PАДИЧЕСКОЕ ЧИСЛО
- элемент расширения поля рациональных чисел, получаемого на основе свойств делимости целых чисел на заданное простое числор.
Это расширение есть пополнение поля рациональных чисел относительно неархимедова нормирования (см.Абсолютное значение).
Целым р-адическим числом для произвольного простого рназ. последовательность вычетов удовлетворяющих условию
Сложение и умножение целых р-А. ч. определяется формулами
Каждое целое число тотождествляется с р-А. ч. х= (m,т, ...).Относительно сложения и умножения целыер-А.ч. образуют кольцо, к-рое содержит кольцо целых чисел. Кольцо целых р-А. ч. может быть также определено как проективный предел
колец вычетов по modрn(относительно естественных проекций).
р-адическим числом, или рациональным р-адическим числом, наз. элемент поля отношений кольца целых р-А.ч. Это поле наз. полем р-адических чисел и содержит поле рациональных чисел в качестве подполя. Как кольцо, так и поле р-А. ч. наделяются естественной топологией. Эта топология может быть определена метрикой, связанной с р-адической нормой, т. е. с функцией от р-А. ч.х,определяемой следующим образом. Если то ходнозначно представимо в виде гдеа -обратимый элемент кольца целых р-А. ч. Тогда р-адическая норма равна Если x=0, то Определяя сначала только на рациональных числах, можно получить поле р-А. ч. как пополнение поля рациональных чисел.
Каждый элемент поля р-А. ч. может быть представлен в виде
где - целые, - нек-рое целое число, и ряд (*) сходится в метрике поляQp.Числа с условием (т. е. с ) образуют кольцоZpцелых р-А. ч., являющееся пополнением кольца целых чисел поляQ.Числас условиемобразуют мультипликативную группу и наз. р - адическими единицами. Совокупность чисел с условием является главным идеалом вZpс образующим элементом р. Кольцо является полным кольцом дискретного нормирования. Поле локально компактно в топологии, индуцируемой метрикой Поэтому в нем существует инвариантная мера m, подчиняемая обычно условию Для различных рнормирования независимы, а поля неизоморфны. Многие факты и понятия классического анализа переносятся на случай р-адических полей.
р-А. ч. связаны с решением диофантовых уравнений по модулю возрастающей степени простого числа. Так, если - многочлен с целыми коэффициентами, то разрешимость при всех сравнения
эквивалентна разрешимости уравнения в целых р-А. ч. Необходимым условием разрешимости этого уравнения в целых или рациональных числах является его разрешимость в кольцах или, соответственно, полях р-А. ч. при всех р. Такой подход к решению
диофантовых уравнений и, в частности, выяснение вопроса о достаточности этих условий, наз. локальными условиями, составляет важную часть современной теории чисел (см.Диофантова геометрия).Упомянутое выше свойство разрешимости в одном частном случае может быть заменено более простым. Именно, если
имеет решение и это решение определяет неособую точку гиперповерхности где - многочлен взятый по то данное уравнение имеет решение в целых р-А. ч., сравнимое Это утверждение, известное под назв.Гензеля леммы,является частным случаем более общего факта, относящегося к теории схем.
Кольцо целых р-А. ч. может рассматриваться как часть более общей конструкции колец Витта W(A).Кольцо целых р-А. ч. получается в том случае, когда - конечное поле из рэлементов (см.Виттавек-mop). Другим обобщением р-А. ч. являются -адические числа, возникающие при пополнении полей алгебраич. чисел относительно неархимедовых нормировании, связанных с простыми дивизорами.
р-А. ч. были введены К. Гензелем (см. [1]). Существующее для них канонич. представление является аналогом разложения аналитич. функций в степенной ряд. Это есть одно из проявлений аналогии между алгебраич. числами и алгебраич. функциями.
Лит.:[1] Неnsе1. К., "Jahresber. Dtsch. Math. Ver.", 1899, Bd 6, H. 1, S. 83-8; [2] Боревич 3. И., Шафаревич И. Р., Теория чисел, 2 изд., М., 1972; [3] Ленг С., Алгебраические числа, пер. с англ., М., 1966; [4] Вейль Г., Алгебраическая теория чисел, пер. с англ., М., 1947; [5] Нassе Н., Zahlentheorie, 2 Aufl., В., 1963; [6] Вейль А., Основы теории чисел, пер. с англ., М., 1972; [7] Бурбаки Н., Коммутативная алгебра, пер. с франц., М., 1971.
Л. Н. Паршин, В. Г. Спринджук.