Математическая энциклопедия

УНИПОТЕНТНЫЙ ЭЛЕМЕНТ

элемент.линейной алгебраич. группы G, совпадающий с унипотентной компонентойguсвоегоЖордана разложенияв группеG.Если реализовать G как замкнутую подгруппу группыGL(V)автоморфизмов конечномерного векторного пространства Vнад основным алгебраически замкнутым полемК,то У. э.g -это в точности такие элементы, что (1-g)n=0,n=dimV,или, что их матрицы в нек-ром базисе пространства Vявляются верхне-треугольными с единицами на диагонали. Множество U(G)всех У. э. в G замкнуто в топологии Зариского, а если G определена над подполем то и U(G) определено надk.Если charК=0, то всякий У. э. gимеет бесконечный порядок. В этом случае наименьшая алгебраич. подгруппа в G, содержащаяg,является одномернойунипотентной группой.Если же char K=p>0, то gбудет У. э. в точности тогда, когда он имеет конечный порядок, равныйрtдля нек-рого Связная группа не содержит У. э. тогда и только тогда, когда она являетсяалгебраическим тором.
В терминах У. э. может быть дан критерий анизотропности (см.Анизотропная группа).
У. э. играют важную роль в теориидискретных подгруппалгебраич. групп и групп Ли. Наличие У. э. в дискретных группах Г движений симметрических пространств, имеющих некомпактную фундаментальную область конечного объема, является важным средством изучения структуры таких групп и их канонических фундаментальных областей (см.[5]); существование У. э. в таких Г доказано в [4].
Многообразие U(G) инвариантно относительно внутренних автоморфизмов группы G. Пусть G связна и полупроста. Тогда число классов сопряженных У. э. конечно и для каждой простой G известно полное их описание (а также описание централизаторов У. э.), см. [7]. В классич. группах такое описание получается с использованием жордановой формы матрицы [2]. Напр., для группыG=SLn(K)существует биекция между классами сопряженных У. э. и разбиениями (т1,. . ., ms)числа пв сумму положительных целых слагаемых Если иIt)-два разбиения числап,то класс, отвечающий содержит в своем замыкании класс, отвечающий в точности тогда, когдаliдля всех j.
Размерность класса, отвечающего разбиению (т1,. . .,ms)(как алгебраического многообразия), равна
Множество всех простых точек алгебраического многообразия U(G) образует один класс сопряженных У. э.- регулярные У. э. Если G проста, то многообразие особых точек многообразия U(G)также содержит открытый в топологии Зариского класс сопряженных У. э.- субрегулярные У. э. По поводу изучения особых точек многообразия U(G)см. также [6].

Лит.:[1] Борель А., Линейные алгебраические группы, пер. с англ., М., 1972; [2] Семинар по алгебраическим группам, пер. с англ., М., 1973; [3] Xамфри Дж., Линейные алгебраические группы, пер. с англ., М., 1980; [4] Каждан Д. А., Маргулис Г. А., лМатем. сб.

  1. унипотентный элемент—unipotent element...Русско-английский морской словарь