Большая Советская энциклопедия II

МНОГОГРАННИК

в трёхмерном пространстве, совокупность конечного числа плоских многоугольников, такая, что каждая сторона любого из многоугольников есть одновременно сторона другого (но только одного), называемого смежным с первым (по этой стороне); от любого из многоугольников, составляющих М., можно дойти до любого из них, переходя к смежному с ним, а от этого, в свою очередь, — к смежному с ним, и т. д. Эти многоугольники называются гранями, их стороны — рёбрами, а их вершины — вершинами М.
Приведённое определение М. получает различный смысл в зависимости от того, как определить Многоугольник. Если под многоугольником понимают плоские замкнутые ломаные (хотя бы и самопересекающиеся), то приходят к первому определению М. (вопросы, связанные с определяемыми таким образом М., будут рассмотрены в конце статьи). Основная часть статьи построена на основе второго определения М., при котором его грани являются многоугольниками, понимаемыми как части плоскости, ограниченные ломаными. С этой точки зрения М. есть поверхность, составленная из многоугольных кусков. Если эта поверхность сама себя не пересекает, то она есть полная поверхность некоторого геометрического тела, которое также называется М.; отсюда возникает третья точка зрения на М. как на геометрические тела, причём допускается также существование у этих тел «дырок», т. е. — что эти тела не односвязаны.
М. называется выпуклым, если он весь лежит по одну сторону от плоскости любой его грани; тогда грани его тоже выпуклы. Выпуклый М. разрезает пространство на две части — внешнюю и внутреннюю. Внутренняя его часть есть выпуклое тело. Обратно, если поверхность выпуклого тела многогранная, то соответствующий М. — выпуклый.
Важнейшие теоремы общей теории выпуклых М. (рассматриваемых как по верхности) следующие.
Теорема Эйлера (1758): число вершин минус число рёбер плюс число граней выпуклого М.— эйлерова характеристика М. — равно двум; символически:в—р+г= 2.
Теорема Коши (1812) (в современной форме): если два выпуклых М. изометричны друг другу (т. е. один М. может быть взаимно однозначно отображён на другой М. с сохранением длин лежащих на нём линий), то второй М. может быть получен из первого движением его как жёсткого целого (или движением и зеркальным отражением). Отсюда, в частности, следует, что если грани выпуклого М. жестки, то он сам жёсток, хотя бы его грани были скреплены друг с другом по ребрам шарнирно. Это предполагал верным ещё Евклид и знает всякий, клеивший картонные модели М., но доказал Коши только через 2000 лет после Евклида.
Теорема А. Д. Александрова (1939): если взять конечное число плоских выпуклых многоугольников (сделанных, например, из бумаги) и указать, какую сторону какого из них с какой стороной какого другого мы будем склеивать (склеиваемые стороны, конечно, должны быть одинаковой длины), т. е. если рассмотреть развёртку (выкройку) М., то для того, чтобы так склеенную замкнутую поверхность можно было, соответственно расправив (т. е. изогнув, если нужно, но не растягивая, не сжимая, не разрывая и больше не склеивая), превратить в поверхность выпуклого М., необходимо и достаточно, чтобы: а) удовлетворялось условие Эйлера в —р+г= 2 и б) чтобы сумма плоских углов, сходящихся при склеивании в одной вершине, для любой вершины была меньше 360°. Эта теорема есть теорема существования, т. е. она показывает, с какими развёртками существуют выпуклые М., а теорема Коши есть для неё теорема единственности, т. е. она показывает, что существует только один (с точностью до движения и отражения) выпуклый М. с такой развёрткой.
Теорема (существования) Минковского (1896): существует выпуклый М. с любыми площадями граней и любыми направлениями внешних нормалей к ним, лишь бы сумма векторов, имеющих направления нормалей и длины, равные площадям соответствующих граней, была равна нулю и эти векторы не лежали бы все в одной плоскости. Эти условия необходимы.
