Большая советская энциклопедия

МНОГОГРАННИК

МНОГОГРАННИКв трёхмерном пространстве, совокупность конечного числа плоских многоугольников, такая, что каждая сторона любого из многоугольников есть одновременно сторона другого (но только одного), называемого смежным с первым (по этой стороне); от любого из многоугольников, составляющих М., можно дойти до любого из них, переходя к смежному с ним, а от этого, в свою очередь,- к смежному с ним, и т. д. Эти многоугольники наз. гранями, их стороны - рёбра-м и, а их вершины - вершина-м и М.

Приведённое определение М. получает различный смысл в зависимости от того, как определитьмногоугольник.Если под многоугольником понимают плоские замкнутые ломаные (хотя бы и самопересекающиеся), то приходят к первому определению М. (вопросы, связанные с определяемыми таким образом М., будут рассмотрены в конце статьи). Осн. часть статьи построена на основе второго определения М., при к-ром его грани являются многоугольниками, понимаемыми как части плоскости, ограниченные ломаными. С этой точки зрения М. есть поверхность, составленная из многоугольных кусков. Если эта поверхность сама себя не пересекает, то она есть полная поверхность нек-рого геометрич. тела, к-рое также наз. М.; отсюда возникает третья точка зрения на М. как на геометрич. тела, причём допускается также существование у этих тел "дырок", т. е. -что эти тела не односвязаны.

М. наз. выпуклым, если он весь лежит по одну сторону от плоскости любой его грани; тогда грани его тоже выпуклы. Выпуклый М. разрезает пространство на две части - внешнюю и внутреннюю. Внутренняя его часть есть выпуклое тело. Обратно, если поверхность выпуклого тела многогранная, то соответствующий М.- выпуклый.

Важнейшие теоремы общей теории выпуклых М. (рассматриваемых как поверхности) следующие.

Теорема Эйлера (1758): число вершин минус число рёбер плюс число граней выпуклого М. - эйлерова характеристика М. - равно двум; символически:в - р + г= 2.

Теорема Кош и (1812) (в современной форме): если два выпуклых М. изометричны друг другу (т. е. один М. может быть взаимно однозначно отобра-

говорят, что он принадлежит этой голоэдрии (или входит в состав её сингонии), если этот класс не является подгруппой никакой голоэдрии, содержащейся в данной. Если взять плоскость, не проходящую через точку О, и подвергнуть её всем поворотам к.-н. кристаллографич. класса, то полученные плоскости ограничивают либо нек-рый изоэдр с центром в точке, либо бесконечное выпуклое призматическое тело, либо многогранный угол. Полученные тела наз. простыми формами кристаллов, в первом случае замкнутыми, во втором и третьем - открытыми. Две простые формы считают одинаковыми, если они имеют один и тот же комбинаторный тип, порождены одним и тем же кристаллографич. классом и повороты этого класса одинаковым образом связаны с формой. Существует 30 различных в этом смысле замкнутых форм и 17 открытых, каждая из них имеет вполне определённое название (см.Кристаллы).

Основываясь на первом (указанном в начале статьи) определении М., можно указать ещё четыре правильных невыпуклых многогранни-к а (т. н. тела Пуансо), впервые найденных франц. математиком Л. Пуансо в 1809 (рис. 6-9, см. на вклейке, табл. XXIV, стр. 321). Доказательство несуществования других невыпуклых правильных М. дал франц.математик О. Коши в 1811. В этих М. либо грани пересекают друг друга, либо сами грани - самопересекающиеся многоугольники. Для изучения вопросов, связанных с площадями поверхностей и объёмами таких М., удобно пользоваться именно первым определением М.

