PДЕЛИМАЯ ГРУППА,
группа Барсотти - Тейта,- обобщение понятия коммутативной формальной группы. Гомоморфизм, индуцируемый умножением на простое числор,является эпиморфизмом, для р-Д. г.
Пусть S- схема, р- простое число; р-делимой. группой высоты hназ. индуктивная системаG=(Gn, in)коммутативных конечных групповых схем;Gnпорядкаpnhтакая, что последовательности
являются точными (здесь jn- гомоморфизм умножения нарn).Морфизм р-Д. г. есть морфизм индуктивных систем. р-Д. г. наз. связной (соответственно этальной), если всеGn- связные (этальные) групповые схемы. Связная р-Д. г. над полем характеристики р есть коммутативная формальная группа (рассматриваемая как индуктивный предел ядер jn- умножения нарn), для к-рой умножение на р является изогенией [6]. Этот факт обобщается на случай произвольной базисной схемыS,на к-рой гомоморфизм, индуцируемый умножением на р, локально нильпотентен [4]. Категория этальных р-Д. г. эквивалентна категории р-адических представлений фундаментальной группы схемыS.Каждаяр-Д.г. Gнад артиновой схемой Sсодержит максимальную связную подгруппу G0, называемую связной компонентой единицы, фактор по к-рой является этальной р-Д.г. Размерность алгебры Ли для любой (G0)nназ. размерностью р-Д. г.G.
Пусть А- абелево многообразие над полем кразмерностиd, А(п)- ядро гомоморфизма умножения нарnв А,in:.- естественное вложение. Индуктивная система является р-Д. г. высоты2d.Ее связная компонента единицы совпадает с формальным пополнением Авдоль единичного сечения, а высотапредставляет важный инвариант абелевой схемы.
ПустьG=(Gn, in)- р-Д-г. высотыh,-двойственные по Картье конечные групповые схемы,in:- отображение, двойственное к отображению умножения на р:.Система
является р-Д. г. высоты hи наз. двойственной к р-Д. г.G.Сумма размерностей равнаh.
Как и для формальных групп, для р-Д. г. вводится понятие модуля Дьедонне, играющее важную роль в теории деформациир-Д.г. (см. [2], [3]. [4]).
В случае, когда Sесть спектр разнохарактеристического кольца дискретного нормирования Ас полем вычетов характеристикир,структура р-Д. г. тесно связана со структурой пополнения алгебраич. замыкания поля частных Ккольца А, рассматриваемого как модуль над группой Галуа поля К(см. [6]).
Лит.:[1] Barsotti I., в кн.: Coloque sur la theorie des groupes algebriques tenu a Bruxelles, P., 1962, p. 77-85; 12J Grothendieck А., в кн.: Actes du Congres international des mathematiciens. 1970, t. 1, P., 1971, p. 431-36; [3] Mazur B., Messing W., Universal Extensions and one Dimensional Crystalline Cohomology, В., 1974; [4] Messing W., The Crystals Associated to Barsotti - Tate Groups: with Applications to Abelian Schemas, В., 1972; [5] Serre J.-P., "Sem. Bourbaki", expose 318, 1966-67, N. Y., 1968; [6] Тейт Дш., "Математика", 1969, т. 13, № 2, с. 3 - 25.
П. В. Долгачев.