часть функционального анализа (См. Функциональный анализ), посвященная изучению свойств Операторов и применению их к решению различных задач. Понятие оператора — одно из самых общих математических понятий.
Примеры:
1) Отнеся каждому вектору (ξ1, ξ2, ξ3) вектор (ξ’1, ξ’’2, ξ’3) так, что ξ’i= ai1ξ1+ai2ξ2+ ai3ξ3(i =1, 2, 3;ai1,ai2,ai3— фиксированные числа), получим некоторый оператор.
2) Операция (оператор) дифференцирования D [f(t)] =f’(t) относит каждой дифференцируемой функцииf(t) её производнуюf’(t).
3) Операция (оператор) определённого интегрированияI =относит каждой интегрируемой функции действительное число.
4) Отнеся каждой функцииf(t)еёпроизведение φ(t)f(t) на фиксированную функцию φ(t), снова получаем оператор.
Общая О. т. возникла в результате развития теории интегральных уравнений, решения задач на нахождение собственных функций и собственных значений для дифференциальных операторов (см., например, Штурма - Лиувилля задача) и др. разделов классического анализа. О. т. установила тесные связи между этими разделами математики и сыграла важную роль в их дальнейшем развитии.Ещё до возникновения общего понятия оператора операторные методы широко применялись в решении различных типов дифференциальных уравнений, обыкновенных и с частными производными (см. Операционное исчисление). О. т. представляет собой основной математический аппарат квантовой механики (см. Операторы в квантовой теории).
Операторы в линейных пространствах. Чаще всего встречаются операторы, действующие в линейных нормированных пространствах (см. Линейное пространство),в частности в функциональных пространствах, т. е. отображенияу = А(х) линейного пространстваRили его части в некоторое линейное пространствоR'(возможно, совпадающее сR). Этот класс операторов охватывает такие важнейшие понятия, как числовые Функции,линейные преобразования (См. Линейное преобразование) евклидова пространства, дифференциальные и интегральные операторы (см. ниже) и т.д. Наиболее изученными и важными для приложений являются линейные операторы. Оператор называется линейным, еслиA(αx+βy)=αА(х)+βА(у) для любых элементовх,упространстваRи любых чисел α, β. Если пространстваRиR'нормированы, а отношение А (х) к нормехограничено, то линейный операторAназывается ограниченным, а верхнюю грань отношения А (Хп) →А(х), когдаХп→х. Оператор дифференцирования (пример 2) представляет собой один из важнейших примеров неограниченного (а следовательно, и не непрерывного) линейного оператора. См. также Линейный оператор.
Приведённые выше примеры 1—4 представляют собой примеры линейных операторов. Дальнейшие примеры линейных операторов:
5) Пустьk(s,t) — непрерывная функция двух переменных, заданная в квадратеa≤s≤b,а≤t≤b. Формула
определяет линейный интегральный оператор, называется оператором Фредгольма.
6) Каждой абсолютно интегрируемой на всей прямой функцииf(t) поставим в соответствие функцию
называется Фурье преобразованием исходной функции. Это соответствие также представляет собой линейный оператор.
7) Левую часть линейного дифференциального уравнения
можно рассматривать как результат применения некоторого оператора, ставящего в соответствие функцииx(t) функцию φ(t). Такой оператор носит название линейного дифференциального оператора. Простейшим частным случаем линейного дифференциального оператора является оператор дифференцирования.
Примеры нелинейных операторов:
8) ПустьA[f(t)]= f2(t); определённый т. о. оператор является нелинейным.
9) Пусть
(F— некоторая ограниченная непрерывная функция). Соответствиеg→h, определяемое этой формулой, представляет собой нелинейный интегральный оператор.
Действия над операторами. Пусть дан оператор
у = А(х),
причём никакие два разных элементахих'не переходят в один и тот же элементу. Тогда каждому образууотвечает его единств. прообразх. Это соответствие называется обратным оператором и обозначают
х = А–1(у).
Построение обратного оператора эквивалентно решению уравненияу=А(х)относительнох(отыскание неизвестного прообраза по данному образу).
ЕслиA1иА2— два оператора, отображающихR в R', то их суммойА = A1+A2называется оператор, определяемый равенствомА(х)= A1(x)+ A2(x).Если операторA1переводитRвR',аA2переводитR'вR”, то результат их последовательного применения представляет собой оператор, отображающийRвR”;его называют произведениемA2A1операторовA1иA2. Если, в частности, рассматриваются операторы, переводящие некоторое линейное пространство в себя, то сумма и произведение двух таких операторов всегда определены. Результат последовательного примененияпраз одного и того же оператораАестьn-ястепеньAnэтого оператора. Например,n-я степень оператора дифференцирования есть операторn-kpaтного дифференцирования Dn[f (t)]=f(n)(t).Произведение λАоператораАна число λ определяется формулой
(λА)(х)=λА(х).
