Большая Советская энциклопедия II

ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ

интегралы вида
(Э. и. первого рода, или бета-функция, изученная Л. Эйлером в 1730—31, ранее рассматривалась И. Ньютоном и Дж. Валлисом) и
[Э. и. второго рода, или Гамма-функция,рассмотренная Л. Эйлером в 1729—30 в форме, эквивалентной формуле (2); сама формула (2) встречается у Эйлера в 1781]; название «Э.и.» дано А. Лежандром. Э. и. позволяют обобщить на случай непрерывно изменяющихся аргументов биномиальные коэффициенты n!, ибо, еслиаиb— натуральные числа, то
а +1) =а!
Интегралы (1) и (2) абсолютно сходятся, еслиаиbположительны, и перестают существовать, еслиаиbотрицательны. Имеют место соотношения
В (a,b)=B (b,a),
последнее сводит бета-функцию к гамма-функции. Существует ряд соотношений между Э. и. при различных значениях аргумента, обобщающих соответствующие соотношения между биномиальными коэффициентами. Э. и. можно рассматривать и при комплексных значениях аргументоваиb. Э. и. встречаются во многих вопросах теории специальных функций (См. Специальные функции), к ним сводятся многие определённые интегралы, не выражаемые элементарно. Э. и. называется также интеграл
выражающий т. н.гипергеометрическую функцию (См. Гипергеометрические функции).
Лит.:Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, 7 изд., т. 2, М., 1969; Артин Е., Введение в теорию гамма-функций, пер. с нем., М.— Л., 1934; Уиттекер Е. Т., Ватсон Д. Н., Курс современного анализа, пер. с англ., 2 изд., ч. 2, М., 1963.

  1. эйлеровы интегралы—интеграл наз. эйлеровым интегралом го рода или бетафункцией i и интеграл эйлеровым интегралом го рода при sgt этот интеграл сходится и является представлением гаммафу...Математическая энциклопедия
  2. эйлеровы интегралы—...Орфографический словарь русского языка
  3. эйлеровы интегралы—эйлерлк интегралдар...Орысша-қазақша «Математика» терминологиялық сөздік
  4. эйлеровы интегралы—ойлеравы нтэгралы...Русско-белорусский математический словарь