ФАКТОРНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ
- отображение f то пологич. пространства Xна топологич. пространство Y, при к-ром множество открыто в пространстве Yв том и только том случае, если его прообраз f-1v открыт в пространствеX.Если дацрэ отображение f топологич. пространства Xна множествоY,то на Yсуществует сильнейшая топология (т. е. содержащая наибольшее число открытых множеств) среди всех топологий, по отношению к к-рым отображение f непрерывно. Топология состоит из всех множеств таких, что множество f-lvоткрыто вX.Топология является единственной среди всех топологий на множестве Yтакой, что f является Ф. наз. фактортопологией, отвечающей отображению f и топологиии заданной на Х.
Описанная выше конструкция возникает при рассмотрении разбиений топологич. пространств и приводит к важной операции-переходу от данного топологич. пространства к новому-пространству разбиения. Пусть дано разбиение топологич. пространства т. е. семейство непустых попарно непересекающихся подмножеств множестваX,покрывающееX.Тогда определено отображение проектировании правилом: , если Множество теперь наделяется фактортопологией отвечающей топологии на Xи отображению и топологич.пространство на. Так, с точностью до гомеоморфизма окружность представляется какпространство разбиения отрезка, сфера -как пространство разбиения круга, лист Мёбиуса - как пространство разбиения прямоугольника, проективная плоскость - как пространство разбиения сферы и т. д.
Важны следующие свойства Ф. -непрерывное отображение, причем f(X)=Y. Тогда существует топологнч. пространствоZ,Ф. и непрерывное взаимно-однозначное отображение (т. е. уплотнение) такое, что В качестве Zможно взять пространство разбиения пространства Xна полные прообразы точек при f, а в роли отображения g выступит тогда проектирование Пусть даны непрерывное отображение и Ф. причем выполняется условие: если и f1(x') =f1(x"), то и f2(x') = f2(х").Тогда однозначно определенное отображение такое, что оказывается непрерывным отображением. Сужение Ф. произведение Ф. квадрат Ф. есть Ф. то отображение может не быть факторным. Такого не может произойти, если подпространство Y1открыто или замкнуто в Y.
Эти факты показывают, что с Ф. о. надо обращаться осторожно и что с точки зрения теории категорий класс Ф. о. не столь гармоничен и удобен, как классы непрерывных отображений,совершенных отображенийиоткрытых отображений.Однако рассмотрение пространств разбиений и отмеченные выше лдиаграммные