ЯКОБИ ПРОБЛЕМА ОБРАЩЕНИЯ
проблема обращенияабелевых интеграловI рода произвольного поляалгебраических функций.Иначе говоря, проблема обращения абелевых интегралов I рода на компактной римановой поверхности Fрода соответствующей данному алгебраич. уравнению F(z, w)=0.
Пусть - базис абелевых дифференциалов I рода наF.Обращение одного абелева интеграла, напр. т. е. представление всевозможных рациональных функций от w1, в частности представление функции w1= w1(z1)как функций от z1, имеет смысл только прир=1-в этом случае речь идет обобращении эллиптического интеграла,к-рое приводит к двоя-копериодическимэллиптическим функциям.Напр., обращение нормального интеграла I рода в нормальной форме Лежандра
приводит кЯкоби эллиптической функции w1=sn z1. Как заметил еще К. Якоби (С. Jacobi, 1832), проблема обращения при р>1 должна рассматриваться для всех абелевых интегралов I рода в совокупности, так как должны получиться функции с 2рпериодами. В общем случае при рациональная постановка Я. п. о, состоит в следующем: пусть дана система равенств
в к-рой нижние пределы интегрирования c1, с2, . . .,cр-фиксированные точки на F;w1, . . . , wp-текущие точки на F;z=(z1, . . .,zp)-данные произвольные комплексные числа.Требуется указать, при каких условиях и как можно обратить систему (1), т. е. получить представление всевозможных симметрических рациональных функций отwk, k=1, 2, . . .,р,как функций отz=(zl, . . .,zp).
Вследствие зависимости от формы путей, соединяющих на Fточкиckиwk,абелевы интегралы в (1), как функции от верхних пределовwk,многозначны: при изменении формы пути они могут получить приращение в виде целочисленной линейной комбинации периодов. Отсюда вытекает, что (1) является в сущности системой сравнений по модулю периодов дифференциалов Получаемые при решении Я. п. о. функции от комплексных переменных z = (z1,. . .,zp)не должны изменять своих значений при прибавлении к аргументу любой целочисленной комбинации периодов дифференциалов Это будут, следовательно, специальныеабелевы функциис 2рнезависимыми периодами.
Для случаяp =1,т. е. дляэллиптического интеграла,построение эллиптич. функций, решающих проблему обращения, достигается при помощи сравнительно простых тета-функций Якоби от одного комплексного переменного z, причем мероморфные эллиптич. функции строятся в виде отношений целых тета-функций. Решение общей Я. п. о. также возможно при помощи тета-функций 1-го порядка от ркомплексных переменных с полуцелыми характеристикамиН.
Матрица периодов Wбазисных абелевых дифференциалов имеет вид
причем римановы соотношения (см.Абелева функция)между периодами обеспечивают равномерную сходимость на компактах пространства представляющих тета-функции рядов, построенных по матрицеW.При помощи тета-функции с нулевой характеристикой строится суперпозиция
где
- вектор абелевых интегралов,w=(w1, . . . , wp)-система точек на F;Ф (w)наз.Римана тета-функцией.Для данной системы чисел либо в нормальном случае функция Ф(w) имеет на Fединственную систему нулей либо в исключительном случае тождественно обращается в нуль. Эти нули и дают решение Я. п. о. Исключительные точкиг,для к-рых составляют в множество низшей размерности.
Явные выражения специальных абелевых функций, решающих Я. п. о. в полном объеме, строятся при помощи отношений тета-функций вида в к-рых тета-функция с нулевой характеристикой служит общим знаменателем. При прибавлении к аргументу периодов тета-функции умножаются на определенные мультипликаторы. Для отношений тета-функций, вследствие сокращений, нетривиальным мультипликатором может быть только -1. Следовательно, квадраты отношений не изменяются при прибавлении к аргументу периодов и получаются абелевы функции с 2рпериодами.
К Я. п. о. примыкает важная проблема построения для данной системы тета-функций с общей матрицейW,удовлетворяющей условиям сходимости, соответствующего ей поля алгебраич. функций и соответствующей римановой поверхности. Для того чтобы такое построение было возможно, различные элементыajkматрицыW,число к-рых равно р(р+1)/2, должны удовлетворять (р-2)(р-3)/2 дополнительным соотношениям, и исследование этих соотношений при р>3 представляет собой весьма трудную задачу (см. [1], [3]-[5])
Лит.:[1] Чеботарев Н. Г., Теория алгебраических функций, М.- Л., 1948; [2] Спрингер Дж., Введение в теорию римановых поверхностей, пер. с англ., М., 1960; [3] Clebsch A., Gordan P., Theorie der Abelschen Funktionen, [Wurzburg], 1967; [4] Соnfоrtо F., Abelsche Funktionen und algebraische Geometric, В., 1950; [5] Мамфорд Д., лМатематика