Энциклопедия эпистемологии и философии науки

АЛГЕБРА ЛОГИКИ

АЛГЕБРА ЛОГИКИ— исторически первая формаматематической (символической) логики,сложившаяся к последней трети 19 в. К ее созданию привелааналогиямежду решением алгебраических уравнений и выводом следствий из посылок, а также то, что алгебраические уравнения применимы при решении задач из различных областей знания. Попытки свести логику к алгебре предпринимались еще в 17—18 вв.: среди тех, кто занимался перестройкой логики на алгебраической основе, следует назвать Г. Лейбница и особенно И. Г. Ламберта, который, по-видимому, первым использовал термины «А. л.», «логическая алгебра». В то время основным предметом алгебры считали решение уравнений, и Ламберт стремился к тому, чтобы представить логические связи уравнениями, а логические выводы — решением соответствующих уравнений. При этом он стремился сохранить в «алгебраической логике», которую он называл знаковым искусством, все операции обычной алгебры.
В 19 в. поиск способов решения логических задач алгебраическими методами продолжился. Были введены четкие представления об операциях над объектами логики, что стало возможным, прежде всего, благодаря трактовкепонятийпо их объему. Кроме того, было введено понятиеуниверсума— предметной области логики, а в качестве объектов, на которых задаются операции, стали выступать подклассы универсума,сужденияже получили представление в виде равенств. Принципиальный прорыв в алгебраизации логики совершили А. де Морган и Дж. Буль; «Формальная логика» де Моргана и «Математический анализ логики» Буля вышли в 1847. В построениях обоих ученых содержалось то, что ныне называется «булевой алгеброй». Де Морган кроме этого развил исторически первую систему алгебры отношений (см.Логика отношений).
Система Буля, называемая А.л., а иногда «алгеброй классов», получила более широкую известность, чем построения Де Моргана. На множестве классовх, y,z...Буль ввел операции: «х», «+», «-», соответствующие умножению (пересечению), сложению (объединению) и вычитанию классов. При этом операция «+» определялась лишь для непересекающихся классов, а формулах - уозначала класс тех и только тех элементов класса х, которые не входят в классу(знак « х » обычно опускался). Единицей Буль обозначил универсальный класс (универсум), нулем — пустой класс, дополнение класса х (до универсума) обозначалось как (1 -х).Выражениеу=vx,где v — «неопределенный» класс, выражало включение класса х в класс/.
Хотя «сложение» классов у Буля было не всюду определено, его операции представляют собой полную систему связок, позволяющую выражать в его алгебре любые действия, причем как над классами, так и над высказываниями (суждениями). Однако распространение операций « + » и « - » на любые объекты универсума требовало дальнейшего уточнения, которое могло быть двояким: можно было считатьх + уобъединением классовхиунезависимо от того, пересекаются они или нет (чему в алгебре высказываний соответствует операция дизъюнкции); но можно было считать эту формулу симметрической разностью классовхи у, т. е. их объединением с исключением общей части, и тогдах - утоже оказывалось симметрической разностью, т.к. последняя обратна самой себе. В одном случае мы приходим к булевой алгебре, в другом — к булеву кольцу. Первая возможность в четкой форме была реализована УС. Джевонсом, вторая в 1927 И.И. Жегалкиным. В трудах Э. Шредера, Ч. Пирса, П.С. Порецкого и др. ученых методы А. л. получили дальнейшее усовершенствование. Центральной оставалась задача составления логических уравнений и поискалгоритмаих решения с целью разыскания всех следствий (определенного вида) из заданных посылок, а также (это двойственная задача) определения всехгипотез(тоже определенного вида), из j которых логически следует заданная формула логики. Подход Шредера состоял в том, что каждое равенство приводилось к виду (*)ах + Ъ X =О, гдечерта над буквой означала дополнение к классу (соответственно, отрицание высказывания). Учитывая, что в А. л. справедливо равенство (**)ах+Ъх=ах + Ъх + аЬ,из уравнения (*) исключалсяхи получалось равенствоab = 0как необходимое и достаточное условие разрешимости (*).
Несколько иначе логические уравнения понимал Порецкий: для него они были не столько условиями, кото- I рым нужно удовлетворить, сколько посылками, из которых требуется вывести логические следствия. Пусть, I напр., требуется определить следствия, вытекающие из посылок «Еслиа,тоЬ»и « ЕслиЬ,то с », что на языке А. л. передается формуламиа:эbиbзс.Учитывая, что эти формулы можно передать равносильными им выраже ниями, содержащими дизъюнкцию и отрицание (т.е. объединение классов и дополнение к классу), а также справедливость равенства, двойственного равенству (**) [оно возникает из ( * * ) после замены « х » на « + » и наоборот], мы получаем(а + b)(b + с)=(а + b)(b+с)1(а +с), где умножение передает операцию конъюнкции I (объединение классов). Таким образом выявляется, что(а + с),т.е. «Еслиа,то с», есть следствие рассматриваемых посылок. Этот пример иллюстрирует мысль Л. Кутюра (Алгебра логики. Одесса, 1905. С. 68): «В логике различие терминов известных и неизвестных является искусственным и почти бесполезным; все термины, в сущности, известны и речь идет только о том, чтобы из данных между ними соотношений вывести новые соотношения (т.е отношения неизвестные или неявно известные)».
В конце 19 — начале 20 вв. в логике происходят кардинальные изменения: наряду с А. л. появляются исчисления высказываний и предикатов (напр., «Исчисление понятий» Фреге, 1879). Булева алгебра становится составной частью математической (символической) логики. При этомлогику высказываний,если она строится не как исчисление, а с помощью таблиц истинности, часто называют А. л.
Б.В. Бирюков, З.А. Кузичева
Лит.:Бобынин В.В.Опыт математического изложения логики. Сочинения Эрнста Шредера. Физ.-матем. науки в их настоящем и прошедшем. 1886—1894. Вып. 2;Джевонс Ст.Основы науки. Спб, 1881;Жегалкин И.И.О технике вычисления предложений в символической логике // Математический сборник. 1927. Т. 34. Вып. 1; Математика XIX века (Математическая логика, алгебра, теория чисел, теория вероятностей). М., 1978;Порецкий П. С. Оспособах решения логических равенств и об обратном способе математической логики. Казань, 1884;Boole G.The mathematical analysis of logic. Cambridge, 1847;Morgan A. de.Formal logic, or calculus of inference, necessary and probable. London, 1847;Schroder E. DerOperationskreis des Logikkalkuls. Leipzig, 1877.