Теорема (единственности) Минковского (1896): выпуклый М. вполне определяется площадями своих граней и направлениями внешних нормалей к ним; и углубляющая её теорема (единственности) А. Д. Александрова: два выпуклых М. с попарно параллельными гранями не равны друг другу только в том случае, если для одной из пар параллельных граней с одинаково направленными внешними нормалями одна из этих граней может быть при помощи параллельного переноса вложена в другую.
Теорема Штейница (1917): существует выпуклый М. с любой наперёд заданной сеткой. При этом сеткой выпуклого М. называют сетку, составленную его ребрами. Два М. принадлежат к одному и тому же типу, если топологически тождественны сетки их рёбер, т. е. если один из них отличается от другого лишь длиной своих рёбер и величиной углов между ними. Сетку рёбер выпуклого М. можно спроектировать на плоскость из внешней точки, весьма близкой к внутренней точке какой-либо его грани. Сама эта грань спроектируется тогда в виде внешнего выпуклого многоугольника, а все остальные — в виде малых выпуклых многоугольников, которые его заполняют, не налегая друг на друга, и смежны друг с другом целыми сторонами. Тип сетки рёбер М. при таком проектировании не меняется. Числоmтипов М. с данным числом n граней ограничено, а именно: еслиn= 4, 5, 6, 7, 8, ..., тоm= 1, 2, 7, 34, 257,... Нарис.даны сетки всех типов дляn= 4, 5, 6.
Наиболее важны следующие специальные выпуклые М.
Правильные многогранники (тела Платона) — такие выпуклые М., все грани которых суть конгруэнтные правильные многоугольники. Все многогранные углы правильного М. правильные и равные. Как это следует уже из подсчёта суммы плоских углов при вершине, выпуклых правильных М. не больше пяти. Указанным ниже путём можно доказать, что существуют именно пять правильных М. (это доказал Евклид). Они — правильные Тетраэдр, Куб, Октаэдр, Додекаэдр и Икосаэдр .
Куб и октаэдр дуальны, т. е. получаются друг из друга, если центры тяжести граней одного принять за вершины другого или обратно. Аналогично дуальны додекаэдр и икосаэдр. Тетраэдр дуален сам себе. Правильный додекаэдр получается из куба построением «крыш» на его гранях (способ Евклида), вершинами тетраэдра являются любые четыре вершины куба, попарно не смежные по ребру. Так получаются из куба все остальные правильные М.
В приведённой ниже таблице указаны радиус описанной сферы, радиус вписанной сферы и объём всех правильных М. (а — длина ребра М.).
Изоэдры и изогоны. Изоэдром (изогоном) называется такой выпуклый М., что группа его поворотов (первого и второго, т. е. с отражениями, родов) вокруг центра тяжести переводит любую его грань (вершину) в любую другую его грань (вершину). Каждому изоэдру (изогону) соответствует дуальный изогон (изоэдр). Если М. одновременно и изогон и изоэдр, то он правильный М. Комбинаторно различных изоэдров (изогонов) имеется 13 специальных типов и две бесконечные серии (призмы и антипризмы). Оказывается, что каждый из этих изоэдров может быть реализован так, что все его грани суть правильные многоугольники. Полученные так М. называются полуправильными многогранниками (телами Архимеда).
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
| Радиус описанной сферы| Радиус вписанной сферы| Объём |
|---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
| Тетраэдр | | |
|---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
| Куб | |
||||
|---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
| Октаэдр | ||
||| |
|---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
| Додекаэдр | |
|---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
| Икосаэдр | |
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Параллелоэдры (выпуклые; найдены рус. учёным Е. С. Федоровым в 1881) — М., рассматриваемые как тела, параллельным перенесением которых можно заполнить всё бесконечное пространство так, чтобы они не входили друг в друга и не оставляли пустот между собой, т. е. образовать разбиение пространства. Таковы, например, куб или правильная 6-угольная призма. Топологически различных сеток рёбер параллелоэдров пять. Число их граней — 6, 8, 12, 12, 14. Для того чтобы М. был параллелоэдром, необходимо и достаточно, чтобы он был выпуклым М. одного из пяти указанных топологических типов и чтобы все грани его имели центры симметрии.
