ЯДЕРНАЯ НОРМА

следовая норма,- норма в пространстве N(X, Y)ядерных операторов,отображающих банахово пространство Xв банахово пространство Y.
ПустьX, Y -банаховы пространства над полем действительных или комплексных чисел, L(X, Y)-пространство всех непрерывных линейных операторов, отображающих Xв Y, F(X, Y) - линейное подпространство, состоящее из операторов конечного ранга (т. е. операторов с конечномерным образом). Банахово сопряженное пространство к XобозначаетсяX', значение функционала на векторе обозначается <x,х'>.
Каждый ядерный оператор допускает представление в виде

где {x'_i}и {y_i} - такие последовательности вX'и Y соответственно, что

такие представления наз. ядерными. Величина

где точная нижняя грань берется по всевозможным ядерным представлениям вида (1), наз. ядерной нормой оператораА.Эта норма превращает N(X, Y) в банахово пространство, к-рое содержит F(X, Y)вкачестве плотного линейного подпространства. Если то сопряженный операторА'содержится вN'(Y,X')и Пусть - обычная операторная норма в L(X, Y).Тогда для всех Если , то и если то и Любой оператор представим в виде

Величина

где точная нижняя грань берется по всевозможным конечным представлениям вида (3), наз.конечной ядерной нормой оператораF.Пространство F(X, Y)можно отождествить с тензорным произведением При этом оператору Fвида (3) соответствует элемент

и конечная Я. н. (4) переходит в норму
где точная нижняя грань берется по всем конечным представлениям элемента ив виде (5). Эта норма наз. тензорным (или скрещенным) произведением норм в Y и вX'.Пополнение по норме (6) обозначается Отображение при к-ром элемент (5) переходит в оператор (3), продолжается до непрерывного линейного оператора Образ оператора Г совпадает с N(Х, Y). Если отображение Г устанавливает взаимно однозначное соответствие между и N(X, Y),тo(X, Y)совпадает с замыканием F(X, Y) по норме (4); в этом случае сужение Я. н. на F(X, Y) совпадает с конечной Я. н. Однако в общем случае оператор Г может иметь нетривиальное ядро, так что Я. н. является результатом факторизации нормы в (см.Ядерный оператор).
ПустьX=Y=H,где H - сепарабельное гильбертово пространство; L(H)=L(H, Н)- алгебра ограниченных операторов вН, L¹(H)=N(H, Н)- идеал ядерных операторов в L(H).В этом случае отображение Г взаимно однозначно, для операторов конечного ранга Я. н. совпадает с конечной Я. н. и каждый оператор имеет след trA(см.Ядерный оператор).Я. н. оператора совпадает с величиной гдеА *- сопряженный к Аоператор в H. Я. н. связана сГильберта-Шмидта нормойнеравенством Общий вид линейного непрерывного функционала в банаховом пространстве L¹(H)дается формулой

гдеВ -произвольный оператор из L(Н).причем норма функционала (7) совпадает с ||B||.Следовательно, L(H)изометрично пространству, сопряженному к L¹(H). Формула (7) дает общий вид линейного функционала и на замкнутом подпространстве в L(H),состоящем из всех вполне непрерывных (компактных) операторов; при этом а Впробегает L^l(H).При этом норма функционала (7) совпадает с т. е. пространство ядерных операторов L¹(H)с Я. н. изометрично пространству, сопряженному к в обычной операторной норме. Перечисленные результаты допускают нетривиальные обобщения на случай операторов в банаховых пространствах.
Пример. ПустьX=Y=l^l- пространство суммируемых последовательностей. Оператор содержится в N(l¹,l¹)тогда и только тогда, когда существует такая бесконечная матрица что A переводит последовательность и В этом случае

Лит.:[1] Grothendieck Л., Froduits tensoriels topologiques et espaces nucleaircs, Providence, 1955; [2] Пич А., Операторные идеалы, пер. с англ., М., 1982; [3] его же, Ядерные локально выпуклые пространства, пер. с нем., М., 1967; [4] Гохберг И. Ц., Крейн М. Г., Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве, М., 1965; [5] Гельфанд И. М., Виленкин Н. Я., Некоторые применения гармонического анализа. Оснащенные гильбертовы пространства, М., 1961; [6] Морен К., Методы гильбертова пространства, пер. с польск., М., 1965; [7] Дэй М., Нормированные линейные пространства, пер. с англ., М., 1961.
Г. Л. Литвинов.