Если у М. можно так ориентировать грани, чтобы каждое ребро в тех двух гранях, к-рые смежны по этому ребру, имело бы обратные направления, то его наз. ориентируемым, в противном случае - неориентиру е-м ы м. Для ориентируемого М. (даже если он самопересекающийся и его грани - самопересекающиеся многоугольники) можно ввести понятия площади поверхности и величины объёма. Площадью ориентируемого М. наз. просто сумму площадей его граней (об определении площади самопересекающегося многоугольника см.Многоугольник).Для определения объёма надо заметить, что совокупность внутр. кусков граней М. разрезает пространство на определённое число связных кусков, из к-рых один по отношению к М. бесконечный (внешний), а остальные конечные (внутренние). Если из внешней по отношению к М. точки провести отрезок в к.-л. внутреннюю точку внутр. куска, то сумму "коэффициентов?, тех внутр. кусков граней М., к-рые пересечёт этот отрезок, наз. коэффициентом рассматриваемого внутр. куска М. (она не зависит от выбора внешней точки О); такой коэффициент есть целое положительное, отрицательное число или нуль. Сумму обычных объёмов всех внутр. кусков М., умноженных на эти их коэффициенты, наз. объёмом М.

Можно рассматривать и и-мерные М. Нек-рые из указанных определений и теорем имеют я-мерное обобщение. В частности, найдены все выпуклые правильные М.; прип= 4 их оказалось 6, а при всех больших и всего три: обобщение тетраэдра, куба и октаэдра. В то же время, напр., неизвестны все четырёхмерные изоэдры и изогоны.

Примеры нерешённых задач теории многогранников.

1) Нем. математик Э. Штейниц дал примеры того, что не для всякого тополо-гич. типа сетки рёбер выпуклого М. существует М., к-рый можно описать вокруг шара; в общем виде задача не решена.

2) Параллелоэдры суть выпуклые основные области групп параллельных переносов, но до сих пор не определены основные типы стереоэдров, т. е. выпуклых основных областей произвольных (фёдоровских) дискретных групп движений.

3) Определение всех типов четырёхмерных изоэдров.

Лит.:Фёдоров Е. С., Начала учения о фигурах, СПБ, 1885; Александров А. Д., Выпуклые многогранники, М.- Л., 1950; Вороной Г. Ф., Собр. соч., т. 2, К., 1952; Bruckner M., Viel-ecke und Vielflache. Theorie und Geschichte, Lpz., 1900; S t e i n i t z ?., Vorlesungen iiber die Theorie der Polyeder unter Einschluss der Elemente der Topologie..., В., 1934; С о х е-ter H. S. M., Regular polytopes, 2 ed., L.- N. Y., 1963.

Б.Н.Делоне.




