Математическая энциклопедия

ФАКТОРИАЛЬНОЕ КОЛЬЦО

- кольцо с однозначным разложением на множители. Точнее, Ф. к. А- это область целостности, в к-рой можно выбрать систему экстремальных элементов.такую, что любой ненулевой элемент допускает единственное представление вида


где иобратим, а целые неотрицательные показатели (р)отличны от нуля только для конечного числа элементов При этом элемент наз. экстремальным вА,если из p=uvследует, что либои,либо vобратим вА,ирнеобратим вА.
В Ф.к. существует наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное любых двух элементов. Кольцо Афакториально тогда и только тогда, когда оно является кольцом Крулля и выполняется одно из следующих эквивалентных условий: (1) любой диви-зориальный идеал в.является главным; (2) любой простой идеал высоты 1 главный; (3) любое непустое семейство главных идеалов обладает максимальным элементом, н пересечение любых двух главных идеалов является главным идеалом. Любое кольцо главных идеалов факторнально. Дедекиндово кольцо факториально, только если оно - кольцо главных идеалов. ЕслиS -мультипликативная система в Ф. к.А,то кольцо частных S-1Aфакториально. Для кольца Зариского Rиз факториальности его пополнения Rследует факториальность самогоR.
Подкольцо и факторкольцо Ф. к. не обязаны быть Ф.к.Кольцо многочленов над Ф. к. и кольцо формальных степенных рядов над полем или дискретно нормированным кольцом факториально. Однако кольцо формальных степенных рядов над Ф. к. не обязано быть факториальным.
Область целостности факториальна тогда и только тогда, когда ее мультипликативная полугруппа гауссова (см.Гауссова полугруппа),в связи с этим Ф. к, наз, также гауссовыми кольцами.

Лит.: [1] Бурбаки Н., Коммутативная алгебра, пер. с франц., М., 1971.
Л. В. Кузьмин.

  1. факториальное кольцо—фактарыяльнае колца...Русско-белорусский математический словарь
  2. факториальное кольцо—факторальне кльце...Русско-украинский политехнический словарь