Если параллелоэдры разбиения смежны целыми гранями, разбиение называется нормальным. Центры параллелоэдров такого разбиения образуют решётку, т. е. совокупность всех точек с целыми координатами относительно какой-то, вообще говоря, не прямоугольной декартовой системы координат. Множество точек пространства, из которых каждая отстоит от некоторой данной точкиОрассматриваемой решётки Λ не дальше, чем от всякой другой точки этой решётки, называется областью Дирихле (или областью Вороного)DoΛ точкиОв решётке Λ. ОбластьDoΛ является выпуклым М. с центром в точкеО. Совокупность областей Дирихле всех точек произвольной решётки образует нормальное разбиение пространства. Существует замечательная теорема: произвольное (дажеn-мерное) нормальное разбиение на параллелоэдры, в каждой из вершин которого сходитсяn+ 1 параллелоэдр, может быть аффинным преобразованием превращено в разбиение Дирихле для некоторой решётки.
Всякое движение, переводящее в себя решётку Λ и оставляющее на месте её точкуО, преобразует в себя областьDoΛ и обратно. Группу всех таких движений называют голоэдрией решётки. Их всего семь: кубическая, ромбоэдрическая, квадратная (или тетрагональная), ортогональная (или ромбическая), моноклинная, триклинная и гексагональная.
Кристаллографические многогранники. Каждая из семи рассмотренных групп имеет подгруппы, всех различных таких групп и их подгрупп 32; их называют кристаллографическими классами. Пусть какой-нибудь кристаллографический класс есть подгруппа некоторой голоэдрии, тогда говорят, что он принадлежит этой голоэдрии (или входит в состав её сингонии), если этот класс не является подгруппой никакой голоэдрии, содержащейся в данной. Если взять плоскость, не проходящую через точкуО, и подвергнуть её всем поворотам какого-нибудь кристаллографического класса, то полученные плоскости ограничивают либо некоторый изоэдр с центром в точке, либо бесконечное выпуклое призматическое тело, либо многогранный угол. Полученные тела называются простыми формами кристаллов, в первом случае замкнутыми, во втором и третьем — открытыми. Две простые формы считают одинаковыми, если они имеют один и тот же комбинаторный тип, порождены одним и тем же кристаллографическим классом и повороты этого класса одинаковым образом связаны с формой. Существует 30 различных в этом смысле замкнутых форм и 17 открытых, каждая из них имеет вполне определённое название (см. Кристаллы).
Основываясь на первом (указанном в начале статьи) определении М., можно указать ещё четыре правильных невыпуклых многогранника (т. н. тела Пуансо), впервые найденных французским математиком Л. Пуансо в 1809. Доказательство несуществования других невыпуклых правильных М. дал французский математик О. Коши в 1811. В этих М. либо грани пересекают друг друга, либо сами грани — самопересекающиеся многоугольники. Для изучения вопросов, связанных с площадями поверхностей и объёмами таких М., удобно пользоваться именно первым определением М.
Если у М. можно так ориентировать грани, чтобы каждое ребро в тех двух гранях, которые смежны по этому ребру, имело бы обратные направления, то его называют ориентируемым, в противном случае — неориентируемым. Для ориентируемого М. (даже если он самопересекающийся и его грани — самопересекающиеся многоугольники) можно ввести понятия площади поверхности и величины объёма. Площадью ориентируемого М. называют просто сумму площадей его граней (об определении площади самопересекающегося многоугольника см. Многоугольник). Для определения объёма надо заметить, что совокупность внутренних кусков граней М. разрезает пространство на определённое число связных кусков, из которых один по отношению к М. бесконечный (внешний), а остальные конечные (внутренние). Если из внешней по отношению к М. точки провести отрезок в какую-либо внутреннюю точку внутреннего куска, то сумму «коэффициентов» тех внутренних кусков граней М., которые пересечёт этот отрезок, называют коэффициентом рассматриваемого внутреннего куска М. (она не зависит от выбора внешней точкиО); такой коэффициент есть целое положительное, отрицательное число или нуль. Сумму обычных объёмов всех внутренних кусков М., умноженных на эти их коэффициенты, называют объёмом М.