  1. многогранник—замкнутая пространственная фигураstrong многогранныйstrong мгогогранник замкнутая многогранная поверхность тело ограниченное многогранной поверхностью.полиэдр. симплек...Идеографический словарь русского языка
  2. многогранник—в трхмерном пространстве совокупность конечного числа плоских многоугольников такая что каждая сторона любого из многоугольников есть одновременно сторона другого но толь...Большая Советская энциклопедия II
  3. многогранник—м. мат. poliedro Итальянорусский словарь. Синонимы восьмигранник гранатоэдр двадцатигранник двенадцатигранник десятигранник дидодекаэдр додекаэдр зоноэдр икосаэдр икосодо...Большой итальяно-русский и русско-итальянский словарь
  4. многогранник—м мат.Vielflach n Polyeder n восьмигранник гранатоэдр двадцатигранник двенадцатигранник десятигранник дидодекаэдр додекаэдр зоноэдр икосаэдр икосододекаэдр куб кубооктаэд...Большой немецко-русский и русско-немецкий словарь
  5. многогранник—многогранник м мат. Vielflach n a Polyeder n dСинонимы восьмигранник гранатоэдр двадцатигранник двенадцатигранник десятигранник дидодекаэдр додекаэдр зоноэдр икосаэдр ико...Большой немецко-русский и русско-немецкий словарь
  6. многогранник—м. мат.poliedro m...Большой русско-испанский словарь
  7. многогранник—сущ. муж. рода...Большой русско-украинский словарь
  8. многогранник—м. геогр. polydre m...Большой русско-французский словарь
  9. многогранник—мен. чол. роду...Большой украинско-русский словарь
  10. многогранник—м. геогр.polydre m восьмигранник гранатоэдр двадцатигранник двенадцатигранник десятигранник дидодекаэдр додекаэдр зоноэдр икосаэдр икосододекаэдр куб кубооктаэдр октаэдр ...Большой французско-русский и русско-французский словарь
  11. многогранник—полиэдр геом. тело огранич. со всех сторон плоскими многоугольниками гранями. Стороны граней наз. рбрами а концы рбер вершинами. По числу граней различают гранники. гр...Большой энциклопедический политехнический словарь
  12. многогранник—геометрическое тело ограниченное со всех сторон плоскимимногоугольниками называемыми гранями. Стороны граней называются ребрамимногогранника а концы ребер вершинами мног...Большой энциклопедический словарь II
  13. многогранник—МНОГОГРАННИК геометрическое тело ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками называемыми гранями. Стороны граней называются ребрами многогранника а концы ребер ...Большой энциклопедический словарь III
  14. многогранник—МНОГОГРАННИК геометрическое тело ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками называемыми гранями. Стороны граней называются ребрами многогранника а концы ребер...Большой Энциклопедический словарь V
  15. многогранник—а ч.i Многогранне геометричне тло....Великий тлумачний словник (ВТС) сучасної української мови
  16. многогранник—геом. тело ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками наз. гранями. Стороны граней наз. рбрами М. а концы рбер вершинами М. По числу граней различают четырхгр...Естествознание. Энциклопедический словарь
  17. многогранник—тетраэдр куб октаэдр додекаэдр икосаэдр. МНОГОГРАННИК поверхность состоящая из многоугольников граней таких что каждая сторона любого из них есть одновременно сто...Иллюстрированный энциклопедический словарь
  18. многогранник—а м.em Геометрическое тело ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками.Правильный многогранник. восьмигранник гранатоэдр двадцатигранник двенадцатигранник десят...Малый академический словарь
  19. многогранник—совокупность конечного числа плоских многоугольников такая что каждая сторона любого из многоугольников есть одновременно сторона другого но только одного называемого см...Математическая энциклопедия
  20. многогранник—корень МНОГ соединительная гласная О корень ГРАН суффикс НИК нулевое окончаниеОснова слова МНОГОГРАННИКВычисленный способ образования слова Суффиксальныйи сложение ос...Морфемный разбор слова по составу
  21. многогранник—Начальная форма Многогранник винительный падеж единственное число мужской род неодушевленное...Морфологический разбор существительных
  22. многогранник—многогранник м. Геометрическое тело ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками. То что по форме напоминает такое тело....Новый толково-словообразовательный словарь русского языка
  23. многогранник—многогранник многогранник а...Орфографический словарь
