ШТЁРМЕРА МЕТОД
метод Стёрмера,- конечно разностный метод решения задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка, не содержащей первой производной от неизвестной функции:
При интегрировании по сетке с постоянным шагомxn=x0+nh, n=1, 2, . . ., расчетные формулы имеют вид:
а) экстраполяционные:
или (в разностной форме)
где
б) интерполяционные:
или (в разностной форме)
где
Первые значения коэффициентов и
При одном и том же kформула б) точнее, но требует решения нелинейной системы уравнений для нахождения значенияуп+1.На практике сначала находят приближенное значение решенияyn+1по формуле а), а затем проводят два-три уточнения но формуле
Применение Ш.м. предполагает, что уже известны приближенные значения решения в первых kузлах сетки: у0, y1,. . ., уk(опорные значения). Эти значения вычисляют поРунге - Кутта методу,либо используя разложение решения по формуле Тейлора. Необходимость использования специальных формул для вычисления значений в начале счета и в случае изменения шага сетки, по к-рой ведется интегрирование, приводит к существенному усложнению расчетных программ на ЭВМ.
Формулы Ш. м. с kчленами в правой части имеют погрешность порядка О(hk+1).Оценка погрешности аналогична соответствующей оценке дляАдамса метода.Можно показать, что для любого kсуществуют устойчивые формулы с погрешностью порядка О(hk+1).
На практике обычно используются формулы с k=4, 5, 6. Широко используется Нумерова метод, принадлежащий к семейству интерполяционных Ш. м.:
Метод предложен К. Штёрмером (С. Stermer, 1920).
Лит.:[1] Бахвалов Н. С., Численные методы, 2 изд., М., 1975; [2] Lambеrt J. D., Computational methods in ordinary differential equations, N. Y.- [a.o.], 1973; [3] МиxлиН С. Г., Смолицкий X. Л., Приближенные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений, М., 1965.
С. С. Гайсарян.