Можно рассматривать иn-мерные М. Некоторые из указанных определений и теорем имеютn-мерное обобщение. В частности, найдены все выпуклые правильные М.; приn= 4 их оказалось 6, а при всех большихnвсего три: обобщение тетраэдра, куба и октаэдра. В то же время, например, неизвестны все четырёхмерные изоэдры и изогоны.
Примеры нерешенных задач теории многогранников.
1) Немецкий математик Э. Штейниц дал примеры того, что не для всякого топологического типа сетки рёбер выпуклого М. существует М., который можно описать вокруг шара; в общем виде задача не решена.
2) Параллелоэдры суть выпуклые основные области групп параллельных переносов, но до сих пор не определены основные типы стереоэдров, т. е. выпуклых основных областей произвольных (федоровских) дискретных групп движений. 3) Определение всех типов четырёхмерных изоэдров.
Лит.:Фёдоров Е. С., Начала учения о фигурах, СПБ, 1885; Александров А. Д., Выпуклые многогранники, М. — Л., 1950; Вороной Г. Ф., Собр. соч., т. 2, К., 1952; Brückner М., Vielecke und Vielflache. Theorie und Geschichte, Lpz., 1900; Steinitz E., Vorlesungen liber die Theorie der Polyeder unter Einschiuss der Elemente der Topologie..., B., 1934; Coxeter H. S. М., Regular polytopes, 2 ed., L. — N. Y., 1963.
Б. Н. Делоне.
Выпуклые параллелоэдры (тела Фёдорова).
Правильные невыпуклые многогранники (тела Пуансо).
Правильные выпуклые многогранники (тела Платона).
Полуправильные многогранники (тела Архимеда).
Полуправильные многогранники (тела Архимеда).
Рис. к ст. Многогранник.

  1. многогранник—замкнутая пространственная фигураstrong многогранныйstrong мгогогранник замкнутая многогранная поверхность тело ограниченное многогранной поверхностью.полиэдр. симплек...Идеографический словарь русского языка
  2. многогранник—МНОГОГРАННИК в трхмерном пространстве совокупность конечного числа плоских многоугольников такая что каждая сторона любого из многоугольников есть одновременно сторона др...Большая советская энциклопедия
  3. многогранник—м. мат. poliedro Итальянорусский словарь. Синонимы восьмигранник гранатоэдр двадцатигранник двенадцатигранник десятигранник дидодекаэдр додекаэдр зоноэдр икосаэдр икосодо...Большой итальяно-русский и русско-итальянский словарь
  4. многогранник—м мат.Vielflach n Polyeder n восьмигранник гранатоэдр двадцатигранник двенадцатигранник десятигранник дидодекаэдр додекаэдр зоноэдр икосаэдр икосододекаэдр куб кубооктаэд...Большой немецко-русский и русско-немецкий словарь
  5. многогранник—многогранник м мат. Vielflach n a Polyeder n dСинонимы восьмигранник гранатоэдр двадцатигранник двенадцатигранник десятигранник дидодекаэдр додекаэдр зоноэдр икосаэдр ико...Большой немецко-русский и русско-немецкий словарь
  6. многогранник—м. мат.poliedro m...Большой русско-испанский словарь
  7. многогранник—сущ. муж. рода...Большой русско-украинский словарь
  8. многогранник—м. геогр. polydre m...Большой русско-французский словарь
  9. многогранник—мен. чол. роду...Большой украинско-русский словарь
  10. многогранник—м. геогр.polydre m восьмигранник гранатоэдр двадцатигранник двенадцатигранник десятигранник дидодекаэдр додекаэдр зоноэдр икосаэдр икосододекаэдр куб кубооктаэдр октаэдр ...Большой французско-русский и русско-французский словарь
  11. многогранник—полиэдр геом. тело огранич. со всех сторон плоскими многоугольниками гранями. Стороны граней наз. рбрами а концы рбер вершинами. По числу граней различают гранники. гр...Большой энциклопедический политехнический словарь
  12. многогранник—геометрическое тело ограниченное со всех сторон плоскимимногоугольниками называемыми гранями. Стороны граней называются ребрамимногогранника а концы ребер вершинами мног...Большой энциклопедический словарь II