  1. алгебра логики—раздел математической логики изучающий высказывания рассматриваемые со стороны их логических значений истинности или ложности и логические операции над ними. А. л. возник...Большая Советская энциклопедия II
  2. алгебра логики—раздел матем. логики изучающий высказывания рассматриваемые со стороны их логич. значений истинности или ложности и логич. операции над ними. В А. л. принято отождествлят...Большой энциклопедический политехнический словарь
  3. алгебра логики—система алгебраических методов решения логических задач исовокупность таких задач в узком смысле табличное матричное построениелогики высказываний определяющее логически...Большой энциклопедический словарь II
  4. алгебра логики—АЛГЕБРА ЛОГИКИ система алгебраических методов решения логических задач и совокупность таких задач в узком смысле табличное матричное построение логики высказываний опред...Большой энциклопедический словарь III
  5. алгебра логики—АЛГЕБРА ЛОГИКИ система алгебраических методов решения логических задач и совокупность таких задач в узком смысле табличное матричное построение логики высказываний опре...Большой Энциклопедический словарь V
  6. алгебра логики—система алгебр. методов решения логич. задач и совокупность таких задач....Естествознание. Энциклопедический словарь
  7. алгебра логики—раздел математической логики изучающий высказывания рассматриваемые со стороны их логич. значений истинности плиложности и логич. операций над ними. А. л. возникла в сер...Математическая энциклопедия
  8. алгебра логики—АЛГЕБРА ЛОГИКИ система алгебраических методов решения логических задач и совокупность таких задач в узком смысле табличное матричное построение логики высказываний опред...Новый большой англо-русский словарь II
  9. алгебра логики—логика алгебрасы...Орысша-қазақша «Математика» терминологиялық сөздік
  10. алгебра логики—инф.в. мат. воен. логика алгебрасы...Орысша-қазақша салааралық терминологиялық сөздік
  11. алгебра логики—algbre logique...Политехнический русско-французский словарь
  12. алгебра логики—алгебра логки...Російсько-український словник логіки
  13. алгебра логики—algebra of logic Boolean algebra...Русско-английский политехнический словарь
  14. алгебра логики—logic algebra...Русско-английский словарь по физике
  15. алгебра логики—Boolean algebra...Русско-английский толковый словарь терминов по информатике
  16. алгебра логики—алгебра логк...Русско-белорусский математический словарь
  17. алгебра логики—аuлгебра лоuгкu...Русско-белорусский словарь математических, физических и технических терминов
  18. алгебра логики—алгебра логк...Русско-белорусский физико-математический словарь
  19. алгебра логики—algebra logica booleana di Boole...Русско-итальянский политехнический словарь
  20. алгебра логики—logick algebra...Русско-чешский словарь
  21. алгебра логики—система алгебраич. методов решения логич. задач а также совокупность задач решаемых такими методами. А. л. в узком смысле слова алгебраич. табличное матричное построение ...Советский философский словарь
  22. алгебра логики—АЛГЕБРА ЛОГИКИ система алгебраических методов решения логических задач и совокупность таких задач в узком смысле табличное матричное построение логики высказываний опред...Современный энциклопедический словарь
  23. алгебра логики—Алгебра логики раздел математической логики изучающий логические законы выражаемые формулами построенными из высказывательных констант и переменных а также из символов л...Терминологический словарь автоматизации строительства и производственных процессов
  24. алгебра логики—АЛГЕБРА ЛОГИКИ система алгебраич. методов решения логич. задач а также совокупность задач решаемых такими методами. А. л. в узком смысле слова алгебраич. табличное матри...Философская энциклопедия
  25. алгебра логики—одна из осн. частей математич. логики основанная на применении алгебраич. методов к логике. Возникнув в сер. в. в трудах Буля и развиваясь затем в работах Джевонса Шреде...Философская Энциклопедия (в 5 томах)
  26. алгебра логики—раздел математической логики основанный на применении алгебраических методов к изучению логических объектов классов высказываний и др. Исторически А. л. возникла как алг...Философский энциклопедический словарь
  27. алгебра логики—АЛГЕБРА ЛОГИКИ система алгебраических методов решения логических задач и совокупность таких задач в узком смысле табличное матричное построение логики высказываний опре...Энциклопедический словарь естествознания