  24. многогранник—u мu мн.u многогранники Р.u многогранников восьмигранник гранатоэдр двадцатигранник двенадцатигранник десятигранник дидодекаэдр додекаэдр зоноэдр икосаэдр икосододекаэдр ...Орфографический словарь русского языка
  25. многогранник—кпырлы кпжаты...Орысша-қазақша «Жеңіл және тоқыма өнеркәсібі» терминологиялық сөздік
  26. многогранник—кпжа...Орысша-қазақша «Математика» терминологиялық сөздік
  27. многогранник—crist...Политехнический русско-французский словарь
  28. многогранник—многогранник многогранники многогранника многогранников многограннику многогранникам многогранник многогранники многогранником многогранниками многограннике многогранника...Полная акцентуированная парадигма по Зализняку
  29. многогранник—Орфографическая запись слова многогранник Ударение в слове многогранник Деление слова на слоги перенос слова многогранник Фонетическая транскрипция слова многогранник [м...Полный фонетический разбор слов
  30. многогранник—геом. багатостнник багатогранник поледр ра....Російсько-український словник (Українська академія наук)
  31. многогранник—многогранник аСинонимы восьмигранник гранатоэдр двадцатигранник двенадцатигранник десятигранник дидодекаэдр додекаэдр зоноэдр икосаэдр икосододекаэдр куб кубооктаэдр окта...Русский орфографический словарь
  32. многогранник—М riyaz. oxzl....Русско-азербайджанский словарь
  33. многогранник—polygon polyhedron...Русско-английский машиностроительный словарь
  34. многогранник—polyhedron многогранник м.upolyhedron Nhedron polytopeСинонимы восьмигранник гранатоэдр двадцатигранник двенадцатигранник десятигранник дидодекаэдр додекаэдр зоноэдр ико...Русско-английский политехнический словарь
  35. многогранник—многогранник м. мат.ipolyhedron...Русско-английский словарь
  36. многогранник—многогранник м. мат. polyhedron многогранный . polyhedral . разносторонний manysided versatile....Русско-английский словарь II
  37. многогранник—m.polyhedron polytopeСинонимы восьмигранник гранатоэдр двадцатигранник двенадцатигранник десятигранник дидодекаэдр додекаэдр зоноэдр икосаэдр икосододекаэдр куб кубооктаэ...Русско-английский словарь математических терминов
  38. многогранник—м. кристаллографический многогранник...Русско-английский словарь по физике
  39. многогранник—polyhedron polyhedral solid...Русско-английский словарь по электронике
  40. многогранник—polyhedra...Русско-английский строительный словарь
  41. многогранник—polyhedron polytope многогранник Вороного целочисленный многогранникСинонимы восьмигранник гранатоэдр двадцатигранник двенадцатигранник десятигранник дидодекаэдр додекаэд...Русско-английский технический словарь
  42. многогранник—мнагаграннк...Русско-белорусский математический словарь
  43. многогранник—Шматграннк...Русско-белорусский словарь
  44. многогранник—мат.i шматграннк муж.i...Русско-белорусский словарь II
  45. многогранник—шматграuннк ка многогранник выпуклый...Русско-белорусский словарь математических, физических и технических терминов
  46. многогранник—шматграннк ка...Русско-белорусский физико-математический словарь
  47. многогранник—м. poliedro m выпуклый многогранник звздчатый многогранник невыпуклый многогранник полуправильный многогранник правильный многогранник...Русско-итальянский политехнический словарь
  48. многогранник—мат. кп ырлылы...Русско-казахский словарь
  49. многогранник—кпжа...Русско-казахский терминологический словарь «Машиностроение»
  50. многогранник—м. мат. кп кырдык....Русско-киргизский словарь
  51. многогранник—м мат. dumintСинонимы восьмигранник гранатоэдр двадцатигранник двенадцатигранник десятигранник дидодекаэдр додекаэдр зоноэдр икосаэдр икосододекаэдр куб кубооктаэдр октаэ...Русско-китайский словарь
  52. многогранник—daudzskaldnis poliedrs...Русско-латышский словарь
  53. многогранник—briaunainis...Русско-литовский словарь
  54. многогранник—Polyeder Vielflchner Vielkant...Русско-немецкий политехнический словарь
  55. многогранник—многогранникм мат ....Русско-новогреческий словарь
  56. многогранник—м матu poliedro m восьмигранник гранатоэдр двадцатигранник двенадцатигранник десятигранник дидодекаэдр додекаэдр зоноэдр икосаэдр икосододекаэдр куб кубооктаэдр октаэдр п...Русско-португальский словарь
  57. многогранник—многогранник бисьрря...Русско-таджикский словарь
  58. многогранник—м мат.кпкырлык...Русско-татарский словарь