  13. многогранник—МНОГОГРАННИК геометрическое тело ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками называемыми гранями. Стороны граней называются ребрами многогранника а концы ребер ...Большой энциклопедический словарь III
  14. многогранник—МНОГОГРАННИК геометрическое тело ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками называемыми гранями. Стороны граней называются ребрами многогранника а концы ребер...Большой Энциклопедический словарь V
  15. многогранник—а ч.i Многогранне геометричне тло....Великий тлумачний словник (ВТС) сучасної української мови
  16. многогранник—геом. тело ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками наз. гранями. Стороны граней наз. рбрами М. а концы рбер вершинами М. По числу граней различают четырхгр...Естествознание. Энциклопедический словарь
  17. многогранник—тетраэдр куб октаэдр додекаэдр икосаэдр. МНОГОГРАННИК поверхность состоящая из многоугольников граней таких что каждая сторона любого из них есть одновременно сто...Иллюстрированный энциклопедический словарь
  18. многогранник—а м.em Геометрическое тело ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками.Правильный многогранник. восьмигранник гранатоэдр двадцатигранник двенадцатигранник десят...Малый академический словарь
  19. многогранник—совокупность конечного числа плоских многоугольников такая что каждая сторона любого из многоугольников есть одновременно сторона другого но только одного называемого см...Математическая энциклопедия
  20. многогранник—корень МНОГ соединительная гласная О корень ГРАН суффикс НИК нулевое окончаниеОснова слова МНОГОГРАННИКВычисленный способ образования слова Суффиксальныйи сложение ос...Морфемный разбор слова по составу
  21. многогранник—Начальная форма Многогранник винительный падеж единственное число мужской род неодушевленное...Морфологический разбор существительных
  22. многогранник—многогранник м. Геометрическое тело ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками. То что по форме напоминает такое тело....Новый толково-словообразовательный словарь русского языка
  23. многогранник—многогранник многогранник а...Орфографический словарь
  24. многогранник—u мu мн.u многогранники Р.u многогранников восьмигранник гранатоэдр двадцатигранник двенадцатигранник десятигранник дидодекаэдр додекаэдр зоноэдр икосаэдр икосододекаэдр ...Орфографический словарь русского языка
  25. многогранник—кпырлы кпжаты...Орысша-қазақша «Жеңіл және тоқыма өнеркәсібі» терминологиялық сөздік
  26. многогранник—кпжа...Орысша-қазақша «Математика» терминологиялық сөздік
  27. многогранник—crist...Политехнический русско-французский словарь
  28. многогранник—многогранник многогранники многогранника многогранников многограннику многогранникам многогранник многогранники многогранником многогранниками многограннике многогранника...Полная акцентуированная парадигма по Зализняку
  29. многогранник—Орфографическая запись слова многогранник Ударение в слове многогранник Деление слова на слоги перенос слова многогранник Фонетическая транскрипция слова многогранник [м...Полный фонетический разбор слов
  30. многогранник—геом. багатостнник багатогранник поледр ра....Російсько-український словник (Українська академія наук)
  31. многогранник—многогранник аСинонимы восьмигранник гранатоэдр двадцатигранник двенадцатигранник десятигранник дидодекаэдр додекаэдр зоноэдр икосаэдр икосододекаэдр куб кубооктаэдр окта...Русский орфографический словарь
  32. многогранник—М riyaz. oxzl....Русско-азербайджанский словарь
  33. многогранник—polygon polyhedron...Русско-английский машиностроительный словарь
