ХАРДИ ВАРИАЦИЯ
- одна из числовых характеристик функции нескольких переменных. Пусть функция f(x) = f(x1, ...,хп), п= 2, 3, ..., задана на n-мерном параллелепипеде
и
Пусть, далее, П - произвольное разбиение параллелепипеда гиперплоскостями
на n-мерные параллелепипеды и -класс всех функций f(х),для к-рых
Пусть, теперь - целочисленный вектор, координаты к-poro удовлетворяют неравенствам и - целочисленный вектор размерности п-s такой, что его координаты образуют строго возрастающую последовательность и состоят из всех тех чисел 1, ...,п,к-рые не содержатся среди Тогда каждую точку можно записать в виде Если координаты точки фиксированы на значениях то будем писать Вариация Харди функции f(х)наDn:
Если то говорят, что функция f(х) имеет ограниченную (конечную) X.в. на параллелепипедеDn,а класс всех таких функций обозначается Н(Dn).Этот класс при n = 2 был введен Г. Харди [1] (см. также [2]) в связи с исследованием сходимости двойных рядов Фурье. Он доказал, что прямоугольные частичные суммы двойного ряда Фурье функции f(х1,x2)класса имеющей период 2p по каждой переменной, сходятся в каждой точке (х1,x2)к числу
где
Для того чтобы функция f(х)входила в класс H(Dn),необходимо н достаточно, чтобы ее можно было представить в виде f(x)= f1(x)-f2(x).где f1и f2такие конечные наDnфункции, что k= 2, ...,п,при всех и допустимых приращениях h1, ...,hп.Класс Н(Dn)содержится в классе (Dn)функций, имеющих ограниченнуюАрцела вариациюнаDn.
Лит.:[1] Hardy G. Н., лQuart. J. Math.