ОПЕРАТОРОВ ТЕОРИЯ

ОПЕРАТОРОВ ТЕОРИЯ,частьфункционального анализа,посвящённая изучению свойствоператорови применению их к решению различных задач. Понятие оператора — одно из самых общих математич. понятий.

Общая О. т. возникла в результате развития теории интегральных уравнений, решения задач на нахождение собств. функций и собств. значений для дифференциальных операторов (см., напр.,Штурма — Лиувилля задача)и др. разделов классич. анализа. О. т. установила тесные связи между этими разделами математики и сыграла важную роль в их дальнейшем развитии. Ещё до возникновения общего понятия оператора операторные методы широко применялись в решении различных типов дифференциальных уравнений, обыкновенных и с частными производными (см.Операционное исчисление).О. т. представляет собой основной математич. аппарат квантовой механики (см.Операторыв квантовой теории).

Операторы в линейных пространствах.Чаще всего встречаются операторы, действующие в линейных нормированных пространствах (см.Линейное пространство),в частности в функциональных пространствах, т. е. отображенияу — А(х)линейного пространстваRили его части в нек-рое линейное пространствоR‘(возможно, совпадающее с К). Этот класс операторов охватывает такие важнейшие понятия, как числовыефункции, линейные преобразованияевклидова пространства, дифференциальные и интегральные операторы (см. ниже) и т. д. Наиболее изученными и важными для приложений являются линейные операторы. Оператор наз. линейным,

его нормой. Ограниченность линейного оператора равносильна его непрерывности, т. е. тому, чтоА(х_п)->А(х),когдах_п—> х.Оператор дифференцирования (пример2)представляет собой один из важнейших примеров неограниченного (а следовательно, и не непрерывного) линейного оператора. См. такжеЛинейный оператор.

Приведённые выше примеры 1—4 представляют собой примеры линейных операторов. Дальнейшие примеры линейных операторов:

5) ПустьR(s, t) —непрерывная функция двух переменных, заданная в квадратеa <=s <= b, a <=t <=b.Формула

определяет линейный интегральный оператор, наз. оператором Фредгольма.

6) Каждой абсолютно интегрируемой на всей прямой функцииf (t)поставим в соответствие функцию

наз.Фурье преобразованиемисходной функции. Это соответствие также представляет собой линейный оператор.

7) Левую часть линейного дифференциального уравнения

можно рассматривать как результат применения нек-рого оператора, ставящего в соответствие функцииx(t)функциюY(t). Такой оператор носит назв. линейного дифференциального оператора. Простейшим частным случаем линейного дифференциального оператора является оператор дифференцирования.

Примеры нелинейных операторов:

8) ПустьA[f(t)] = f²(t); определённый т. о. оператор является нелинейным.

9) Пусть

(F — нек-рая ограниченная непрерывная функция). Соответствиеg—>h,определяемое этой формулой, представляет собой нелинейный интегральный оператор.

Действия над операторами.Пусть дан оператор

y = A (x), причём никакие два разных элементахих‘не переходят в один и тот же элементу.Тогда каждому образууотвечает его единств, прообразх.Это соответствие наз. обратным оператором и обозначаютх = А^-1(у).

Построение обратного оператора эквивалентно решению уравненияу = А(х)относительнох(отыскание неизвестного прообраза по данному образу).

ЕслиA₁и A₂— два оператора, отображающихRв R‘, то их суммойА = A_I+ A₂наз. оператор, определяемый равенствомА(х)=A₁(x) + А₂(х).Если операторAiпереводитRвR‘,а A₂переводитR‘вR",то результат их последоват. применения представляет собой оператор, отображающийRвR";его наз. произведениемA₂A₁операторовA₁и A₂. Если, в частности, рассматриваются операторы, переводящие нек-рое линейное пространство в себя, то сумма и произведение двух таких операторов всегда определены. Результат последовательного примененияпраз одного и того же оператора Л есть я-я степень Л" этого оператора. Напр.,п-ястепень оператора дифференцирования есть оператор «-кратного дифференцирования

ОператорЕ,переводящий всякий элементхв самого себя, наз. единичным. Нулевым наз. оператор О, переводящий каждый элемент в нуль. Очевидно, что при любом Л справедливы равенства:АЕ = ЕА= A и A +О = О+ A =А;далее, если A^-1существует, то A^-1A= AA^-1=Е(следует заметить, что для двух произвольных операторов A и В произведения AВ и ВA, вообще говоря, не равны между собой). С помощью операций сложения, умножения операторов и умножения операторов на числа можно определить многочлены от линейного оператора, а путём предельного перехода, понимаемого соответствующим образом,— и более сложные функции от оператора. Напр., еслиD —оператор дифференцирования, тое^Dозначает оператор, определяемый формулой

имеющий смысл для техf(t),для к-рых ряд справа сходится. Для аналитич. функций сумма этого ряда равнаf(t +1), т. е.е^D—оператор сдвига, переводящийf(t)вf(t +1).

