоремы адекватности.
Теперь мы можем дать характеристику того, что называется классической Л. в. а)С.основана на принципе двузначности (Двузначности принцип). Ь)С2является максимальной в том смысле, что она не имеет непротиворечивых расширений: всякое добавление к ней в качестве аксиомы какой-либо формулы, не доказанной в ней, делает ее противоречивой, с) С имеет наиболее простую семантику.
Посредством модификации, исключением или добавлением др. аксиом получают различные неклассические логики высказываний.
См.:Алгебра логики, Логика, Символическая логика.
А.С. Карпенко

  1. логика высказываний—раздел математической логики См. Логикаem посвященный изучению логических форм сложных высказываний образованных из элементарных высказываний с помощью связок аналогичных...Большая Советская энциклопедия II
  2. логика высказываний—раздел логики в котором вопрос об истинности илиложности высказываний рассматривается и решается на основе изученияспособа построения высказываний из т. н. элементарных д...Большой энциклопедический словарь II
  3. логика высказываний—ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ раздел логики в котором вопрос об истинности или ложности высказываний рассматривается и решается на основе изучения способа построения высказываний и...Большой энциклопедический словарь III
  4. логика высказываний—ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ раздел логики в котором вопрос об истинности или ложности высказываний рассматривается и решается на основе изучения способа построения высказываний ...Большой Энциклопедический словарь V
  5. логика высказываний—раздел логики в кром вопрос об истинности или ложности высказываний рассматривается и решается на основе изучения способа построения высказываний из т.н. элементарных дал...Естествознание. Энциклопедический словарь
  6. логика высказываний—раздел логики в котором вопрос об истинности или ложности высказываний рассматривается и решается на основе изучения способа построения высказываний из так называемых эле...Исследовательская деятельность
  7. логика высказываний—пкрлер логикасы...Орысша-қазақша «Математика» терминологиялық сөздік
  8. логика высказываний—assertionlevel logic вчт....Русско-английский словарь по электронике
  9. логика высказываний—propositional logic...Русско-английский технический словарь
  10. логика высказываний—логка выказвання...Русско-белорусский математический словарь
  11. логика высказываний—logica delle proposizioni...Русско-итальянский политехнический словарь
  12. логика высказываний—Aussagenlogik...Русско-немецкий политехнический словарь
  13. логика высказываний—логка висловлень...Русско-украинский политехнический словарь
  14. логика высказываний—vrokov logika...Русско-чешский словарь
  15. логика высказываний—Пропозициональная логика раздел логики формализующий употребление логических связок и или не если то и т. п. служащих для образования сложных высказываний из простых. Выс...Словарь логики
  16. логика высказываний—ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ или Пропозициональная логика раздел логики формализующий употребление логических связок iи или не если то и т. п. служащих для образования сложных вы...Словарь по логике
  17. логика высказываний—логика суждений пропозициональная логика раздел совр. логики лежащий в основе большинства е разделов в традиц. их изложении. Осн. объект Л. в. высказывание являющееся абс...Советский философский словарь
  18. логика высказываний—ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ раздел логики в котором вопрос об истинности или ложности высказываний рассматривается и решается на основе изучения способа построения высказываний и...Современный энциклопедический словарь
  19. логика высказываний—ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ раздел логики в котором изучаются истинностные взаимосвязи между высказываниями.В рамках данного раздела высказывания пропозиции предложения рассматр...Философская энциклопедия
  20. логика высказываний—раздел совр. математической логики посвященный изучению логич. форм сложных высказываний образованных из элементарных высказываний с помощью связок аналогичных союзам и и...Философская Энциклопедия (в 5 томах)
  21. логика высказываний—ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ раздел логики в котором вопрос об истинности или ложности высказываний рассматривается и решается на основе изучения способа построения высказываний ...Энциклопедический словарь естествознания