Математическая энциклопедия

ЧАПЛЫГИНА МЕТОД

- метод приближенного решения задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка, состоящий в одновременном построении двух семейств последовательных приближении к ее решению. Напр., в случае задачи Коши для одного уравнения 1-го порядка


одно из указанных семейств приближает решение с недостатком, а другое - с избытком.
В основе метода лежитЧаплыгина теоремао дифференциальных неравенствах. Пусть у(х)- решение задачи (1) и пусть кривыеу=и(х)иy=v(x)целиком лежат в прямоугольнике R, проходят через точку (x0, y0) и прих>х0удовлетворяют неравенствам

Тогда при х>х0справедливы неравенства

Функции и(х)и v(х),удовлетворяющие условиям теоремы Чаплыгина, дают двустороннюю оценку для решения задачи (1).
Если найдена пара начальных приближении u0(x) u0(x),удовлетворяющих условиям (2), то Ч. м. позво ляет построить пару u1(x),v1(х)более точных приближений, удовлетворяющих условиям

В случае когда сохраняет знак в областиR,пара u1(x),v1(х) может быть получена путем решения двух линейных дифференциальных уравнении с начальным условием y(x0)=y0.Если, напр., вR,то любая кривая, по к-рой плоскостьх=сопstпересекает поверхностьz=f(x, y), выпукла вниз, и каждая ее дуга лежит ниже хорды и выше касательной, проведенных из нек-рой ее точки.Если при нек-ром х=const уравнение касательной к кривойz=f(x, у)в точке y=u0(x):

где

а уравнение хорды, проходящей через точки y=u0(x) иy=v0(x)той же кривой где

то для этого значения химеет место неравенство

Условия (4) выполняются равномерно но.в области R; решениеу=и1(х)задачи Кошиy'=k(x)y+p(x), у(х0)=y0и решениеy=v1(х)задачи Кошиу' = l(х)у+р(х), у(х0)=у0удовлетворяют условию (2). Можно показать, что они удовлетворяют и условию (3). Зная пару u1(x),v1(х), можно тем же способом построить следующую пару u2(x),v2(х)и т. д. Процесс очень быстро сходится:

где константа сне зависит ни отх,ни отп.
Второй способ построения уточненных приближенийuп(х), vn(x)по известнымuп-1(х), vn-1(x)не требует сохранения знак а в R. В этом способе

гдеk - Липшица константафункции f(x, у)вR.И в этом случае пары функцийип(х), vn(x)иuп-1(х), vn-1(x)удовлетворяют условию (3) равномерно пох,но скорость сходимости тоньше, чем в формуле (5).
Основная трудность в применении Ч. м. состоит в построении начальных приближений u0(х), v0(х).
Метод предложен С. А. Чаплыгиным в 1919.

Лит.:[1] Чаплыгин С. А., Новый метод приближенного интегрирования дифференциальных уравнении, М.-Д., 1950; [2] Лузин Н. Н., О методе приближенного интегрирования академика С. А. Чаплыгина, лТр. ЦАГИ

  1. чаплыгина метод—ЧАПЛЫГИНА МЕТОД метод приближнного интегрирования дифференциальных урний предложенный С. А. Чаплыгиным i. Ч. м. позволяет приближнно решать дифференциальное урние с заран...Большая советская энциклопедия
  2. чаплыгина метод—метод приближнного интегрирования дифференциальных уравнений предложенный С. А. Чаплыгиным . Ч. м. позволяет приближнно решать дифференциальное уравнение с заранее заданн...Большая Советская энциклопедия II