ХААРА МЕРА
- ненулевая положительная мера на -кольце.подмножеств Елокально компактной группы G, порожденном семейством всех компактных подмножеств, принимающая конечные значения на всех компактных подмножествах в Gи удовлетворяющая либо условию левоинвариантности: для всех где либо условию правоинвариантности:
для всех где
Соответственно говорят о лево- или правоинвариантной X. м. Всякая X. м. -регулярна, т. е.
для всех
Левоинвариантная (а также правоинвариантная) Х. м. существует и определена однозначно с точностью до положительного множителя; это было установлено А. Хааром [1] (при дополнительном предположении о сепарабельности группы G).
Если f - финитная непрерывная функция на G, то f интегрируема относительно левоинвариантной X. м. на G и соответствующий интеграл левоинвариантен (см.Инвариантное интегрирование),т. е.
для всех Аналогичным свойством обладает правоинвариантная X. м. Мера Хаара всей группы G конечна тогда и только тогда, когда G компактна.
Если - левоинвариантная X. м. на G, то для любого имеет место равенство
где - непрерывный гомоморфизм группы G в мультипликативную группуR+положительных действительных чисел, не зависящий от выбора непрерывной финитной функции f наG. Гомоморфизм наз. модулем группы G; мера является правоинвариантной X. м. на G. Если то группа Gназ. унимодулярной; в этом случае левоинвариантная X. м. является также и правоинвариантной и наз. двусторонне инвариантной. В частности, любая компактная, дискретная и абелева локально компактная группа, а также любая связная полупростая или нильпотентная группа Ли унимодулярна. Унимодулярность группы G равносильна также тому, что любая левоинвариантная Х. м. на G инверсионно инвариантна, т. е. для всех
Если G - группа Ли, то интеграл но левоинвариантной (правоинвариантной) X. м. на G определяется формулой
где - линейно независимые левоинвариантные (правоинвариантные) дифференциальные формы 1-го порядка на G (см.Маурера - Картана форма), п=dimG. Модуль группы Ли G определяется формулой
где Ad - присоединенное представление.
Примеры. 1) X. м. на аддитивной группе и на факторгруппе (группа вращений окружности) совпадает с обычной лебсговской мерой. 2) Полная линейная группа или С, унимодулярна, причем X. м. имеет вид
гдеk=nпри и k=2n при adx -лебеговская мора в евклидовом пространстве всех матриц порядка.над полем Ф.
Если G - локально компактная группа, H - ее замкнутая подгруппа,X -однородное пространствоG/H,и - модули групп GиНсоответственно, - непрерывным гомоморфизм группы G в задаваемый формулой
то существует положительная мера v на -кольце.множеств порожденном семейством компактных подмножеств вX,однозначно определяемая условием:
где f - любая непрерывная финитная функция на G, причем
для всех непрерывных финитных функций f наX.
Лит.: [1] Нааr A., лAnn. Math.