  34. многогранник—polyhedron многогранник м.upolyhedron Nhedron polytopeСинонимы восьмигранник гранатоэдр двадцатигранник двенадцатигранник десятигранник дидодекаэдр додекаэдр зоноэдр ико...Русско-английский политехнический словарь
  35. многогранник—многогранник м. мат.ipolyhedron...Русско-английский словарь
  36. многогранник—многогранник м. мат. polyhedron многогранный . polyhedral . разносторонний manysided versatile....Русско-английский словарь II
  37. многогранник—m.polyhedron polytopeСинонимы восьмигранник гранатоэдр двадцатигранник двенадцатигранник десятигранник дидодекаэдр додекаэдр зоноэдр икосаэдр икосододекаэдр куб кубооктаэ...Русско-английский словарь математических терминов
  38. многогранник—м. кристаллографический многогранник...Русско-английский словарь по физике
  39. многогранник—polyhedron polyhedral solid...Русско-английский словарь по электронике
  40. многогранник—polyhedra...Русско-английский строительный словарь
  41. многогранник—polyhedron polytope многогранник Вороного целочисленный многогранникСинонимы восьмигранник гранатоэдр двадцатигранник двенадцатигранник десятигранник дидодекаэдр додекаэд...Русско-английский технический словарь
  42. многогранник—мнагаграннк...Русско-белорусский математический словарь
  43. многогранник—Шматграннк...Русско-белорусский словарь
  44. многогранник—мат.i шматграннк муж.i...Русско-белорусский словарь II
  45. многогранник—шматграuннк ка многогранник выпуклый...Русско-белорусский словарь математических, физических и технических терминов
  46. многогранник—шматграннк ка...Русско-белорусский физико-математический словарь
  47. многогранник—м. poliedro m выпуклый многогранник звздчатый многогранник невыпуклый многогранник полуправильный многогранник правильный многогранник...Русско-итальянский политехнический словарь
  48. многогранник—мат. кп ырлылы...Русско-казахский словарь
  49. многогранник—кпжа...Русско-казахский терминологический словарь «Машиностроение»
  50. многогранник—м. мат. кп кырдык....Русско-киргизский словарь
  51. многогранник—м мат. dumintСинонимы восьмигранник гранатоэдр двадцатигранник двенадцатигранник десятигранник дидодекаэдр додекаэдр зоноэдр икосаэдр икосододекаэдр куб кубооктаэдр октаэ...Русско-китайский словарь
  52. многогранник—daudzskaldnis poliedrs...Русско-латышский словарь
  53. многогранник—briaunainis...Русско-литовский словарь
  54. многогранник—Polyeder Vielflchner Vielkant...Русско-немецкий политехнический словарь
  55. многогранник—многогранникм мат ....Русско-новогреческий словарь
  56. многогранник—м матu poliedro m восьмигранник гранатоэдр двадцатигранник двенадцатигранник десятигранник дидодекаэдр додекаэдр зоноэдр икосаэдр икосододекаэдр куб кубооктаэдр октаэдр п...Русско-португальский словарь
  57. многогранник—многогранник бисьрря...Русско-таджикский словарь
  58. многогранник—м мат.кпкырлык...Русско-татарский словарь
  59. многогранник—м мат. восьмигранник гранатоэдр двадцатигранник двенадцатигранник десятигранник дидодекаэдр додекаэдр зоноэдр икосаэдр икосододекаэдр куб кубооктаэдр октаэдр параллелепи...Русско-турецкий словарь
  60. многогранник—ok yzl...Русско-турецкий словарь по строительству и архитектуре
  61. многогранник—матем. физ. багатогранник самопересекающийся многогранник самоперетинний багатогранник архимедов многогранник бесконечный многогранник вписанный многогранник выпуклы...Русско-украинский политехнический словарь
  62. многогранник—polydre крист....Русско-французский словарь по химии
  63. многогранник—mnohostn polyedr...Русско-чешский словарь
  64. многогранник—.strong hulktahukas.strong poleeder...Русско-эстонский словарь
