ГИПЕРКОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

обобщение понятия о числе, более широкое, чем обычные Комплексные числа. Смысл обобщения состоит в том, чтобы обычные арифметические действия над такими числами одновременно выражали некоторые геометрические процессы в многомерном пространстве (См. Многомерное пространство) или давали количественное описание каких-либо физических законов. При попытках построить числа, которые играли бы для 3-мерного пространства ту же роль, какую играют комплексные числа для плоскости, выяснилось, что здесь не может быть полной аналогии; это привело к созданию и развитию систем Г.ч.

Г. ч. представляют собой линейные комбинации (с действительными коэффициентамиx₁,x₂,...,.x_n) некоторой системы,е₁,е₂...,e_n«базисных единиц»:

x₁e₁+x₂e₂+... +х_пе_п(*)

подобно тому, как комплексные числаx+iyявляются линейными комбинациями двух «базисных единиц»: действительной единицы 1 и мнимой единицыi. Для того чтобы использовать Г. ч., надо в первую очередь установить правила арифметических действий над ними. Сложение и вычитание Г. ч., очевидно, получают однозначное определение, если для новых чисел сохранить обычные правила арифметики; именно, компонентых₁,х₂,...,х_п«базисных единиц» должны соответственно складываться или вычитаться. Истинное значение проблемы отчётливо выступает только при установлении правила умножения; для установления почленного перемножения Г. ч. вида (*) приходят к необходимости установить значенияn²произведенийe_ie_k(i= 1, 2,...,n;k= 1, 2,...,n). Задача состоит в том, чтобы этим произведениям приписать значения вида (*), сохраняющие в силе все обычные правила арифметических операций. Этому требованию удовлетворяет (кроме простейшего случая действительных чисел) единственная система Г. ч. — система комплексных чисел. При установлении же всякой другой системы Г. ч. необходимо отказаться от того или иного правила арифметики; обычно такими правилами, терпящими нарушение, оказываются: однозначность результата деления; переместительность умножения; правило, в силу которого равенство нулю произведения двух чисел влечёт за собой обращение в нуль, по крайней мере, одного из сомножителей, и т.п. Важнейшая система Г. ч. — Кватернионы — получается при отказе от коммутативности (переместительности) умножения и сохранения остальных свойств сложения и умножения.

Лит.:Математика, ее содержание, методы и значение, т. 3, М., 1956, гл. 20.