ХОПФА ИНВАРИАНТ

-инвариант гомотопич. класса отображений топологич. пространств. Впервые был определенX. Хопфом ([1], [2]) для отображений сфер

Пусть -непрерывное отображение. Переходя, если нужно, к гомотопному отображению, можно считать это отображение симплициальным относительно нек-рых триангуляции сферSⁿи S^2n-1.Тогда инвариант Хопфа определяется какзацепления коэффициент(п-1)-мерных непересекающихся подмногообразий f^-l(а)и.^-l(b)в S^2n-1для любых различных
Отображение определяет элемент и образ элемента [f] при гомоморфизме

совпадает с Х. h - гомоморфизм Гуревича) [3].
Пусть теперь -отображение класса С², и форма представляет образующую группы целочисленных когомологий В качестве такой формы можно взять, напр., форму гдеdV -элемент объема наSⁿв нек-рой метрике (напр., в метрике, заданной вложением a vol (Sⁿ)-объем сферыSⁿ. Тогда форма замкнута и, ввиду тривиальности группы является точной.Таким образом, для нек-рой формы Имеет место формула для вычисления Х.

Определение Х. при В этом случае имеется разложение

- гомоморфизм, индуцированный проекцией Пусть дано отображение g:заданное стягиванием экватора сферыSⁿв точку. Тогда Х.
при к-ром преобразуется в проекцию элемента на прямое слагаемое в разложении (*). Прит=2п-1, ввиду равенства получается обычный Х. композицияН^*гомоморфизмов

где р -проекция группы на прямое слагаемое а гомоморфизмыg_*иk_*описаны выше. При инварианты Хопфа - Уайтхеда Н и Хопфа - ХилтонаН^*связаны соотношением где S:-гомоморфизмнадстройки(см. [6]).
Пусть дано отображение иC_f-его цилиндр. Тогда когомологий имеют однородным -базисом пару {a, b} с dima=n и dimb=2n. Имеет место соотношение а²= Н(f)b(см. [7]). Если пнечетно, то (в силу косокоммутативности умножения и когомологиях) H(f)=0.
Имеется (см. [8]) обобщение инварианта Хопфа - Стинрода черезобобщенные теории когомологий.Пусть.- полуточный гомотопич. функтор в смысле Дольда (см. [9]), заданный на категории конечныхCW-комплексов и принимающий значения в нек-рой абелевой категорииА.Тогда отображение комплексов определяет элемент k(X)),где Ноm - множество морфизмов вА.Инвариант Хопфа - Адамса е(f)определен, когда f_*=0 и d(Sf)=0,гдеSf:SXSY -соответствующее отображение надстроек. В этом случае последовательности корасслоений

соответствует точная последовательность в А:

к-рая и определяет инвариант Хопфа - Адамса-Стинрода е(f) = Ехt¹(k(Y),k(X)).
В случае функтора принимающего значения в категории модулей надСтинрода алгебройпо модулю 2, получается инвариант Хопфа - Стинрода отображения f:S^mSⁿпри т> п(см. [7]). Когомологий имеют -базисом пару {а, b}с dima =nи dim.=m+l, и тогда

Инвариантом ХопфаН_рпо модулюp(р-простое) наз. композиция отображений

где (X, Y)_p- локализация по рпары пространств (см. [10]). Пусть

- гомоморфизм надстройки. Тогда H₂(Sf)= H₂(f)(см. [10]). X. и. H(f) можно определить и в терминахШтифеля чисел(см. [11]): еслиМ^п-1-замкнутое оснащенное многообразие и то характеристич. число Штифеля - Уитниw_n(v)[V, M]нормального расслоения v совпадает с Х. 2(f) отображения представляющего класс оснащенных кобордизмов многообразияМⁿ-1.
Спектральная последовательность Адамса - Новикова позволяет построить высшие инварианты Xопфа. Именно, индуктивно определены инварианты и " (см. [12]). Из вида дифференциалов этой спектральной последовательности следует, что

- кольцо комплексных кобордизмов точки), потому при i = 0, 1, 2, 3 инвариантыq_iлежат в и наз. инвариантами Хопфа-Новикова. Приi =1 получается инвариант Адамса.
Значения, к-рые может принимать Х. Х. тривиален, за исключением случаев:р=2,т =1, 2,4 ир>2,т= 1. С другой стороны, для любого четного числа kсуществует отображение с Х. n - любое). Прип =1,2, 4 существуют отображения с Х.Лит.:[1] Hopf H., лMath. Ann.