ФАНО МНОГООБРАЗИЕ
- гладкое полное неприводимое алгебраич. многообразие Xнад полемk,антиканонич. пучок к-рого обилен. Основы изучения таких многообразий заложены Дж. Фано ([1], [2]).
Ф. м. размерности 2 наз. поверхностью дель Пеццо и являетсярациональной поверхностью.Многомерный аналог поверхностей дель Пеццо - Ф. м. размерности >2 уже не все являются рациональными многообразиями, напр. общая кубика в проективном пространстве Р4. Неизвестно (1984), все ли Ф. м. унирациональны.
Хорошо изучены трехмерные Ф. м. (см. [3], [5]). О Ф. м. размерности больше 3 известны лишь отдельные частные результаты.
Группа Пикара Pic Xтрехмерного Ф. поле kсовпадает с полем ранг группы PicX,равный второму числу Бетти b2(Х).не больше 10 (см. [4]). Если то Ф. гдеSd-поверхность дель Пеццо степениd.Ф. гладкого многообразияX' сцентром в неособой неприводимой кривой. Если Ф. Если b2(Х)=-3,то Xявляется расслоением на коники над другими словами, тогда существует морфизм слой к-рого изоморфен конике, т.е. алгебраич. схеме, заданной однородным уравнением степени 2 в Р2. Ф. 2 (Х)=2является расслоением на коники над проективной плоскостью Р2(см. [3]). В случае b2(X)=1существует 18 типов Ф. Для трехмерных Ф. Наибольшее целое число такое, что изоморфно для нек-рого дивизора наз. индексом Ф. 3, а Ф. Если r = 2, то индекс самопересеченияd=H3может принимать значения причем каждое из них реализуется на нек-ром Ф. отображение определяемое линейной системой имеет степень или 2. Опиеаны Ф. Если то Ф. подмногообразие V2g-2степени 2g-2 в проективном пространстве Pg+1. Число gназ. родом Ф. 2g-2 и совпадает с родом канонич. кривой - сечения многообразия Xпри антиканонич. вложении в Рg+1. Известна классификация Ф. класс гиперплоского сечения к-рых совпадает с антиканонич. классом и порождает группу Pic V2g-2(см. [4], [5])
Лит.:[1] Fano G.,лAtti Congr. internaz. dei matematici. Bologna