  59. многогранник—м мат. восьмигранник гранатоэдр двадцатигранник двенадцатигранник десятигранник дидодекаэдр додекаэдр зоноэдр икосаэдр икосододекаэдр куб кубооктаэдр октаэдр параллелепи...Русско-турецкий словарь
  60. многогранник—ok yzl...Русско-турецкий словарь по строительству и архитектуре
  61. многогранник—матем. физ. багатогранник самопересекающийся многогранник самоперетинний багатогранник архимедов многогранник бесконечный многогранник вписанный многогранник выпуклы...Русско-украинский политехнический словарь
  62. многогранник—polydre крист....Русско-французский словарь по химии
  63. многогранник—mnohostn polyedr...Русско-чешский словарь
  64. многогранник—.strong hulktahukas.strong poleeder...Русско-эстонский словарь
  65. многогранник—многогранник восьмигранник гранатоэдр двадцатигранник двенадцатигранник десятигранник дидодекаэдр додекаэдр зоноэдр икосаэдр икосододекаэдр куб кубооктаэдр октаэдр паралл...Слитно или раздельно? Орфографический словарь-справочник
  66. многогранник—многогранник а Синонимы восьмигранник гранатоэдр двадцатигранник двенадцатигранник десятигранник дидодекаэдр додекаэдр зоноэдр икосаэдр икосододекаэдр куб кубооктаэдр окт...Слитно. Раздельно. Через дефис. Словарь-справочник
  67. многогранник—МНОГОГРАННИК а м.iМат.iФигура имеющая много граней.Полиедр многогранник. САРsup III . Ср. полиедр. Лекс.em Сл. Кург. многогранник....Словарь русского языка XVIII в
  68. многогранник—многогранник полиэдр политоп симплекс Словарь русских синонимов. многогранник сущ. полиэдр Словарь русских синонимов. Контекст . Информатик. многогранник сущ. колво син...Словарь синонимов II
  69. многогранник—многогранник полиэдр политоп симплекс...Словарь синонимов
  70. многогра́нник—МНОГОГРАННИК а ч. Многогранне геометричне тло. Мабуть найвидатншим вдкриттям пфагорйцв у галуз геометр слд вважати вдкриття ними правильних многогранникв Наука. . Словн...Словник української мови в 11 томах
  71. многогранник—МНОГОГРАННИК а ч.Те саме що багатогранник.Мабуть найвидатншим вдкриттям пфагорйцв у галуз геометр слд вважати вдкриття ними правильних многогранникв з наук.попул. лт....Словник української мови у 20 томах
  72. многогранник—МНОГОГРАННИК геометрическое тело ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками называемыми гранями. Стороны граней называются ребрами многогранника а концы ребер ...Современный энциклопедический словарь
  73. многогранник—МНОГОГРАННИК а м. Геометрическое тело ограниченное со всех сторонплоскими многоугольниками....Толковый словарь Ожегова
  74. многогранник—МНОГОГРАННИК многогранника м. мат. Геометрическое тело ограниченное со всех сторон плоскими прямолинейными гранями треугольниками четырехугольниками и т.д. Правильный мно...Толковый словарь русского языка II
  75. многогранник—многогранник многогранник а м. Геометрическое тело ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками....Толковый словарь русского языка II
  76. многогранник—МНОГОГРАННИК а м. Геометрическое тело ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками....Толковый словарь русского языка
  77. многогранник—а ч. Многогранне геометричне тло....Толковый словарь украинского языка
  78. многогранник—Ударение в слове многогранникУдарение падает на букву аБезударные гласные в слове многогранник...Ударение и правописание
  79. многогранник—многогранник многогранники многогранника многогранников многограннику многогранникам многогранник многогранники многогранником многогранниками многограннике многогранника...Формы слова
  80. многогранник—Нога Нина Нимранг Никон Никанор Ника Нарком Нарко Нарк Нанкин Намного Намин Накр Наин Нагон Мрак Морока Моро Морион Морин Морган Морг Мор Моно Моника Монго Монако Мокро М...Электронный словарь анаграмм русского языка
  81. многогранник—Многогранник см. Тела геометрические....Энциклопедический словарь
  82. многогранник—МНОГОГРАННИК геометрическое тело ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками называемыми гранями. Стороны граней называются ребрами многогранника а концы ребер...Энциклопедический словарь естествознания
  83. многогранник—см. Тела геометрические....Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
  84. многогранник—МНОГОГРАННИКчасть пространства ограниченная совокупностью конечного числа плоских многоугольников см. ГЕОМЕТРИЯ соединенных таким образом что каждая сторона любого многоу...Энциклопедия Кольера II