Линейные операторы в гильбертовом пространстве.Наиболее полно О. т. разработана для случая линейных операторов вгильбертовом пространстве.Пусть Л — ограниченный линейный оператор в гильбертовом пространствеН.Комплексное число X наз. собственным значением оператора Л, если существует такой элементх не равноО изН,чтоА(х)=Lx; при этомхназ. собственным вектором оператора A, отвечающим данному собств. значению. ЧислоLназ. регулярной точкой оператора A, если оператор (A +LE)^-1существует, определён на всёмНи ограничен; остальные значенияLназ. точками спектра оператора A. Каждое собств. значение принадлежит спектру, их совокупность образует точечный спектр, остальную часть спектра наз. непрерывным спектром. Тот факт, что спектр линейного оператора, вообще говоря, не исчерпывается его собств. значениями, представляет собой характерную черту линейных операторов в бесконечномерном пространстве, отличающую их от линейных преобразований конечномерного евклидова пространства.

ОператорА*наз. сопряжённым кА,еслискалярное произведение (Ах, у)=(х, А*у)для всеххиуизН.ОператорАназ. самосопряжённым, еслиА = А*,и унитарным, еслиА*=А^-1.Самосопряжённые и унитарные операторы представляют собой важнейшие и наиболее полно изученные классы линейных операторов в гильбертовом пространстве. Их теория является обобщением теории самосопряжённых и унитарных линейных преобразований n-мерного евклидова пространства. См. такжеСпектральный анализ(математический ).

Одним из простейших классов ограниченных линейных операторов в гильбертовом пространстве являются вполне непрерывные операторы. ОператорАназ. вполне непрерывным, если он переводит всякое ограниченное множество из Н в компактное (см.Компактность).Спектр вполне непрерывного оператора состоит из конечного или бесконечного счётного числа собств. значений и не имеет отличных от нуля предельных точек. КаждомуL не равному0 отвечает лишь конечное число линейно независимых собств. функций. Непрерывный спектр отсутствует.

Самосопряжённый вполне непрерывный операторАимеет хотя бы одно собств. значение, причём вНможно выбрать полную ортогональную систему элементов, состоящую из собств. функций оператораА.

Неограниченные операторы. Понятие ограниченного линейного оператора оказывается во мн. случаях слишком узким. Поэтому возникла необходимость рассматривать т. н. неограниченные операторы. Соответствующее, более общее, определение гласит: операторАназ. линейным неограниченным оператором в гильбертовом пространствеН,если: 1) соответствиеу = А(х)определено для всехх,принадлежащих нек-рому линейномумногообразиюQ, называемому областью определения оператораА;2)А(ах + Ву)= =аА(х) + ВA(y).

Важнейшим классом неограниченных линейных операторов в гильбертовом пространстве являются дифференциальные операторы. Мн. задачи математич. физики, в частности теории колебаний, приводят к задаче о разыскании собств. функций и собств. значений различных дифференциальных операторов. Напр.,цилиндрические функции, Лежандра многочленыи т. д. представляют собой не что иное, как собств. функции определённых дифференциальных операторов.

Нелинейные операторы. При изучении операторов предположение об их линейности играет весьма существ, роль. Однако в ряде случаев приходится рассматривать и нелинейные операторы. В частности, важное значение в механике и физике имеют нелинейные интегральные уравнения.

Лит.:Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 3 изд., М., 1972J Д а н ф о р д Н., Ш в а р ц Д ж. Т., Линейные операторы. Общая теория, пер. с англ., М., 1962.

операторов теория—часть функционального анализа См. Функциональный анализ посвященная изучению свойств Операторов и применению их к решению различных задач. Понятие оператора одно из самы...Большая Советская энциклопедия II