  65. многогранник—многогранник восьмигранник гранатоэдр двадцатигранник двенадцатигранник десятигранник дидодекаэдр додекаэдр зоноэдр икосаэдр икосододекаэдр куб кубооктаэдр октаэдр паралл...Слитно или раздельно? Орфографический словарь-справочник
  66. многогранник—многогранник а Синонимы восьмигранник гранатоэдр двадцатигранник двенадцатигранник десятигранник дидодекаэдр додекаэдр зоноэдр икосаэдр икосододекаэдр куб кубооктаэдр окт...Слитно. Раздельно. Через дефис. Словарь-справочник
  67. многогранник—МНОГОГРАННИК а м.iМат.iФигура имеющая много граней.Полиедр многогранник. САРsup III . Ср. полиедр. Лекс.em Сл. Кург. многогранник....Словарь русского языка XVIII в
  68. многогранник—многогранник полиэдр политоп симплекс Словарь русских синонимов. многогранник сущ. полиэдр Словарь русских синонимов. Контекст . Информатик. многогранник сущ. колво син...Словарь синонимов II
  69. многогранник—многогранник полиэдр политоп симплекс...Словарь синонимов
  70. многогра́нник—МНОГОГРАННИК а ч. Многогранне геометричне тло. Мабуть найвидатншим вдкриттям пфагорйцв у галуз геометр слд вважати вдкриття ними правильних многогранникв Наука. . Словн...Словник української мови в 11 томах
  71. многогранник—МНОГОГРАННИК а ч.Те саме що багатогранник.Мабуть найвидатншим вдкриттям пфагорйцв у галуз геометр слд вважати вдкриття ними правильних многогранникв з наук.попул. лт....Словник української мови у 20 томах
  72. многогранник—МНОГОГРАННИК геометрическое тело ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками называемыми гранями. Стороны граней называются ребрами многогранника а концы ребер ...Современный энциклопедический словарь
  73. многогранник—МНОГОГРАННИК а м. Геометрическое тело ограниченное со всех сторонплоскими многоугольниками....Толковый словарь Ожегова
  74. многогранник—МНОГОГРАННИК многогранника м. мат. Геометрическое тело ограниченное со всех сторон плоскими прямолинейными гранями треугольниками четырехугольниками и т.д. Правильный мно...Толковый словарь русского языка II
  75. многогранник—многогранник многогранник а м. Геометрическое тело ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками....Толковый словарь русского языка II
  76. многогранник—МНОГОГРАННИК а м. Геометрическое тело ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками....Толковый словарь русского языка
  77. многогранник—а ч. Многогранне геометричне тло....Толковый словарь украинского языка
  78. многогранник—Ударение в слове многогранникУдарение падает на букву аБезударные гласные в слове многогранник...Ударение и правописание
  79. многогранник—многогранник многогранники многогранника многогранников многограннику многогранникам многогранник многогранники многогранником многогранниками многограннике многогранника...Формы слова
  80. многогранник—Нога Нина Нимранг Никон Никанор Ника Нарком Нарко Нарк Нанкин Намного Намин Накр Наин Нагон Мрак Морока Моро Морион Морин Морган Морг Мор Моно Моника Монго Монако Мокро М...Электронный словарь анаграмм русского языка
  81. многогранник—Многогранник см. Тела геометрические....Энциклопедический словарь
  82. многогранник—МНОГОГРАННИК геометрическое тело ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками называемыми гранями. Стороны граней называются ребрами многогранника а концы ребер...Энциклопедический словарь естествознания
  83. многогранник—см. Тела геометрические....Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
  84. многогранник—МНОГОГРАННИКчасть пространства ограниченная совокупностью конечного числа плоских многоугольников см. ГЕОМЕТРИЯ соединенных таким образом что каждая сторона любого многоу...Энциклопедия Кольера II