ХАРДИ КЛАССЫ
Hp, р> 0,-классы аналитич. в кругеD={|z|< 1} функций f(z),для к-рых
где -нормированная мера Лебега на окружности это равносильно условию существования у субгармонич. функции |f(z)|pгaрмонич. мажоранты вD.К X. к. причисляют также класс ограниченных аналнтич. функций вD.Введенные Ф. Риссом [1] и названные им в честь Г. Харди (G. Hardy), первым рассмотревшего свойства р-средних в условии (*), X. к. играют важную роль в различных вопросах граничных свойств функций, гармонич. анализа, теории степенных рядов, линейных операторов, случайных процессов, экстремальных и аппроксимационных задач.
При любых справедливы точные вложения гдеN -класс Неванлинныограниченного вида функций,в частности функции X. к. имеют почти всюду наТ угловые граничные значенияпо к-рым исходные функции f(z) в Dвосстанавливаются однозначно. Если то (обратное верно не для любой аналитич. ции f(z))и
КлассыНр, -это в точности классы аналитических в Dфункций f(z), к-рые имеют граничные значения и восстанавливаются по ним посредством интеграла Коши.Функции же, представимые в Dинтегралом типа Коши или Коши - Стилтьеса, принадлежат, вообще говоря, лишь классамНр, p < 1(обратное неверно). Однолистные функции в Dпринадлежат всем классамНр, р <1/2. Условиенеобходимо и достаточно для того, чтобы аналитич. ция f(z) была непрерывна в и абсолютно непрерывна наТ.Если функция f(z) конформно отображает круг Dна жорданову областьG,то условие равносильно спрямляемости контура (см. [2], [5]). Существование взаимно однозначного соответствия между функциями X. к. и их граничными значениями позволяет рассматривать, когда это удобно, функции как функции наТ,при этом классыНрстановятся замкнутыми подпространствами банаховых (полных линейных метрических, если р< 1) пространствLp(Т).При 0 <р< оо (бесконечность) эти подпространства совпадают с замыканиями вLр(Т)многочленов от а при -с совокупностями тех функций изLP(T),коэффициенты Фурье к-рых равны нулю для отрицательных индексов. Теорема Рисса утверждает, что отображениеР,выражаемое через ряды Фурье равенством
является ограниченной проекцией банахова пространстваLp(Т)наНрпри любом но не прир - 1,Отсюда вытекает совпадение действительных пространств и ReHp,при других же значениях р эти пространства существенно различны как по аппроксимативным характеристикам и структуре сопряженных пространств, так и (при р = 1) в отношении свойств коэффициентов Фурье (см. [7], [9]).
Множества нулей {zk} нетривиальных функций X. к. полностью характеризуются условием обеспечивающим равномерную сходимость внутри Dканонич.Бляшке произведений
Для любой функции р > 0, имеет место факторизация Рисса где В(z)-произведение Бляшке, построенное по нулям функции вD.Функцияf0(z) в свою очередь разлагается в произведение f0(z) = внешней функции
и внутренней сингулярной функции
где а - неотрицательная сингулярная мера наТ.Условия равносильны, при этом почти всюду наТ.Внутренние функции G(z),имеющие вид полностью характеризуются условиями|G(z)| < 1 в Dи почти всюду наТ.Часто используют разложение произвольной функции в произведение двух функций из H2(см. [4], [5]).
Класс H2занимает особое место среди X. к., так как является гильбертовым пространством с воспроизводящим ядром и имеет простое описание через коэффициенты Тейлора:
Важную роль сыграло изучение оператора умножения на s, или оператора сдвига, в пространстве H2; оказалось, что все инвариантные подпространства этого оператора порождены внутренними функциями G(z),т. с. имеют вид (см. [4]).
Относительно поточечного умножения и sup-нормы класс является банаховой алгеброй с весьма сложным строением пространства максимальных идеалов и границы Шилова (см. [4]); вопрос о плотности идеалов в пространстве с обычной топологией Гельфанда (т. н. проблема короны) был решен положительно на основе описания универсальных интерполяционных последовательностей - последовательностей {zn}> таких, что
X. к. аналитич. ций f(z) в областях отличных от круга, можно определить (в общем случае неэквивалентно) исходя либо из условия существования у функций | f(z)|pгармонич. мажоранты в G, либо из условия ограниченности интегралов
по семействам контуров {Lr}, в каком-то смысле приближающих границу областиG.Первый способ позволяет определить также X. к. на римановых поверхностях. Второй способ приводит к классам, лучше приспособленным для решения экстремальных и аппроксимационных задач; в случае жордановых областей Gсо спрямляемой границей последние классы наз. классами Смирнова и обозначаютсяЕр(G)(см. [2]). Для полуплоскости, напр. P={Rez>0}, классыНР(Р), р>0, определяемые условием
по свойствам близки к X. к. для круга, однако их приложения в гармонич. анализе связаны уже не с теорией рядов Фурье, а с теорией преобразований Фурье.
X. к. аналитич. ций f(z)= f(z1,...,zn) в единичном шареВnи единичном поликругеDnпространства определяются условием (*) с заменой окружности Тсоответственно сферой или остовомТnполикруга. Специфика многомерного случая проявляется прежде всего в отсутствии простой характеристики множеств нулей и факторизации функций соответствующих X. к. (см. [6], [10]). X. к. определяются, причем различными способами, и для других областей в (см. [101).
Многомерными аналогами X. к. (см. [3]) являются т. н. пространства Харди - пространства р>0, систем Рисса - действительных вектор-функций удовлетворяющих обобщенным условиям Коши - Римана
.
дляк-рых
Определение этих пространств можно дать и в терминах лишь лдействительных частей