ГИПЕРКОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

ГИПЕРКОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА,обобщение понятия о числе, более широкое, чем обычные комплексные числа. Смысл обобщения состоит в том, чтобы обычные арифметич. действия над такими числами одновременно выражали нек-рые геометрич. процессы в многомерном пространстве или давали количеств, описание к.-л. физич. законов. При попытках построить числа, к-рые играли бы для 3-мерного пространства ту же роль, какую играют комплексные числа для плоскости, выяснилось, что здесь не может быть полной аналогии; это привело к созданию и развитию систем Г. ч.

Г. ч. представляют собой линейные комбинации (с действит. коэффициентами x₁, x₂, ..., x_n) нек-рой системы е₁, е₂, ...,е_n"базисных единиц":

подобно тому, как комплексные числа

x + iy являются линейными комбинациями двух "базисных единиц": действит. единицы 1 и мнимой единицы г. Для того чтобы использовать Г. ч., надо в первую очередь установить правила арифметич. действий над ними. Сложение и вычитание Г. ч., очевидно, получают однозначное определение, если для новых чисел сохранить обычные правила арифметики; именно, компоненты x₁, x₂, ..., X_n"базисных единиц" должны соответственно складываться или вычитаться. Истинное значение проблемы отчётливо выступает только при установлении правила умножения; для установления почленного перемножения Г. ч. вида (*) приходят к необходимости установить значения n²произведений e_iе_k(i = 1, 2, ..., n; k = l, 2, ..., n). Задача состоит в том, чтобы этим произведениям приписать значения вида (*), сохраняющие в силе все обычные правила арифметич. операций. Этому требованию удовлетворяет (кроме простейшего случая действительных чисел) единственная система Г. ч.- система комплексных чисел. При установлении же всякой другой системы Г. ч. необходимо отказаться от того или иного правила арифметики; обычно такими правилами, терпящими нарушение, оказываются: однозначность результата деления; переместительность умножения; правило, в силу к-рого равенство нулю произведения двух чисел влечёт за собой обращение в нуль, по крайней мере, одного из сомножителей, и т. п. Важнейшая система Г. ч. - кватернионы - получается при отказе от коммутативности (переместительности) умножения и сохранения остальных свойств сложения и умножения.

Лит.: Математика, ее содержание, методы и значение, т. 3, M., 1956, гл. 20.

гиперкомплексные числа—обобщение понятия о числе более широкое чем обычные Комплексные числа. Смысл обобщения состоит в том чтобы обычные арифметические действия над такими числами одновременно...Большая Советская энциклопедия II
гиперкомплексные числа—гиперкомплексные числа гипер. лат.em complexus сочетание числа представляющие собой линейные комбинации более двух единиц важнейшей системой гых чисел являются кватернио...Словарь иностранных слов русского языка