ОператорЕ, переводящий всякий элементхв самого себя, называется единичным. Нулевым называется операторО, переводящий каждый элемент в нуль. Очевидно, что при любомАсправедливы равенства:AE = EA = АиА+О =О +А = А, далее, если,А–1существует, тоА–1А=AA–1= Е(следует заметить, что для двух произвольных операторовАиВпроизведенияABиBA,вообще говоря, не равны между собой).
С помощью операций сложения, умножения операторов и умножения операторов на числа можно определить многочлены от линейного оператора, а путём предельного перехода, понимаемого соответствующим образом, — и более сложные функции от оператора. Например, еслиD— оператор дифференцирования, то eDозначает оператор, определяемый формулой
,
имеющий смысл для техf(t), для которых ряд справа сходится. Для аналитических функций сумма этого ряда равнаf(t+ 1), т. е.eD— оператор сдвига, переводящийf(t) вf(t +1).
Линейные операторы в гильбертовом пространстве. Наиболее полно О. т. разработана для случая линейных операторов в гильбертовом пространстве (См. Гильбертово пространство). ПустьА— ограниченный линейный оператор в гильбертовом пространствеH. Комплексное число λ называется собственным значением оператораА,если существует такой элементх≠ 0 изH, чтоА(х)=λх; при этомхназывается собственным вектором оператораА, отвечающим данному собственному значению. Число λ называется регулярной точкой оператораА, если оператор (А +λЕ)–1существует, определён на всёмНи ограничен; остальные значения λ называется точками спектра оператораА. Каждое собственное значение принадлежит спектру, их совокупность образует точечный спектр, остальную часть спектра называется непрерывным спектром. Тот факт, что спектр линейного оператора, вообще говоря, не исчерпывается его собственными значениями, представляет собой характерную черту линейных операторов в бесконечномерном пространстве, отличающую их от линейных преобразований конечномерного евклидова пространства.
ОператорА* называется сопряжённым кА, если Скалярное произведение(Ax,у)=(х,А*у) для всеххиуизН.ОператорАназывается самосопряжённым, еслиА=А*, и унитарным, еслиА*=А–1. Самосопряжённые и унитарные операторы представляют собой важнейшие и наиболее полно изученные классы линейных операторов в гильбертовом пространстве. Их теория является обобщением теории самосопряжённых и унитарных линейных преобразованийn-мерного евклидова пространства. См. также Спектральный анализ(математический).
Одним из простейших классов ограниченных линейных операторов в гильбертовом пространстве являются вполне непрерывные операторы. ОператорАназывается вполне непрерывным, если он переводит всякое ограниченное множество изНв компактное (см. Компактность).Спектр вполне непрерывного оператора состоит из конечного или бесконечного счётного числа собственных значений и не имеет отличных от нуля предельных точек. Каждому λ ≠ 0 отвечает лишь конечное число линейно независимых собственных функций. Непрерывный спектр отсутствует.
Самосопряжённый вполне непрерывный операторАимеет хотя бы одно собственное значение, причём вНможно выбрать полную ортогональную систему элементов, состоящую из собственных функций оператораА.
Неограниченные операторы. Понятие ограниченного линейного оператора оказывается во многих случаях слишком узким. Поэтому возникла необходимость рассматривать т. н. неограниченные операторы. Соответствующее, более общее, определение гласит: операторАназывается линейным неограниченным оператором в гильбертовом пространствеН, если: 1) соответствиеу = А(х)определено для всехх, принадлежащих некоторому линейному многообразию (См. Многообразие) Ω, называемому областью определения оператораA; 2)А(αх+ βy) = αА(х)+βA(y).
Важнейшим классом неограниченных линейных операторов в гильбертовом пространстве являются дифференциальные операторы. Многие задачи математической физики, в частности теории колебаний, приводят к задаче о разыскании собственных функций и собственных значений различных дифференциальных операторов. Например, Цилиндрические функции,Лежандра многочлены и т.д. представляют собой не что иное, как собственные функции определённых дифференциальных операторов.
Нелинейные операторы. При изучении операторов предположение об их линейности играет весьма существенную роль. Однако в ряде случаев приходится рассматривать и нелинейные операторы. В частности, важное значение в механике и физике имеют нелинейные интегральные уравнения.
Лит.:Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 3 изд., М., 1972; Данфорд Н., Шварц Дж. Т., Линейные операторы. Общая теория, пер. с англ., М., 1962.