ЯДЕРНАЯ БИЛИНЕЙНАЯ ФОРМА
билинейная форма В(f, g)на декартовом произведении локально выпуклых пространств Fи G, допускающая представление вида
где - суммируемая последовательность, {f'i} и {g'i}- равностепенно непрерывные последовательности в сопряженных к Fи G пространствахF'и G' соответственно, а значение линейного функционалаа'на векторе а обозначается <а, а'>.Все Я. б. ф. непрерывны. ЕслиF -ядерное пространство, то для любого локально выпуклого пространства G все непрерывные билинейные формы на являются ядерными (теорема о ядре). Этот результат принадлежит А. Гротендику [1]; в приведенной форме теорема о ядре сформулирована в [2], другие формулировки см. в [3]. Справедливо и обратное утверждение: если для пространства.выполняется заключение теоремы о ядре, то это пространство ядерно.
Для пространств гладких финитных функций теорему о ядре впервые получил Л. Шварц [4]. ПустьD -ядерное пространство всех бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем на прямой, наделенное стандартной локально выпуклой топологией Шварца, так что сопряженное пространствоD'состоит из всех обобщенных функций на прямой. Для частного случаяF=G=Dтеорема о ядре эквивалентна следующему утверждению: всякий непрерывный билинейный функционал на имеет вид
где f(t),иF=F(t1, t2) - обобщенная функция от двух переменных. Аналогичную формулировку допускает теорема о ядре для пространств гладких финитных функций от нескольких переменных, пространств быстро убывающих функций и других конкретных ядерных пространств. Аналогичные результаты справедливы и для полилинейных форм.
Непрерывную билинейную форму В(f,g)на можно отождествить с непрерывным линейным оператором с помощью равенства
что приводит к формулировке теоремы Шварца о ядре: для каждого непрерывного линейного отображения существует такая однозначно определенная обобщенная функция F(t1,t2)от двух переменных, что
для всех Другими словами, A является интегральным оператором с ядромF.
Лит.:[1] Grothendieck A., Produits tenaoriels topologiques et espaces nucleaires, Providence, 1955; [2] Пич А., Ядерные локально выпуклые пространства, пер. с нем., М., 1967; [3] Гельфанд И.