ШЕВАЛЛЕ ГРУППА
-линейная алгебраич. группа над нек-рым полем, связанная с полупростой комплексной алгеброй Ли. Пусть -Ли полупростая алгебранад -ее подалгебра Картана, -система корней алгебры относительно -система простых корней, -базис Шевалле алгебры - его линейная оболочка над И пусть -точное представление алгебры Ли в конечномерном векторном пространстве V. Оказывается, что в.существует решетка (т. е. свободная абелева подгруппа, базис к-рой является базисом пространства V),инвариантная относительно всех операторов m-натуральное число). Если k- произвольное поле и то определены гомоморфизмы заданные формулами
Подгруппы порождают в GL (Vk) нек-рую подгруппуGk,к-рая и наз.группой Шевалле, связанной с алгеброй Ли представлением полем k. В случае, когда (присоединенное представление), Ш. г. были определены К. Шевалле (С. Chevalley) в 1955 (см. [1]).
ЕслиК -алгебраически замкнутое поле, содержащееk,то Ш. г.СKесть связная полупростая линейная алгебраич. группа надК.определенная и разложимая над простым подполем Ее алгебра Ли изоморфна ГруппаGkявляется коммутантом группыGK(k)точек группыGK,рациональных надk.Любая связная полупростая линейная алгебраич. группа над K изоморфна одной из Ш. г. Алгебраич. группыGK(иGkкак абстрактные группы) зависят лишь от решетки порожденной весами представления Если Гjсовпадает с решеткой корней Г0, тоGKназ. присоединенной группой, а еели =Г1(решетка весов, см.Ли полупростая группа),тоGKназ. универсальной, или односвяаной, группой. ЕслиGK- универсальна, тоGk= GK(k).
Ш. г.GKвсегда совпадает со своим коммутантом. Центр группыGkконечен. Напр., центр Zуниверсальной группыGkизоморфен Ноm (Г1/Г0,k*),а соответствующая присоединенная группа изоморфнаGk/Zи имеет тривиальный центр.
Если алгебра проста, то присоединенная Ш. г.Gkпроста, за исключением следующих случаев: |k| =2, - алгебра Ли типов A1,B2,G2; |k|=3, -алгебра Ли типа А1.Другие серии простых групп можно получить, рассматривая подгруппы неподвижных точек нек-рых автоморфизмов конечного порядка Ш. г. (т. н. скрученные группы).
Если поле k конечно, то порядок универсальной группыGkвычисляется по формуле
гдеq = |k|, di(i = l, . .., r)-показатели алгебры Ли т. е. степени свободных образующих алгебры многочленов на инвариантных относительноВейля группы, -число положительных корней.
Имеется развитая теория рациональных линейных представлений Ш. г. Gkнад бесконечным полемk,сводящаяся к случаю алгебраически замкнутого поля, а в последнем случае совпадающая с теориейрациональных представленийполупростых алгебраич. групп. Если проста,Gk-универсальная Ш. г. над бесконечным полем.и -нетривиальное неприводимое конечномерное представление группыGk(как абстрактной группы) над алгебраически замкнутым полем K, то, существуют такой конечный набор вложений и такой набор рациональных представлений групп что По поводу представлений Ш. г. см. также [2], [3], [5].
Лит.:[1] Шевалле К., лМатематика